2022-2023學(xué)年四川省綿陽(yáng)市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)（文）試題 一、單選題1．若復(fù)數(shù)，則（    ）A． B． C． D．5【答案】D【分析】直接將代入計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，故選：D2．集合，則的元素個(gè)數(shù)為（    ）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】A【分析】聯(lián)立兩個(gè)集合中的方程，解方程即可得到兩個(gè)集合交集的元素，從而得到結(jié)論.【詳解】因?yàn)?/span>，聯(lián)立方程可得， 解得或，所以，則集合中的元素個(gè)數(shù)為2 .故選：A.3．命題 “”，則p為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)全稱命題的否定形式求解.【詳解】命題 “”為全稱命題，其否定為特稱命題，即p：.故選：C4．下列函數(shù)中是偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷各函數(shù)是否為偶函數(shù)，再結(jié)合余弦函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)判斷選項(xiàng)AD的單調(diào)性可得結(jié)論.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又任取，可得，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，因?yàn)?/span>，所以在上不是增函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又任取，可得，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，由冪函數(shù)性質(zhì)可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，D正確；故選：D.5．要得到函數(shù)的圖象，只需將指數(shù)函數(shù)的圖象（    ）A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位【答案】D【分析】利用函數(shù)圖象的平移變換可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，為了得到函數(shù)的圖象，只需將指數(shù)函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，故選：D.6．定義在上的奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，可得，然后令代入化簡(jiǎn)，再結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，所以，故選：C7．若函數(shù)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A． B．C． D．或【答案】B【分析】求函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合極值點(diǎn)的定義列不等式求的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，導(dǎo)函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，所以方程有且僅有一個(gè)正根，且正根的兩側(cè)函數(shù)的函數(shù)值異號(hào)，所以，故選：B.8．函數(shù)的大致圖像為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用排除法，先利用函數(shù)值正負(fù)的分布判斷B錯(cuò)誤，再利用特殊值判斷D錯(cuò)誤,根據(jù)極值點(diǎn)確定C錯(cuò)誤，即得答案.【詳解】函數(shù)中，，當(dāng)時(shí),,看圖像知B選項(xiàng)錯(cuò)誤；函數(shù)中，，當(dāng)時(shí),, 看圖像知D選項(xiàng)錯(cuò)誤；解得，故為函數(shù)的極值點(diǎn)，故C選項(xiàng)不符合，A選項(xiàng)正確. 故選：A.9．若函數(shù)，則“”是“函數(shù)存在零點(diǎn)”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】結(jié)合零點(diǎn)的定義求“函數(shù)存在零點(diǎn)”的等價(jià)條件，再由充分條件和必要條件的定義判斷結(jié)論即可.【詳解】函數(shù)存在零點(diǎn)可得，等價(jià)于方程有實(shí)數(shù)根，等價(jià)于有非零實(shí)數(shù)根，等價(jià)于，等價(jià)于或，所以“”是“函數(shù)存在零點(diǎn)”的充分不必要條件，故選：A.10．甲、乙、丙在九寨溝、峨眉山、青城山三個(gè)景點(diǎn)中各選擇了一個(gè)景點(diǎn)旅游，每人去的景點(diǎn)都不相同．已知①乙沒(méi)有去九寨溝；②若甲去了峨眉山，則丙去了青城山；③若丙沒(méi)有去峨眉山，則甲去了峨眉山．下列說(shuō)法正確的是（    ）A．丙去了峨眉山 B．乙去了峨眉山C．丙去了青城山 D．甲去了青城山【答案】A【分析】由條件③出發(fā)進(jìn)行推理，發(fā)現(xiàn)與①矛盾，從而得出結(jié)論，進(jìn)而即得.【詳解】由題意，③可知若丙沒(méi)有去峨眉山，則甲去了峨眉山，那么再由②若甲去了峨眉山，則丙去了青城山，此時(shí)乙就只能去九寨溝，這與①矛盾；所以丙去了峨眉山，所以甲去了九寨溝，乙去了青城山，所以選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)BCD錯(cuò)誤.故選：A11．已知函數(shù)若，且，則的最小值為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】分情況討論，當(dāng)屬于不同的區(qū)間時(shí)，符合題意，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，即可由單調(diào)性確定函數(shù)的最值求解.【詳解】由于函數(shù)均為定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，若，則，不符合要求；若，由于，則，不符合要求；若，則，此時(shí)，記，則，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取極小值也是最小值，故；若，則，此時(shí)，與情況類同；綜上可知的最小值為.故選：B.12．