2022-2023學(xué)年廣西壯族自治區(qū)玉林市北流市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若，則A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可得 ：，且：，據(jù)此有：.本題選擇D選項(xiàng). 2．已知，，當(dāng)與的夾角為時(shí)，在上的投影向量為（    ）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】由投影向量的定義知：在上的投影向量為，根據(jù)已知即可求投影向量.【詳解】由題設(shè)，在上的投影向量.故選：B3．在社區(qū)公益活動(dòng)中，某單位有40名志愿者參與了報(bào)名，先將這40名志愿者進(jìn)行編號，編號為01，02，…，40，從這40名志愿者中抽取10人參加一項(xiàng)活動(dòng)，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第4列開始由左到右依次選兩個(gè)數(shù)字，則選出來的第6個(gè)樣本編號為（    ）972974836721345267459176245172498563244377950031417197200304658711420518713682A．32 B．24 C．17 D．37【答案】A【分析】根據(jù)題意從第1行第4列起每兩個(gè)數(shù)字依次讀取，取小于等于40的數(shù)字，且重復(fù)的數(shù)字只取一次，即可得到答案.【詳解】由題意得從隨機(jī)數(shù)表第1行的第4列開始由左到右依次選兩個(gè)數(shù)字，且小于等于40的數(shù)字為：36，13，26，17，24，32，37，……，所以選出來的第6個(gè)樣本編號為32，故選：A4．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，A=，的面積為，則外接圓的半徑為（    ）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】由題意，根據(jù)三角形的面積公式求出的值，再根據(jù)余弦定理求出的值，最后由正弦定理即可求解.【詳解】解：因?yàn)樵?/span>中，，A=，的面積為，所以，解得，所以由余弦定理有，所以，所以由正弦定理有（為外接圓的半徑），解得，所以外接圓的半徑為2.故選：B.5．如圖，在棱長為4的正方體中，的中點(diǎn)是P，過點(diǎn)作與截面平行的截面，則該截面的周長為（    ）  A． B． C． D．4【答案】C【分析】分別取的中點(diǎn)，可得四邊形為平行四邊形，即為過點(diǎn)的截面，求出其周長可得答案.【詳解】分別取的中點(diǎn)，連接，可得，可得四邊形為平行四邊形，可得，因?yàn)?/span>，所以四邊形為平行四邊形，可得，所以，所以四邊形為平行四邊形，，平面即為過點(diǎn)的截面，平面，平面，所以平面，因?yàn)?/span>，所以四邊形為平行四邊形，可得，平面，平面，所以平面，且，平面，所以平面平面，，，所以截面的周長為.  故選：C.6．如圖，在中，設(shè)，，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用向量加減法的運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算得出所求解的向量與已知向量之間的關(guān)系，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性和向量倍數(shù)關(guān)系的正確轉(zhuǎn)化．【詳解】由于，，故，，又因?yàn)?/span>，故，所以．故選：C．7．在正三棱錐中，，則側(cè)棱PA與底面ABC所成角為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)的中心點(diǎn)為得底面，可得為側(cè)棱與底面所成的角，在直角三角形計(jì)算可得答案.【詳解】設(shè)的中心點(diǎn)為，連接，則底面，所以為側(cè)棱與底面所成的角，為的外接圓的半徑，因?yàn)?/span>，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以.故選：B.8．如圖，AB，CD分別是圓柱上?下底面圓的直徑，且，若圓柱的軸截面為正方形，且三棱錐的體積為，則該圓柱的側(cè)面積為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別取上下底面的圓心為，連接，可得平面，設(shè)圓柱上底面圓的半徑為, 三棱錐的體積為,求出a，由圓柱的側(cè)面積公式可得答案.【詳解】分別取上下底面的圓心為，連接，則，因?yàn)?/span>，所以，且，所以平面，設(shè)圓柱上底面圓的半徑為,則，三棱錐的體積為,解得，該圓柱的側(cè)面積為，故選：C. 二、多選題9．已知向量，滿足，，，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A． B．C． D．與的夾角為【答案】BC【分析】先利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算得到，即可得到的值，再利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算得到，最后求解，即可判斷選項(xiàng).【詳解】，∴，∴，∴，，，∴與的夾角為，故BC正確.故選：BC. 三、單選題10．設(shè)m，n是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，下列說法不正確的是（    ）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】C【分析】對于ABD，舉例判斷，對于C，由線面垂直的性質(zhì)判斷【詳解】對于A，如圖，當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤，對于B，如圖，當(dāng)時(shí)，∥，所以B錯(cuò)誤，對于C，因?yàn)?