2022-2023學(xué)年江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知（i為虛數(shù)單位），則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等的充要條件求解即可.【詳解】設(shè)，則，所以，即，所以.故選：B2．已知向量，，向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)投影向量的定義計(jì)算即可.【詳解】由題意易知，，而在上的投影向量為：.故選：B3．設(shè)，都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使得成立的條件是（    ）A． B． C． D．且【答案】C【分析】根據(jù)單位向量的含義結(jié)合向量同向還是反向，一一判斷各選項(xiàng)，即得答案.【詳解】由題意可知分別表示與，同向的單位向量，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，反向，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則，反向時(shí)，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，C正確；對(duì)于D，且時(shí)，有可能是 ，此時(shí)，D錯(cuò)誤，故選：C4．如圖，《周髀算經(jīng)》中的弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.若直角三角形中最小的角為，且小正方形與大正方形的面積之比為，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】法一、設(shè)正方形邊長(zhǎng)，再利用的三角函數(shù)表示弦圖中的對(duì)應(yīng)邊，化簡(jiǎn)計(jì)算即可；法二、直接設(shè)邊，計(jì)算其比例即可.【詳解】法一、設(shè)，則，同理，所以，平方得，同除得，解得.法二、設(shè)直角三角形的斜邊為，兩直角邊為，顯然.則由題意可得：，解之得：，而，故故選：D5．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，的面積為，則外接圓的直徑為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角形的面積公式、正弦定理、余弦定理求解即可.【詳解】，由余弦定理得，即，由正弦定理得.故選：C.6．已知是第二象限，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用平方關(guān)系求出，再根據(jù)結(jié)合誘導(dǎo)公式計(jì)算即可.【詳解】由是第二象限，得，則，又，所以，所以.故選：A.7．的值為（    ）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式以及同角的三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合二倍角正弦公式和輔助角公式，化簡(jiǎn)求值，即得答案.【詳解】,故選：B8．如圖，中，，，.在所在的平面內(nèi)，有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（不少于1周），則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由余弦定理求得，由正方形的邊長(zhǎng)為，求得，利用向量的數(shù)量積的公式，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合，即可求解.【詳解】在中，，，，由余弦定理得，所以，又由正方形的邊長(zhǎng)為，可得，則，正方形繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（不少于1周），可得，所以，即的取值范圍是.故選：A. 二、多選題9．下列選項(xiàng)中，與的值相等的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】先求出，根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡(jiǎn)求值判斷A，根據(jù)兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)求值判斷B，根據(jù)兩角和的正切公式化簡(jiǎn)求值判斷C，根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)判斷D.【詳解】，A選項(xiàng)：，故A對(duì)；B選項(xiàng)：，故B對(duì)；C選項(xiàng)：，故C對(duì)；D選項(xiàng)：，故D錯(cuò).故選：ABC10．函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，則（    ）A．該函數(shù)的解析式為B．點(diǎn)是該函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心C．該函數(shù)的減區(qū)間是，D．把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到該函數(shù)圖象【答案】BD【分析】由振幅得到，再由對(duì)稱軸和零點(diǎn)得到周期，進(jìn)而得到，再由，求得解析式，然后逐項(xiàng)判斷.【詳解】解：由振幅得，由對(duì)稱軸和零點(diǎn)得，即，所以，由題意得，即，因?yàn)?/span>，所以，所以，故A錯(cuò)誤；，故B正確；令，解得，所以該函數(shù)的減區(qū)間是，故C錯(cuò)誤.把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>倍，得到，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，故D正確.故選：BD11．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)兩個(gè)向量，，定義運(yùn)算：，下列說法正確的是（    ）A．是的充要條件 B．C． D．若點(diǎn)，，不共線，則的面積【答案】ACD【分析】根據(jù)題中給出的新定義，結(jié)合我們學(xué)過的共線定理，線性運(yùn)算以及數(shù)量積來判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】，而，故對(duì)；，，故錯(cuò)；設(shè)，則，故對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)：如圖是邊上的高，設(shè)，，是與垂直的單位向量，則，，即，，設(shè)，，則，所以對(duì).故選：.12．函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，為奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列不等式一定成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】本題利用函數(shù)的奇偶性，先判斷函數(shù)的對(duì)稱性，再利用函數(shù)的單調(diào)性去解決問題.【詳解】由為奇函數(shù)得關(guān)于對(duì)稱，為偶函數(shù)得關(guān)于對(duì)稱，所以函數(shù)為周期為4的周期函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)因?yàn)?/span>時(shí)，函數(shù)，可知函數(shù)在上單調(diào)遞減；對(duì)于A：，故A錯(cuò)；對(duì)于B：由上可知，因?yàn)?/span>，所以，因函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以故B對(duì)；對(duì)于CD選項(xiàng)我們需要先證明.證明如下：，所以， ，所以，故知.由在上單調(diào)遞增，可得，即證.