已知，若，都有，則的取值范圍為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】要使題設(shè)成立，需滿足，先求出函數(shù)的最大值，再采用分離常數(shù)法結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解即可【詳解】因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以；因?yàn)?/span>，都有，所以在恒成立，即在恒成立，令，則，令，則恒成立，所以在單調(diào)遞增，，故存在唯一，使得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，解得，所以，所以，即.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：函數(shù)中的任意性和存在性問(wèn)題的實(shí)質(zhì)上都可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題. 二、填空題13．若冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則         ．【答案】3【分析】將代入冪函數(shù)中求出，從而可求出的值.【詳解】設(shè)冪函數(shù)為，則，得，所以，所以，故答案為：314．已知，且，則         ．【答案】3【分析】結(jié)合指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)解方程可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，又，所以，解得，所以，故，故答案為：3. 三、解答題15．曲線在點(diǎn)處的切線方程為         ．【答案】【分析】求導(dǎo)，即可由點(diǎn)斜式得直線方程.【詳解】，則，所以，所以點(diǎn)處的切線方程為，即，故答案為： 四、填空題16．若為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)         ．【答案】【分析】由奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可求得的值，由奇函數(shù)的性質(zhì)得出可求得的值，然后利用函數(shù)奇偶性的定義驗(yàn)證函數(shù)即可.【詳解】因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，則，則函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，此時(shí)函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不合乎題意，所以，，由可得且，所以，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，，解得，則，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，解得，此時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，即函數(shù)為奇函數(shù)，合乎題意，故.故答案為：. 五、解答題17．已知，命題“”，命題“”(1)若命題為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若命題“”為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)． 【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的最值即可求解p為真命題時(shí)m的范圍，即可求解p為假時(shí)的范圍，（2）根據(jù)一元二次方程根的情況，根據(jù)且命題真假性的判斷即可列不等式求解.【詳解】（1）∵命題p：“，”，故對(duì)恒成立；    又當(dāng)時(shí)，在上取最大值2，    ∴命題p為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是；    ∴命題p為假命題時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍為．（2）由（1）可知，當(dāng)命題p為真命題時(shí)，，當(dāng)命題q為真命題時(shí)，=，解得或．    ∵命題“”為真命題，則命題p為真命題，且命題q為假命題，    ∴；    綜上所述：實(shí)數(shù)m的取值范圍為．18．為了改善湖泊的水質(zhì)，某市環(huán)保部門(mén)于2021年年終在該湖泊中投入一些浮萍，這些浮萍在水中的繁殖速度越來(lái)越快，2022年2月底測(cè)得浮萍覆蓋面積為，2022年3月底測(cè)得浮萍覆蓋面積為，浮萍覆蓋面積（單位：）與2022年的月份（單位：月）的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型與可供選擇．(1)分別求出兩個(gè)函數(shù)模型的解析式；(2)若2021年年終測(cè)得浮萍覆蓋面積為，從上述兩個(gè)函數(shù)模型中選擇更合適的一個(gè)模型，試估算至少到哪一年的幾月底浮萍覆蓋面積能超過(guò)？（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)，(2)2023年2月 【分析】（1）將分別代入兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式中即可求解，（2）根據(jù)確定選用的函數(shù)，即可利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算求解.【詳解】（1）若選擇模型，則，解得，，故函數(shù)模型為，若選擇模型，則，解得，，故函數(shù)模型為．（2）把代入可得，，把代入可得，，∵，∴選擇函數(shù)模型更合適，    令，可得，兩邊取對(duì)數(shù)可得，，∴，故浮萍至少要到2023年2月底覆蓋面積能超過(guò)8100m2．19．已知二次函數(shù)．(1)若函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)為和，且函數(shù)在上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)已知，函數(shù)在處取得極值為0，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值（結(jié)果用含的代數(shù)式表示）．【答案】(1)(2)． 