2022-2023學年四川省眉山市高二下學期期末數(shù)學（文）試題 一、單選題1．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部等于（    ）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算求出復(fù)數(shù)即可作答.【詳解】依題意，，所以的虛部等于.故選：D2．某學校為了解高二（1）班的30名的身體素質(zhì)，將這些學生編號為1，2，…30，從這些學生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取5名學生進行體質(zhì)測試．若20號學生被抽到，則下面4名學生中被抽到的是（    ）A．5號學生 B．12號學生 C．14號學生 D．25號學生【答案】C【分析】根據(jù)題意，建立第組與所抽取編號之間的對應(yīng)關(guān)系，即可對每個選項逐一分析和判斷.【詳解】因為總共有名學生，需要抽取名，故需要分為組，組距為，不妨設(shè)第組抽到的學生編號是，則由系統(tǒng)抽樣可知，為公差的等差數(shù)列，則可設(shè)，又號學生在第組，即，，則；故，當或或時，都不是整數(shù)，故不可能抽到；當時，即，解得，即14號學生被抽到.故選：C.3．我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如．在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是A． B． C． D．【答案】C【詳解】分析：先確定不超過30的素數(shù)，再確定兩個不同的數(shù)的和等于30的取法，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率.詳解：不超過30的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個，隨機選取兩個不同的數(shù)，共有種方法，因為，所以隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的有3種方法，故概率為，選C.點睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法： (1)列舉法. (2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法. (3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡單化、抽象的題目具體化. (4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數(shù)目較多的題目.4．已知函數(shù)的圖像在點處的切線方程是，則的值是（    ）A． B． C． D．3【答案】B【分析】由切點在切線上求出，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出，代入即可得解.【詳解】將點代入切線方程，得，解得，又函數(shù)的圖像在點處的切線方程為，于是，所以.故選：B5．某市質(zhì)量檢測部門從轄區(qū)內(nèi)甲、乙兩個地區(qū)的食品生產(chǎn)企業(yè)中分別隨機抽取9家企業(yè)，根據(jù)食品安全管理考核指標對抽到的企業(yè)進行考核，并將各企業(yè)考核得分整理成如下的莖葉圖．由莖葉圖所給信息，可判斷以下結(jié)論中正確的是（    ）A．若，則甲地區(qū)考核得分的極差大于乙地區(qū)考核得分的極差B．若，則甲地區(qū)考核得分的平均數(shù)小于乙地區(qū)考核得分的平均數(shù)C．若，則甲地區(qū)考核得分的方差小于乙地區(qū)考核得分的方差D．若，則甲地區(qū)考核得分的中位數(shù)小于乙地區(qū)考核得分的中位數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)極差、平均數(shù)、中位數(shù)的計算方法判斷ABD；由波動程度判斷C.【詳解】對于A：甲地區(qū)考核得分的極差為，乙地區(qū)考核得分的極差為，即甲地區(qū)考核得分的極差小于乙地區(qū)考核得分的極差，故A錯誤；對于B：甲地區(qū)考核得分的平均數(shù)為乙地區(qū)考核得分的平均數(shù)為，即甲地區(qū)考核得分的平均數(shù)大于乙地區(qū)考核得分的平均數(shù)，故B錯誤；對于C：甲地區(qū)考核得分從小到大排列為：75，78，81，84，85，88，92，93，94乙地區(qū)考核得分從小到大排列為：74，77，80，83，84，87，91，95，99由以上數(shù)據(jù)可知，乙地區(qū)考核得分的波動程度比甲地區(qū)考核得分的波動程度大，即甲地區(qū)考核得分的方差小于乙地區(qū)考核得分的方差，故C正確；對于D：由莖葉圖可知，甲地區(qū)考核得分的中位數(shù)為，乙地區(qū)考核得分的中位數(shù)為，則甲地區(qū)考核得分的中位數(shù)大于乙地區(qū)考核得分的中位數(shù)，故D錯誤；故選：C6．已知函數(shù)的導函數(shù)為，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定的導函數(shù)求出函數(shù)，再求出函數(shù)值作答.【詳解】因為函數(shù)的導函數(shù)為，則設(shè)（實數(shù)為常數(shù)），顯然函數(shù)是偶函數(shù)，而，所以.故選：D7．用秦九韶算法求多項式在時，的值為（    ）A．136 B．45 C．27 D．14【答案】B【分析】根據(jù)秦九韶算法即可求解.【詳解】，所以，，，，故選：B8．圖1是某縣參加2007年高考的學生身高條形統(tǒng)計圖，從左到右的各條形圖表示學生人數(shù)依次記為A1、A2、…A10（如A2表示身高（單位：cm）在[150，155內(nèi)的人數(shù)]．圖2是統(tǒng)計圖1中身高在一定范圍內(nèi)學生人數(shù)的一個算法流程圖．現(xiàn)要統(tǒng)計身高在160~180cm（含160cm，不含180cm）的學生人數(shù)，那么在流程圖中的判斷框內(nèi)應(yīng)填寫的條件是A．i<6 B．i<7 C．i<8 D．i<9【答案】C【詳解】考查算法的基本運用．現(xiàn)要統(tǒng)計的是身高在160-180cm之間的學生的人數(shù)，即是要計算A4、A5、A6、A7的和，故流程圖中空白框應(yīng)是i<8，當i<8時就會返回進行疊加運算，當i8將數(shù)據(jù)直接輸出，不再進行任何的返回疊加運算，此時已把數(shù)據(jù)A4、A5、A6、A7疊加起來送到S中輸出，故選C．