/span>，所以，所以C正確，對于D，如圖，當(dāng)時(shí)，，所以D錯(cuò)誤，故選：C 四、多選題11．?dāng)€尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑，園林建筑．下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐．已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的銳二面角為，這個(gè)角接近，若取，側(cè)棱長為米，則（    ）A．正四棱錐的底面邊長為6米 B．正四棱錐的底面邊長為3米C．正四棱錐的側(cè)面積為平方米 D．正四棱錐的側(cè)面積為平方米【答案】AC【分析】利用已知條件畫出圖像，設(shè)O為正方形的中心，為的中點(diǎn)，設(shè)底面邊長為，利用線面角的定義得出，根據(jù)已知條件得到各邊的長，進(jìn)而求出正四棱錐的側(cè)面積即可.【詳解】如圖，在正四棱錐中，O為正方形的中心，為的中點(diǎn)，則，設(shè)底面邊長為．因?yàn)?/span>，所以．在中，，所以，底面邊長為6米，平方米．故選：AC.12．如圖，在海岸上有兩個(gè)觀測點(diǎn)C，D，C在D的正西方向，距離為2 km，在某天10:00觀察到某航船在A處，此時(shí)測得∠ADC=30°，5分鐘后該船行駛至B處，此時(shí)測得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，則（    ）A．當(dāng)天10:00時(shí)，該船位于觀測點(diǎn)C的北偏西15°方向B．當(dāng)天10:00時(shí)，該船距離觀測點(diǎn)CkmC．當(dāng)船行駛至B處時(shí)，該船距觀測點(diǎn)CkmD．該船在由A行駛至B的這5 min內(nèi)行駛了km【答案】ABD【分析】利用方位角的概念判斷A，利用正弦定理、余弦定理求解后判斷BCD．【詳解】A選項(xiàng)中，∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°，因?yàn)?/span>C在D的正西方向，所以A在C的北偏西15°方向，故A正確.B選項(xiàng)中，在△ACD中，∠ACD=105°，∠ADC=30°，則∠CAD=45°.由正弦定理，得AC=，故B正確.C選項(xiàng)中，在△BCD中，∠BCD=45°，∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，即∠CBD=45°，則BD=CD=2，于是BC=2，故C不正確.D選項(xiàng)中，在△ABC中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2－2AC·BCcos∠ACB=2+8－22=6，即AB=km，故D正確.故選：ABD． 五、填空題13．定義運(yùn)算，復(fù)數(shù)z滿足，則      .【答案】/-i+2【分析】根據(jù)題意得，然后化簡可求出復(fù)數(shù)【詳解】因?yàn)?/span>，所以所以，則，故答案為：14．某高校有教授120人，副教授100人，講師80人，助教60人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有老師中抽取一個(gè)容量為n的樣本．已知從講師中抽取的人數(shù)為16，那么n＝        ．【答案】72【解析】解方程即得解.【詳解】依題意得，由此解得n＝72.故答案為：7215．唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖1所示，其浮雕臨摹了國畫、漆繪和墓室壁畫，體現(xiàn)了古人的智慧與工藝.它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如圖2所示.已知球的半徑為，酒杯內(nèi)壁表面積為.設(shè)酒杯上部分（圓柱）的體積為，下部分（半球）的體積為，則的值是  .【答案】2.【分析】設(shè)圓柱的高為，表示出表面積可得，再分別表示出，即可.【詳解】解：設(shè)酒杯上部分高為，則酒杯內(nèi)壁表面積，則，所以，，故，故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查圓柱、球體積及表面積的公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.16．等腰三角形中，，將它沿中線AD翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離為，此時(shí)四面體ABCD的外接球的表面積為      .【答案】【分析】三條側(cè)棱、，底面是正三角形，為球心，為的中心，通過構(gòu)造直角三角形，通過勾股定理求外接球的半徑，再求表面積.【詳解】等腰三角形中，，、，如圖，為球心，為的中心，  翻折后四面體中，，，，，、，平面，，則平面，又平面，平面，，，為中點(diǎn)，連接，由，有，所以四邊形為矩形，則， 所以外接球半徑，故外接球的表面積為.故答案為： 六、解答題17．設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線．(1)若，，，求證：，，三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)，使和同向．【答案】(1)證明見解析；(2). 【分析】（1）求出，原題即得證；（2）存在實(shí)數(shù)，使，解方程組即得解.【詳解】（1）證明：因?yàn)?/span>，，，所以．所以，共線．又因?yàn)?/span>，有公共點(diǎn)，所以，，三點(diǎn)共線．（2）解：因?yàn)?/span>與同向，所以存在實(shí)數(shù)，使，即．所以．因?yàn)?/span>，是不共線的兩個(gè)非零向量，所以，解得，或，又因?yàn)?/span>，所以．18．