【分析】（1）由二次函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)求出對(duì)稱軸，由函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，列不等式求實(shí)數(shù)的取值范圍；    （2）由題意，二次函數(shù)的圖像拋物線開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)應(yīng)的二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根2， 利用韋達(dá)定理求出與的關(guān)系，由函數(shù)圖像的對(duì)稱軸確定函數(shù)最大值點(diǎn).【詳解】（1）∵函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)為和，∴函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為，又在上不單調(diào)，則滿足，解得，    即實(shí)數(shù)m的取值范圍為．（2）∵函數(shù)在處取得極值為0，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)根2，故，解得此時(shí)，∴，對(duì)稱軸為，∵，則，∴．20．已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的極值，并判斷其零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)若對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)極大值為13，極小值為，且f(x)有三個(gè)零點(diǎn)(2) 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性與極值，并根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）分、和三種情況，結(jié)合恒成立問(wèn)題分析運(yùn)算.【詳解】（1）若，則，，令，解得，當(dāng)x變化時(shí)，的取值情況如下：x2－0+0－單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減且，，，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得：分別在，，上各有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)的極大值為13，極小值為，且f(x)有三個(gè)零點(diǎn)．（2）由題意可得：，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上為減函數(shù)，所以，滿足題意； 當(dāng)時(shí)，由得，得，故在上是增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以，解得； 當(dāng)時(shí)，由得，由，得，故在上是增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以，不合題意；綜上所述：a的取值范圍是．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：兩招破解不等式的恒成立問(wèn)題（1）分離參數(shù)法第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)要求得所求范圍．（2）函數(shù)思想法第一步將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；第三步：構(gòu)建不等式求解．21．已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)的零點(diǎn)分別為，且，證明：．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）求函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）由已知結(jié)合兩點(diǎn)定義可得，由分析可得要證明，只需證明，設(shè)，則只需證明，設(shè)，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可證明結(jié)論.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，導(dǎo)函數(shù)，①當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，則，∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；（2）由（1）知，方程的兩個(gè)不等的正實(shí)根，即，亦即，從而，設(shè)，又，即，要證，即證，只需證，即證，即證，即證，即證，即證，即證，令，則設(shè)，則則在上單調(diào)遞增，有，于是，即有在上單調(diào)遞增，因此，即，所以成立，即．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，其中.(1)求的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程；(2)直線與曲線交于A，兩點(diǎn)，且A，兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極角分別為，，求的值.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、普通方程的轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)果；（2）先將的極坐標(biāo)方程寫(xiě)出，再與聯(lián)立解方程，由圖象分析即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由得，消去得為的普通方程；由，得，令，，得為直線的直角坐標(biāo)方程.（2）在中，令，，所以，即為的極坐標(biāo)方程，聯(lián)立得，所以，所以，又，所以，所以或或或，解得或或或，由圖可知，兩交點(diǎn)位于第一、四象限，所以或，所以.23．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)若的最小值為2，且，求的最小值．【答案】(1)(2)9 【分析】（1）根據(jù)零點(diǎn)分區(qū)間，分類求解即可，（2）根據(jù)絕對(duì)值三角不等關(guān)系可得，進(jìn)而結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，綜上所述，不等式的解集為．（2），當(dāng)且僅當(dāng)等號(hào)成立，，即，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即，時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為9 

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