9．若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，由在上有解，求出a的范圍作答.【詳解】函數(shù)，求導得，因為函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則不等式在上有解，而，當時，，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：B10．函數(shù)的圖象大致是A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為2、4是函數(shù)的零點，所以排除B、C；因為時，所以排除D,故選A11．函數(shù)的定義域是，，對任意，，則不等式的解集為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，則，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，則原不等式等價于，結(jié)合單調(diào)性計算可得.【詳解】令，因為，所以，又，所以在上單調(diào)遞增，不等式即，所以，所以，即不等式的解集為.故選：A12．已知，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用換底公式和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可比較與的大小，然后構(gòu)造函數(shù)，求導后可得在上遞減，所以，則可得，再利用對數(shù)的性質(zhì)化簡變形可比較與的大小，從而可得結(jié)論.【詳解】，，因為在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以，令，則，當時，，所以在上遞減，因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，綜上，，故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查導數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是通過構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于難題. 二、填空題13．化為十進制數(shù)為        ．【答案】82【分析】按照進位制的算法計算即可；【詳解】14．18世紀數(shù)學家歐拉研究調(diào)和級數(shù)得到了以下的結(jié)果：當很大時，（常數(shù)）．利用以上公式，可以估計的值為        ．【答案】【分析】根據(jù)題意得到，結(jié)合對數(shù)的運算公式，即可求解；【詳解】由題意，可得.故答案為：.15．已知、都是定義在上的函數(shù)，，，，，則關(guān)于的方程沒有實數(shù)根的概率為        ．【答案】【分析】根據(jù)給定的不等式及函數(shù)值的關(guān)系，借助單調(diào)性求出a值，再由方程無實根及幾何概型求解作答.【詳解】由，得，令，求導得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，即有，由，得，因此，則方程無實根，，又，解得，所以關(guān)于的方程沒有實數(shù)根的概率為.故答案為：16．對于函數(shù)，給出下列命題：①該函數(shù)必有2個極值；      ②該函數(shù)的極大值必大于1；③該函數(shù)的極小值必小于1； ④方程一定有三個不等的實數(shù)根．其中正確的命題是                ．（寫出所有正確命題的序號）【答案】①②③【分析】利用導數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，研究的圖像性質(zhì)，從而作出其大致圖像，由此得解.【詳解】因為，則，顯然，，故有兩個不相等的零點，且一正一負，不妨設(shè)二次函數(shù)，開口向上，且在上為正，上為負，上為正，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．由極值的定義可知：函數(shù)必有兩個極值點，且處是極大值點，處是極小值點．又圖象必過點 由以上性質(zhì)作函數(shù)的大致圖象如下，  或  由的圖像可知：①正確；②正確；③正確；④不正確．故答案為：①②③． 三、解答題17．成都市都江堰獼猴桃聞名中外，每年月份獼猴桃大量上市．某獼猴桃企業(yè)計劃種植紅心獼猴桃，綠心獼猴桃兩種獼猴桃品種，通過大量考察研究得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)．紅心獼猴桃的畝產(chǎn)量約為公斤，其收購價格處于上漲趨勢，最近五年的價格如下表：年份年份編號單價（元/公斤）綠心獼猴桃畝產(chǎn)量的頻率分布直方圖如圖所示：(1)若紅心獼猴桃的單價（單位：元/公斤）與年份編號間具有線性相關(guān)關(guān)系，請求出關(guān)于的回歸直線方程，并估計年紅心獼猴桃的單價；(2)利用上述頻率分布直方圖估計綠心獼猴桃的平均畝產(chǎn)量（同一組數(shù)據(jù)用中點值為代表）；參考公式：回歸直線方程，其中，．【答案】(1)，年紅心獼猴桃的單價約為元/公斤(2)公斤 【分析】（1）計算出、的值，將表格中的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出回歸直線方程，再將代入回歸直線方程，可得出年紅心獼猴桃的單價；（2）將每個矩形底邊的中點值乘以對應(yīng)矩形的面積，再將所得結(jié)果全部相加可得出綠心獼猴桃的平均畝產(chǎn)量.【詳解】（1）解：，．，，故回歸直線方程為，當時，，故年紅心獼猴桃的單價預(yù)計為元/公斤.（2）解：由頻率分布直方圖可知，綠心獼猴桃的平均畝產(chǎn)量為公斤.18．已知函數(shù)在處有極值10．(1)求實數(shù)，的值;(2)若方程在區(qū)間內(nèi)有解，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）依題意得，解方程可得的值，最后檢驗即可；（2）分析在上的單調(diào)性，結(jié)合極值即可求解的取值范圍．【詳解】（1）由可得又為極值點，所以，又極值為10，即，則，可得：或，當時，，（不恒為0），在上單調(diào)遞增，無極值．