2022-2023南京師范大學(xué)附屬實驗學(xué)校高一第二學(xué)期5月月考卷一．選擇題（共8小題，每題5分，共40分）1．　　A． B． C． D．2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則　　A． B． C． D．3．在中，角，，的對邊分別是，，，若，，，則　　A．5 B． C．4 D．34．若，，，則的值為　　A． B．2 C． D．5．已知正三角形邊長為2，用斜二測畫法畫出該三角形的直觀圖，則所得直觀圖的面積為　　A． B． C． D．6．在正方體中，，分別為，的中點，則異面直線與所成角的大小為　　A． B． C． D．7．在空間中，、、是三條不同的直線，、是兩個不同的平面，則下列說法正確的是　　A．若，，則 B．若，，則 C．若，，，則 D．若，，則8．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和．則正八面體（八個面均為正三角形）的總曲率為　　A． B． C． D．二．多選題（共4小題，每題5分，共20分）9．下列說法正確的是　　A．圓柱的所有母線長都相等 B．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形 C．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐 D．棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點10．下列各式中，值為的是　　A． B． C． D．11．下列命題正確的是　　A． B．已知向量與的夾角是鈍角，則的取值范圍是 C．向量，能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底 D．若，則在上的投影向量為12．如圖，已知正方體中，，分別是，的中點，則下列判斷正確的是　　A． B．平面 C．平面 D．三．填空題（共4小題，每題5分，共20分）13．平面向量與的夾角為，，，則　　．14．如圖，在棱長為2的正方體中，是的中點，則直線與平面所成角的正切值為　　．15．設(shè)平面平面，，，，，直線與交于點，且點位于平面，之間，，，，則　　．16．已知，則的值是　 　．四．解答題（共6小題，共70分）17．為何實數(shù)時，復(fù)數(shù)是：（1）實數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù)．18．在中，角、、的對邊分別為，，，已知．（1）求角；（2）若，，求的值．19．已知向量，的夾角為，且，，（1）求上的投影；（2）求．20．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，，，是的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：面面．21．如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）設(shè)，求點到面的距離．22．如圖，在四棱錐中，底面，是直角梯形，，，，點是的中點．（1）證明：直線平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求三棱錐的體積．
2022-2023南京師范大學(xué)附屬實驗學(xué)校高一第二學(xué)期5月月考卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．　　A． B． C． D．【解答】解：．故選：．2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則　　A． B． C． D．【解答】解：由，得，．故選：．3．在中，角，，的對邊分別是，，，若，，，則　　A．5 B． C．4 D．3【解答】解：在中，角，，的對邊分別是，，，若，，，則，解得．故選：．4．若，，，則的值為　　A． B．2 C． D．【解答】解：，，，，，，解得．故選：．5．已知正三角形邊長為2，用斜二測畫法畫出該三角形的直觀圖，則所得直觀圖的面積為　　A． B． C． D．【解答】解：三角形在其直觀圖中對應(yīng)一個邊長為2正三角形，直觀圖的面積是，由斜二測畫法中直觀圖和原圖的面積的關(guān)系，直觀圖的面積為，故選：．6．在正方體中，，分別為，的中點，則異面直線與所成角的大小為　　A． B． C． D．【解答】解：如下圖所示，連接，，，，，，則異面直線與所成角為，，即△為等邊三角形，．故選：．7．在空間中，、、是三條不同的直線，、是兩個不同的平面，則下列說法正確的是　　A．若，，則 B．若，，則 C．若，，，則 D．若，，則【解答】解：對于選項：若，，則和可能是異面直線，故錯誤．對于選項：若，，則和不能判定有垂直和平行的關(guān)系，故錯誤．對于選項：若，，，則和可能異面，故錯誤．對于選項：若，，則，正確．故選：．8．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和．則正八面體（八個面均為正三角形）的總曲率為　　A． B． C． D．【解答】解：由正八面體的性質(zhì)，每個面均為等邊三角形，在一個頂點外的四個角均為，故一個頂點的曲率等于，故正八面體的總曲率等于．故選：．二．多選題（共4小題）9．