對(duì)于C： 函數(shù)在上單調(diào)遞減，由函數(shù)為偶函數(shù)，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在不單調(diào)，因恒成立，可知C錯(cuò).對(duì)于D：由恒成立，可知，可知D正確.故選：BD. 三、填空題13．復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成圖形的面積為______.【答案】【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，根據(jù)題意求得，結(jié)合圓的面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，由，可得，即，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成圖形為半徑為的圓及其內(nèi)部，故其面積為.故答案為：.14．已知，，則向量，的夾角為______.【答案】/【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，即可求解，，進(jìn)而根據(jù)夾角公式即可求解.【詳解】由，得，，所以，由于，所以，故答案為：15．在中，，，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，則______.【答案】14【分析】在中，由正弦定理求得，再在中，利用余弦定理，即可求得的長(zhǎng)，得到答案.【詳解】如圖所示，在中，因?yàn)?/span>，由正弦定理知，可得，解得，在中，由，且，由余弦定理得，所以.故答案為：. 四、雙空題16．已知函數(shù)（其中），先將函數(shù)的圖象向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)______；若在區(qū)間上至少存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，使得，則的取值范圍是______.【答案】          【分析】化簡(jiǎn)得到，再根據(jù)平移法則得到，根據(jù)周期得到，考慮，，三種情況，計(jì)算得到答案.【詳解】，函數(shù)依據(jù)題意平移后得到；，，故函數(shù)在區(qū)間上至少存在兩處取最大值，首先由必要條件區(qū)間長(zhǎng)，，當(dāng)時(shí)，，至少包含兩個(gè)完整周期，滿足；當(dāng)時(shí)，需滿足，得到；當(dāng)時(shí)，需滿足，得到.綜上所述：故答案為：； 五、解答題17．在直角坐標(biāo)系中，向量，，，，其中，，.(1)若 ，，三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)的值；(2)若四邊形為菱形，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù) ，，三點(diǎn)共線，可得共線，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示列式計(jì)算，可得答案；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合向量模以及向量的線性運(yùn)算，列出方程，求得m的值，即可求得答案.【詳解】（1）由已知得，，因?yàn)?/span> ，，三點(diǎn)共線，共線，所以；（2）,,由四邊形為菱形得，即，即①，由菱形得,將代入①，解得，所以.18．（1）證明：；（2）若，，其中實(shí)數(shù)，不全為零.①求；②求.【答案】（1）證明見解析；（2）①；②【分析】（1）由兩角和與差的余弦公式結(jié)合二倍角的余弦、正弦公式即可證明；（2）將兩個(gè)已知式分別平方再相加，利用三角函數(shù)的平方關(guān)系和兩角差的余弦公式可求出的值，將兩個(gè)已知式分別平方再相減，結(jié)合二倍角的余弦公式和兩角和的余弦公式可求出的值.【詳解】（1）；（2）由兩邊平方得，兩邊平方得，①兩式相加可得：，即則，②兩式相減可得：，由（1）知，，則，，則.19．如圖，某鎮(zhèn)有一塊空地，其中，，.當(dāng)?shù)劓?zhèn)政府計(jì)劃將這塊空地改造成一個(gè)旅游景點(diǎn)，擬在中間挖一個(gè)人工湖，其中，都在邊上且不與端點(diǎn)重合，且，挖出的泥土堆放在地帶上形成假山，剩下的地帶設(shè)兒童游樂場(chǎng)，為了安全起見，需在的周圍安裝防護(hù)網(wǎng).(1)當(dāng)時(shí)，求防護(hù)網(wǎng)的總長(zhǎng)度；(2)為節(jié)省投入資金，人工湖的面積要盡可能小，問：多大時(shí)，可使的面積最??？最小面積是多少？【答案】(1)km(2)當(dāng)時(shí)，的面積最小為 【分析】（1）由已知可求得，根據(jù)余弦定理可求出.然后在中，求出的長(zhǎng)，即可得出答案；（2）設(shè)，在以及中，根據(jù)正弦定理表示出，根據(jù)面積公式得出，進(jìn)而化簡(jiǎn)可得，然后根據(jù)角的范圍，即可得出面積的最小值.【詳解】（1）由已知可得，，所以，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以，所以，.因此在中，有，，所以防護(hù)網(wǎng)總長(zhǎng)度為km.（2）設(shè)，，則在中，有，，，由正弦定理可得，，同理，在中有，，由正弦定理可得， ，所以.因?yàn)?/span>，所以.因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，面積有最小值為，此時(shí).20．在銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，.(1)求的大小；(2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由兩角和的正弦公式，正弦定理邊化角和兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)已知表達(dá)式，可得，再由，即可求出的大??；（2）由正弦定理、輔助角公式以及三角函數(shù)求范圍可求得結(jié)果.【詳解】（1），，，又有，且，解得，即；（2）由正弦定理得，即，，所以在銳角三角形中有，即，，，.21．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.(1)若，求；(2)若，，，且，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由求出，即可求出，而，由兩角差的正弦公式代入即可得出答案.（2）求出，再由，化簡(jiǎn)代入可得，由余弦定理即可求出答案.【詳解】（1）由，所以，因?yàn)?/span>，可得，又因?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>，所以，所以.（2）因?yàn)?/span>，所以，故，由得可得：，則，所以，解得或，因?yàn)?/span>，，所以.在三角形中，由余弦定理得：.22．在中，角所對(duì)的邊分別為，且.(1)求的最大值；(2)若，，求面積的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意，由余弦定理和基本不等式求得，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求解；（2）由，求得，得到，根據(jù)三角形的面積公式，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合余弦定理和不等式、二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）解：在中，滿足，由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以，又因?yàn)?/span>，且函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以的最大值為.（2）解：因?yàn)?/span>，可得，所以，又因?yàn)?/span>，所以，整理得，所以. 

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