如圖，P是圓錐的頂點(diǎn)，是底面圓O的一條直徑，是一條半徑.且，已知該圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)面積為的半圓面.（1）求該圓錐的體積；（2）求異面直線與所成角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)該圓錐的母線長為l，底面圓半徑為r，高為h，由題意分別求得l與r值，進(jìn)一步得到圓錐的高，則圓錐的體積可求；（2）取弧中點(diǎn)D，則，由垂直于底面，得，，兩兩垂直，以為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線與所成角的余弦值.【詳解】（1）設(shè)該圓錐的母線長為l，底面圓半徑為r，高為h，由題意，，解得，底面圓周長，解得，∴，∴該圓錐的體積.（2）如圖所示，取弧中點(diǎn)D，則，∵垂直于底面，∴，，兩兩垂直，以為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意，，，，，，設(shè)與所成角為，則，故異面直線與所成角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查向量法求解線線角問題，考查柱錐臺體的體積公式，考查學(xué)生空間想象能力，屬于中檔題．19．中，三個(gè)內(nèi)角的對邊分別為，若，，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的面積.【答案】（1）；（2）.【詳解】試題分析：（1）根據(jù)題意，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算公式可得若，則有cosB?（2a+c）+cosC?b=0，結(jié)合正弦定理可得cosB?（2sinA+sinC）+cosC?sinB=0，將其整理變形可得，由B的范圍分析可得答案；（2）結(jié)合題意，根據(jù)余弦定理分析可得49=a2+c2+ac，又由a+c=8，變形可得ac=15，由三角形面積公式計(jì)算可得答案．詳解：（1）∵，∴，∴，∴ ，∴，∴.（2）根據(jù)余弦定理可知，∴，又因?yàn)?/span>，∴，∴，∴，則.點(diǎn)睛：本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用以及三角形面積公式，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問題時(shí)，正弦定理、余弦定理是兩個(gè)主要依據(jù). 解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡捷一般來說 ,當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn) 及 、 時(shí)，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.20．如圖，在直三棱柱中，，D是棱的中點(diǎn)，  (1)求證：平面；(2)求平面與側(cè)面所成銳角的正切值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）由已知條件結(jié)合勾股定理的逆定理可證得，再由線面垂直的性質(zhì)可得，然后由面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）由（1）可得，，則可得就是平面與側(cè)面所成的平面角，在可求得結(jié)果.【詳解】（1）證明：因?yàn)橹比庵?/span>中，，D是棱的中點(diǎn)，所以，，，所以，所以，所以，因?yàn)?/span>平面，平面，所以，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，平面，所以平面，所以平面，所以，因?yàn)?/span>，平面，所以平面；（2）因?yàn)?/span>平面，平面，所以，因?yàn)?/span>，平面平面，所以就是平面與側(cè)面所成的平面角，因?yàn)?/span>平面，平面，所以，在中，，則，所以平面與側(cè)面所成銳角的正切值為.21．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的面積為S，已知(1)求角A；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）已知等式由余弦定理和面積公式代入變形可得求角A；（2）利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解取值范圍.【詳解】（1）已知，由余弦定理和三角形的面積公式，得，即，若，則，不符合題意，故，所以，由，得.（2），，，由正弦定理，，由，則，得，所以，即的取值范圍.22．如圖，在中，，P為邊上一動(dòng)點(diǎn)，交于點(diǎn)D，現(xiàn)將沿翻折至．(1)沿翻折中是否會改變二面角的大小，并說明理由；(2)若，E是的中點(diǎn)．求證：平面，并求當(dāng)平面平面時(shí)四棱錐的體積．【答案】(1)不變；理由見解析(2)2 【分析】（1）證明平面，從而證明平面平面，即可說明結(jié)論；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，連接，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明平面；繼而證明平面，根據(jù)棱錐的體積公式即可求得答案.【詳解】（1）沿翻折中是不會改變二面角的大??；理由如下：在中，，故而，故，則，而平面，故平面，又，故平面，而平面，故平面平面，故沿翻折中是不會改變二面角的大??；（2）證明：設(shè)為的中點(diǎn)，連接，E是的中點(diǎn)，則,又，即,而，故，即四邊形為平行四邊形，所以，而平面，平面，故平面.由于，平面平面，平面平面，且平面，故平面，由,，，知，四邊形為直角梯形，故四棱錐的體積為. 

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