一、單選題
1．圓的圓心到直線的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先由圓的一般方程求出其圓心坐標，然后由點到直線的距離公式即可求得.
【詳解】解：圓圓心坐標為.
點到直線的距離.
故選：A.
2．空間向量，平面的一個法向量，則直線與平面所成角為（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【分析】直線與平面所成的角的正弦值，通過直線與平面的數(shù)量積求解即可得出.
【詳解】解：直線與平面所成的角的正弦值：.
則直線與平面所成角為：.
故選：A.
3．已知圓，過點（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為（ ）
A．1B．2
C．3D．4
【答案】B
【分析】當(dāng)直線和圓心與點的連線垂直時，所求的弦長最短，即可得出結(jié)論.
【詳解】圓化為，所以圓心坐標為，半徑為，
設(shè)，當(dāng)過點的直線和直線垂直時，圓心到過點的直線的距離最大，所求的弦長最短，此時
根據(jù)弦長公式得最小值為.
故選：B.
【點睛】本題考查圓的簡單幾何性質(zhì)，以及幾何法求弦長，屬于基礎(chǔ)題.
4．如圖，是的重心，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量的線性運算的定義及重心的性質(zhì)可得，利用表示可得結(jié)論.
【詳解】是的重心，，
，，
，，，
，
．
故選：D．
5．已知圓C過圓與圓的公共點．若圓，的公共弦恰好是圓C的直徑，則圓C的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意求解圓，的公共弦方程，再計算圓中的公共弦長即可得圓C的直徑，進而求得面積即可
【詳解】由題，圓，的公共弦為和的兩式相減，化簡可得，又到的距離 ，故公共弦長為，故圓C的半徑為，故圓C的面積為
故選：B
6．在直三棱柱中，，，，M是的中點，以C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，若，則異面直線與夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)，根據(jù)，求得，再利用向量法求解即可.
【詳解】解：設(shè)，
則，
，
因為，
所以，解得，
故，，
則，
所以異面直線與夾角的余弦值為.
故選：A.
7．將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四個結(jié)論：
①AC⊥BD；
②△ACD是等邊三角形；
③AB與平面BCD所成的角為60°；
④AB與CD所成的角為60°．
其中錯誤的結(jié)論是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】C
【分析】取BD的中點E，則AE⊥BD，CE⊥BD．根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)可判斷①的真假；求出AC長后，可以判斷②的真假；求出AB與平面BCD所成的角可判斷③的真假；建立空間坐標系，利用向量法，求出AB與CD所成的角，可以判斷④的真假；進而得到答案．
【詳解】解：取BD的中點E，則AE⊥BD，CE⊥BD．∴BD⊥面AEC．
∴BD⊥AC，故①正確．
設(shè)正方形邊長為a，則AD＝DC＝a，AEa＝EC．
∴AC＝a．
∴△ACD為等邊三角形，故②正確．
∠ABD為AB與面BCD所成的角為45°，故③不正確．
以E為坐標原點，EC、ED、EA分別為x，y，z軸建立直角坐標系，
則A（0，0，a），B（0，a，0），D（0，a，0），C（ a，0，0）．
（0，a，a），（ a，a，0）．
cs，
∴，60°，故④正確．
故選：C．
8．已知定點，點P為圓上的動點，點Q為直線上的動點.當(dāng)取最小值時，設(shè)的面積為S，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】圓上的點到直線上的點的距離最小時為圓心到直線的距離減去半徑，由此確定，兩點的位置，然后求出點到直線的距離作為底邊上的高，求出三角形面積即可.
【詳解】圓的圓心為原點，半徑為2，

過原點且與直線垂直的直線方程為，
則點到直線的距離為.
又因為原點到直線的距離為，
所以的最小值為，則，
故選：D
二、多選題
9．下列命題中是假命題的為（ ）
A．若向量，則與，共面
B．若與，共面，則
C．若，則四點共面
D．若四點共面，則
【答案】BD
【分析】由平面向量基本定理對四個選項逐一判斷即可.
【詳解】對于A：由平面向量基本定理得與，共面，A是真命題；
對于B：若，共線，不共線時，不能用，表示出來，B是假命題；
對于C：若，則三個向量共面，
又點為三個向量的公共起點，所以四點共面，C是真命題；
對于D：若共線，點不在此直線上，
則不成立，D是假命題.
故選：BD.
10．在平面直角坐標系中，圓的方程為.若直線上存在一點，使過所作的圓的兩條切線相互垂直，則實數(shù)的取可以是
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】先得到的軌跡方程為圓，與直線有交點，得到的范圍，得到答案.
【詳解】
所作的圓的兩條切線相互垂直，所以，圓點，兩切點構(gòu)成正方形
即
在直線上，圓心距
計算得到
故答案選AB
【點睛】本題考查了圓的切線問題，通過切線垂直得到的軌跡方程是解題的關(guān)鍵.