當時，，，100單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增綜上．（2）由（1）知，時，為減函數(shù)，時，為增函數(shù)，又因為方程在區(qū)間內(nèi)有解，所以實數(shù)的取值范圍為.19．已知關(guān)于的一元二次方程（1）若，是一枚骰子擲兩次所得到的點數(shù)，求方程有兩正根的概率．（2）若，，求方程沒有實根的概率．【答案】（1）（2）【分析】（1）由題意知本題是古典概型，計算基本事件的總數(shù)和“方程有兩個正根”的事件數(shù)，計算所求的概率值；（2）由題意知本題是幾何概型，計算試驗的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域和滿足條件的事件組成區(qū)域，計算面積比即可．【詳解】（1）由題意知本題是一個古典概型，用表示一枚骰子投擲兩次所得到的點數(shù)的事件依題意知，基本事件的總數(shù)有個，二次方程有兩正根，等價于即“方程有兩個正根”的事件為，則事件包含的基本事件為：、 、 、， 共個，∴所求的概率為.（2）由題意知本題是一個幾何概型，如圖所示：試驗的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域，其面積為， 滿足條件的事件為：，其面積為，所求概率為.【點睛】本題考查幾何概型以及用列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率，屬于中檔題.20．某大學餐飲中心為了解新生的飲食習慣，在全校一年級學生中進行了抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示: 喜歡甜品不喜歡甜品合計南方學生北方學生合計（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問是否有的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”；（2）已知在被調(diào)查的北方學生中有名數(shù)學系的學生，其中名喜歡甜品，現(xiàn)在從這名學生中隨機抽取人，求至多有人喜歡甜品的概率.附：.【答案】（1）有，理由見解析；（2）.【分析】（1）計算出的觀測值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論；（2）記名數(shù)學系學生中喜歡甜品的名學生分別記為、，不喜歡甜品的名學生分別記為、、，列舉出所有的基本事件，并確定事件“從這名學生中隨機抽取人，求至多有人喜歡甜品”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）由表格中的數(shù)據(jù)可得，所以有的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”；（2）記名數(shù)學系學生中喜歡甜品的名學生分別記為、，不喜歡甜品的名學生分別記為、、，從名數(shù)學系學生中任取人，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共種，其中，事件“從這名學生中隨機抽取人，求至多有人喜歡甜品”所包含的基本事件有：、、、、、、，共種，故所求概率為.21．已知函數(shù).（1）當時，求在點處的切線方程；（2）若對，都有恒成立，求a的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先代入函數(shù)解析式得到切點坐標，再求導計算切線斜率，寫出切線方程即可；（2）將恒成立問題轉(zhuǎn)化成最值問題，再對參數(shù)進行討論，以確定單調(diào)性，求得最值即可.【詳解】解：（1）當時，，∴在處的切線方程為；（2）由題意知：，.①當時，在上單調(diào)遞減，∴恒成立，∴； ②當時，，∴在上單減，在上單增，（ⅰ）當時，在上單增，，舍去；（ⅱ）當時，在上單減，，∴；（ⅲ）當時，在上單減，上單增，，∴， 綜上，.【點睛】1、解決恒成立問題的常用方法：①數(shù)形結(jié)合法：畫圖像，對關(guān)鍵點限制條件；②分離參數(shù)法：轉(zhuǎn)化成參數(shù)與函數(shù)最值的關(guān)系；③構(gòu)造函數(shù)法：轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值（含參數(shù)）的范圍. 2、利用導數(shù)研究函數(shù)的最值的步驟：①寫定義域，對函數(shù)求導；②在定義域內(nèi)，解不等式和得到單調(diào)性；③利用單調(diào)性判斷極值點，比較極值和端點值得到最值即可.本題在此基礎(chǔ)上討論參數(shù)以確定單調(diào)性.22．已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)當時，證明：;(2)當時，求函數(shù)零點個數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)2. 【分析】（1）把代入，利用導數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性，借助函數(shù)最小值0推理作答.（2）把代入，利用導數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性，求出函數(shù)最小值，再借助零點存在性定理求解作答.【詳解】（1）當時，，，求導得，顯然，當時，，則，當時，，則，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則當時，，所以.（2）當時，，，求導得，當時，，則，當時，，則，當時，函數(shù)都遞增，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，因此存在，使得，當時，，當時，，從而當時，，當時，，即有函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，而，于是函數(shù)在，各存在一個零點，所以函數(shù)零點個數(shù)是2.【點睛】思路點睛：涉及函數(shù)零點個數(shù)問題，可以利用導數(shù)分段討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理，借助數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題. 

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