下列說法正確的是　　A．圓柱的所有母線長都相等 B．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形 C．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐 D．棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點【解答】解：對于，由圓柱的結(jié)構(gòu)特征可知，圓柱的所有母線長都相等，故正確；對于，由棱柱的結(jié)構(gòu)特征可知，棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形，故正確；對于，底面是正多邊形，且側(cè)面是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐，故錯誤；對于，由棱臺的定義可知，棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點，故正確．故選：．10．下列各式中，值為的是　　A． B． C． D．【解答】解：．，滿足條件．，滿足條件，，滿足條件，，不滿足條件．故選：．11．下列命題正確的是　　A． B．已知向量與的夾角是鈍角，則的取值范圍是 C．向量，能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底 D．若，則在上的投影向量為【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于，，正確；對于，向量與的夾角是鈍角，則且，解可得且，即的取值范圍為且，錯誤；對于，向量，滿足，兩個向量共線，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，錯誤；對于，若，即與方向相同或相反，則在上的投影向量為，正確．故選：．12．如圖，已知正方體中，，分別是，的中點，則下列判斷正確的是　　A． B．平面 C．平面 D．【解答】解：在正方體中，，分別是，的中點，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體中棱長為2，則，2，，，1，，，2，，，2，，，，，，0，，，，故正確；，0，，，2，，，，，平面，故正確；平面的法向量，0，，，又平面，平面，故正確；，0，，，2，，，2，，與不平行，故錯誤．故選：．三．填空題（共4小題）13．平面向量與的夾角為，，，則　　．【解答】解：由，則，又，向量與的夾角為，則，則，故答案為：．14．如圖，在棱長為2的正方體中，是的中點，則直線與平面所成角的正切值為　　．【解答】解：過作，交于，連接．，，而平面平面，是直線與平面所成的角（4分）由題意，得．（8分），．（10分）故答案為．15．設(shè)平面平面，，，，，直線與交于點，且點位于平面，之間，，，，則　9　．【解答】解：根據(jù)題意做出如下圖形：，交于點三點確定一平面，所以設(shè)平面為，于是有交于，交于，，平行，，．故答案為：9．16．已知，則的值是　　．【解答】解：，則，故答案為：．四．解答題（共6小題）17．為何實數(shù)時，復(fù)數(shù)是：（1）實數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù)．【解答】解：復(fù)數(shù)，（1）實數(shù)；可得，解得或2．（2）虛數(shù)；可得，解得且．（3）純虛數(shù)可得：并且，解得．18．在中，角、、的對邊分別為，，，已知．（1）求角；（2）若，，求的值．【解答】解：（1）在中，由，以及正弦定理可得：，，，，，可得．（2），，，，，在中，由正弦定理，可得，解得．19．已知向量，的夾角為，且，，（1）求上的投影；（2）求．【解答】解：（1）向量，的夾角為，且，上的投影為（2）向量，的夾角為，且，，，則20．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，，，是的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：面面．【解答】（Ⅰ）證明：連結(jié)交于點，則是的中點．（2分）連結(jié)，是的中點，．（4分）面，面，面．（6分）（Ⅱ）解：，是的中點，．面，，面，（8分）就是二面角的平面角，即．（9分）面，面面．21．如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）設(shè)，求點到面的距離．【解答】（Ⅰ）證明：因為，，由余弦定理得．（1分）從而，，（3分）又由底面，面，可得．（4分）所以平面．故．（6分）（Ⅱ）解：作，垂足為．已知底面，則，由（Ⅰ）知，又，所以．故平面，．則平面．（8分）由題設(shè)知，，則，，（10分）根據(jù)，得，即點到面的距離為．（12分）22．如圖，在四棱錐中，底面，是直角梯形，，，，點是的中點．（1）證明：直線平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求三棱錐的體積．【解答】（1）證明：平面，平面，，，有，且是直角梯形，，即，，，平面，平面．（2）解：由（1）知平面，即為直線與平面所成角，，，則，
 

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