11．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓”. 后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標系中，，點P滿足.設(shè)點P的軌跡為C，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．C的方程為
B．在x軸上存在異于的兩定點，使得
C．當(dāng)三點不共線時，射線是的平分線
D．在C上存在點M，使得
【答案】BC
【分析】設(shè)點，根據(jù)求出的軌跡方程可判斷A；假設(shè)在x軸上存在異于的兩定點使得，設(shè)，根據(jù)、點P的軌跡方程求出可判斷B；由利用余弦定理可判斷C；設(shè)，由、點M在C上解得無實數(shù)解可判斷D.
【詳解】設(shè)點，則，化簡整理得，
即，故A錯誤；
假設(shè)在x軸上存在異于的兩定點，
使得.設(shè)，則，
化簡整理得，
由點P的軌跡方程為得，
解得或，因為點異于點，所以，
所以假設(shè)成立，故B正確；
由于，
只需證明，
即證，
化簡整理得，又，
則
，則，故C正確；

設(shè)，由得，
整理得①，
又點M在C上，故滿足②，聯(lián)立①②，解得無實數(shù)解，故D錯誤.
故選：BC.
12．已知正方體的棱長為1，點、分別是、的中點，在正方體內(nèi)部且滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．點到直線的距離是B．點到平面的距離為
C．平面與平面間的距離為D．點到直線的距離為
【答案】BC
【分析】建立空間直角坐標系后利用向量法求點到面，面與面的距離.
【詳解】如圖，建立空間直角坐標系，則，，，，
，，，
所以，.
設(shè)，則，.
故到直線的距離，故A錯誤.
，
平面的一個法向量，
則點到平面的距離，故B正確.
，，.
設(shè)平面的法向量為，
則，所以
令，得，，所以.
所以點到平面的距離.
，所以，
又因平面，平面，
所以平面，同理平面，
所以平面平面，
所以平面與平面間的距離等于點到平面的距離，
所以平面與平面間的距離為，故C正確.
因為，所以，
又，則，
所以點到的距離，故D錯.
故選：BC
三、填空題
13．已知菱形中，，沿對角線折疊之后，使得平面平面，則二面角的余弦值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標系，根據(jù)二面角余弦值的空間向量求解方法進行計算即可.
【詳解】設(shè)菱形的邊長為1，取的中點，連接，，所以，
因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，
又因為平面，所以.
如圖，建立空間直角坐標系，則，，，
所以，．
設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，
同理，平面的一個法向量為，
所以，
設(shè)二面角為，由圖可知二面角為銳角，即，
所以，所以二面角的余弦值為．
故答案為：
14．在空間直角坐標系中，定義：平面的一般方程為，點到平面的距離，則在底面邊長與高都為2的正四棱錐中，底面中心O到側(cè)面的距離等于 ．
【答案】
【解析】以底面中心為原點建立空間直角坐標系，求出點的坐標，求出側(cè)面的方程，最后利用所給公式計算即可．
【詳解】如圖，以底面中心為原點建立空間直角坐標系，
則，，1，，，1，，，0，，
設(shè)平面的方程為，
將坐標代入計算得
解得，，，
，
即，
．
故答案為：
【點睛】本題主要考查點、線、面間的距離計算、空間直角坐標系的應(yīng)用、空間直角坐標系中點到平面的距離等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．
15．圓與圓的公共弦的長為 ．
【答案】
【分析】由兩圓相減得公共弦的方程為，再選定其中一個圓與公共弦的方程，利用弦長公式求得公共弦長為．
【詳解】圓與圓相減得：
，圓，所以圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，
所以公共弦長，故填：．
【點睛】本題考查兩圓的位置關(guān)系、弦長公式的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想與運算求解能力．
16．如圖，已知A(4，0)，B(0，4)，從點P(2，0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點，則光線所經(jīng)過的路程是 ．
【答案】2
【分析】求出關(guān)于直線和的對稱點，由兩個對稱點間距離得結(jié)論．
【詳解】設(shè)點P關(guān)于直線AB的對稱點為，
直線方程為，
因此．解得，即，
關(guān)于y軸的對稱點為C(－2，0)，則光線所經(jīng)過的路程PMN的長為CD＝2．
故答案為：．
四、證明題
17．如圖正方形ABCD的邊長為，四邊形BDEF是平行四邊形，BD與AC交于點G，O為GC的中點，F(xiàn)O＝，且FO⊥平面ABCD.
(1)求證：AE∥平面BCF；
(2)求證：CF⊥平面AEF.
【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.
【分析】(1)取BC中點H，連接OH，建立如圖所示的直角坐標系，求得平面BCF的法向量為，由 ，即可得到AE∥平面BCF.
(2)由 ， ，且AEAF＝A，解得CF平面AEF.
【詳解】(1)取BC中點H，連接OH，則OH∥BD，又四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD，∴OH⊥AC，∴以O(shè)為原點，建立如圖所示的直角坐標系，
則A(3，0，0)，E(1，－2，)，C(－1，0，0)，D(1，－2，0)，F(xiàn)(0，0，)，B(1，2，0). ＝(－2，－2，0)，＝(1，0，)，＝(－1，－2, )．
設(shè)平面BCF的法向量為＝(x，y，z)，則.
取z＝1，得＝(－，，1)．
又四邊形BDEF為平行四邊形，∴＝＝(－1，－2，)，
∴＝＋＝＋＝(－2，－2，0)＋(－1，－2，)＝(－3，－4，)，∴·＝3－4＋＝0，
∴ ，又AE平面BCF，∴AE∥平面BCF.
(2)＝(－3，0，)，∴·＝－3＋3＝0，·＝－3＋3＝0，
∴ ， ，又AEAF＝A，∴CF平面AEF.
【點睛】本題主要考查了空間向量在立體幾何線面位置關(guān)系的判定中的應(yīng)用，其中解答中建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系，合理利用平面法向量的性質(zhì)和空間向量的共面定理是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.
五、解答題
18．過點作圓的兩條切線，切點分別為A，B；
(1)求直線AB的方程；
(2)若M為圓上的一點，求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出以為直徑的圓的方程，結(jié)合已知圓的方程，將兩圓方程相減可求得兩圓公共弦所在直線方程；
（2）求出圓上的點M到直線AB的距離的最大值，求出，利用三角形面積公式求得答案.
【詳解】（1）圓的圓心坐標為，半徑為1，
則的中點坐標為，，
以為圓心，為直徑的圓的方程為，
由，得①，
由，得②，
①②得：．
直線的方程為；
（2）圓心 到直線的距離為
故圓上的點M到直線的距離的最大值為 ，
而 ,
故面積的最大值為 .
六、計算題
19．如圖，過圓外一點向圓引切線.
(1)求過點P的圓的切線方程；
(2)若切點為，，求過切點，的直線方程.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）設(shè)出直線方程，利用直線和圓相切的性質(zhì)可求切線方程；
（2）求出切點坐標可得方程或者利用兩圓的公共弦求出答案.
【詳解】（1）設(shè)過點P的圓的切線方程為，的圓心為，半徑為；
則，解得或，
故切線方程為或.
（2）解法1：將切線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組，由可得，
由可得，
即和，
故過切點，的直線方程為，整理得.
解法2：因為O，，P，四點共圓，
所以，在以O(shè)P為直徑的圓上，圓心為，半徑為，
即方程為
與已知圓相減，得過切點，的直線方程為.
七、解答題
20．將棱長為1的正方體截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示，點在棱上．
(1)當(dāng)為棱的中點時，求到平面的距離；
(2)當(dāng)在棱上移動時，求直線與平面所成的角的正弦值的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立空間直角坐標系，由空間向量求解，
（2）設(shè)出點坐標，由空間向量表示出后轉(zhuǎn)化為函數(shù)求解
【詳解】（1）以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，．
可得，，．
設(shè)平面的法向量為，因為，所以所以
令，得，所以為平面的一個法向量，
點到平面的距離．
（2）因為點在邊上，故可設(shè)，得，
所以．
所以．
令，可得，．
設(shè)，則，，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
，．
所以的取值范圍是．
21．已知半徑為5的動圓的圓心在直線：上.
（1）若動圓過點，求圓的方程.
（2）是否存在正實數(shù)，使得動圓中滿足與圓：相外切的圓有且僅有一個？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）或；（2）存在，.
【分析】（1）設(shè)動圓的方程為，根據(jù)條件列出方程組，求得的值，即可求解；
（2）求得圓心到直線的距離，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，即可求解.
【詳解】（1）依題意，可設(shè)動圓的方程為，
其中圓心滿足.
又因為動圓過點，所以.
由，解得或，
故所求圓的方程為或.
（2）圓的圓心到直線的距離，
當(dāng)滿足時，動圓中不存在與圓：相外切的圓；
當(dāng)滿足時，每取一個數(shù)值，
動圓中存在兩個圓與圓：相外切；
當(dāng)滿足，即時，
動圓中有且僅有1個圓與圓：相外切.
故當(dāng)動圓中與圓相外切的圓僅有一個時，.
八、證明題
22．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，是正三角形，平面，分別是的中點．

(1)求證：平面平面．
(2)線段上是否存在點，使得直線與平面所成角為？若存在，求線段的長度；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)不存在滿足條件的點M，理由見解析點
【分析】（1）利用面面垂直的判斷定理可證平面平面；
（2）建立如圖所示的平面直角坐標系，利用向量法可判斷是否存在.
【詳解】（1）平面，平面，
平面平面．
（2）設(shè)的中點為，連接，
因為是正三角形，故，
而平面平面，平面平面，平面，
故平面，而平面，故，
由四邊形為正方形且分別為的中點得，
故可以O(shè)為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，
故，，，
，，．
假設(shè)線段上存在點，使得直線與平面所成角為，
且，則，
，．
設(shè)平面的一個法向量為，
則，令，則，
，
整理可得，方程無解，
故假設(shè)不成立，即不存在滿足條件的點．

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