2022-2023學(xué)年四川省瀘州市瀘縣瀘縣第五中學(xué)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．命題“”的否定是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)槊}“”，所以其否定為：“”.故選：B.2．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（    ）A． B． C．4 D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和虛部的定義即可得出．【詳解】由復(fù)數(shù)滿足，得所以復(fù)數(shù)的虛部為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題．3．已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差公式計(jì)算可得答案.【詳解】平均數(shù)為，方差為，故選：C.4．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】取即可得到第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式.【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，不等式為．故選：B．5．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布 ，且，則（     ）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6【答案】C【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，結(jié)合已知，即可求解.【詳解】隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布 ，且，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的概率，利用對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.6．函數(shù)的圖象大致為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)，用導(dǎo)數(shù)法可得，從而有，可得確定選項(xiàng).【詳解】設(shè)，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，所以，排除B，C，D.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)的解析式識(shí)別函數(shù)圖象，還考查了轉(zhuǎn)化求解問題的能力，屬于中檔題.7．展開式的第5項(xiàng)的系數(shù)為（    ）A．15 B．﹣60 C．60 D．﹣15【答案】C【分析】先求出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，然后直接求第5項(xiàng)的系數(shù)【詳解】解：的通項(xiàng)公式為，所以展開式的第5項(xiàng)的系數(shù)為，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查求二項(xiàng)式展開式指定項(xiàng)的系數(shù)，正確求出通項(xiàng)公式是解此題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.8．為做好社區(qū)新冠疫情防控工作，需將四名志愿者分配到甲、乙、丙三個(gè)小區(qū)開展工作，每個(gè)小區(qū)至少分配一名志愿者，則不同的分配方案共有（    ）種A．36 B．48 C．60 D．16【答案】A【解析】根據(jù)題意可知必有二名志愿者去同一小區(qū)開展工作，結(jié)合排列數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】根據(jù)題意可知必有二名志愿者去同一小區(qū)開展工作，因此有種方式，所以四名志愿者分配到甲、乙、丙三個(gè)小區(qū)開展工作，每個(gè)小區(qū)至少分配一名志愿者共有種方式.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了組合與排列的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9．如圖，在正方形內(nèi)任取一點(diǎn)，則點(diǎn)恰好取自陰影部分內(nèi)的概率為A． B．C． D．【答案】B【分析】由定積分的運(yùn)算得：S陰（1）dx＝（x），由幾何概型中的面積型得：P（A），得解．【詳解】由圖可知曲線與正方形在第一象限的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），由定積分的定義可得：S陰（1）dx＝（x），設(shè)“點(diǎn)M恰好取自陰影部分內(nèi)”為事件A，由幾何概型中的面積型可得：P（A），故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的運(yùn)算及幾何概型中的面積型，考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬基礎(chǔ)題10．已知函數(shù)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知，函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，畫圖可知當(dāng)直線介于 之間時(shí)，符合題意，故選B. 【解析】函數(shù)與方程，函數(shù)的圖象.【詳解】11．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.過作直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，若分別為與的內(nèi)心，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出雙曲線的解析式，根據(jù)與的內(nèi)心求出的關(guān)系式和點(diǎn)的橫坐標(biāo)，設(shè)出直線的傾斜角，得到的表達(dá)式，即可求出的取值范圍【詳解】由題意，在中，根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線的距可得，離心率為2，∴，解得：，∴∴雙曲線的方程為.  記的內(nèi)切圓在邊，，上的切點(diǎn)分別為，則，橫坐標(biāo)相等，，，由，即，得，即，記的橫坐標(biāo)為，則，于是，得，同理內(nèi)心的橫坐標(biāo)也為，故軸.設(shè)直線的傾斜角為，則，（Q為坐標(biāo)原點(diǎn)），在中，，由于直線與的右支交于兩點(diǎn)，且的一條漸近線的斜率為，傾斜角為，∴，即，∴的范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義與幾何性質(zhì)、三角恒等變換，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想，以及角度的取值范圍，具有極強(qiáng)的綜合性.12．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)，，且，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】依題意知，設(shè)，不等式恒成立等價(jià)于恒成立，構(gòu)造函數(shù)，可得在單調(diào)遞增，求出，轉(zhuǎn)化為在恒成立，分離參數(shù)，利用二次函數(shù)的單調(diào)性與最值即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】設(shè)，不等式恒成立，等價(jià)于恒成立，設(shè)，則在上為增函數(shù)，，，，又恒成立，整理得：恒成立，函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)恒成立問題，將不等式恒成立等價(jià)轉(zhuǎn)化為為增函數(shù)是解決問題關(guān)鍵，考查化歸思想與理解應(yīng)用能力，屬于中檔題． 二、填空題13．某病毒實(shí)驗(yàn)室成功分離培養(yǎng)出奧密克戎BA．1病毒60株、奧密克戎BA．2病毒20株、奧密克戎BA.3病毒40株，現(xiàn)要采用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為30的樣本，則奧密克戎BA．3病毒應(yīng)抽取      株.【答案】10【分析】計(jì)算該層所占的比例，再乘以總?cè)藬?shù)得出結(jié)果.【詳解】由題意可知，奧密克戎BA.3病毒應(yīng)抽取株.故答案為：10.14．若函數(shù)在處有極小值，則實(shí)數(shù)等于          .【答案】1【分析】由f（x）＝ax3﹣2x2+a2x，知f′（x）＝3ax2﹣4x+a2，由f（x）在x＝1處取得極小值，知f′（1）＝3a﹣4+a2＝0，由此能求出a，再根據(jù)條件檢驗(yàn)即可.【詳解】∵f（x）＝ax3﹣2x2+a2x，∴f′（x）＝3ax2﹣4x+a2，∵f（x）＝ax3﹣2x2+a2x在x＝1處取得極小值，∴f′（1）＝3a﹣4+a2＝0，解得a＝1或a＝﹣4，又當(dāng)a=-4時(shí)，f′（x）＝-12x2﹣4x+16=-4（x-1）(3x+4)，此時(shí)f（x）在（上單增，在（1，上單減，所以x=1時(shí)取得極大值，舍去；又a=1時(shí)，f′（x）＝3x2﹣4x+1=（x-1）(3x-1)，此時(shí)f（x）在（上單減，在（1，上單增，符合在x＝1處取得極小值，所以a＝1．故答案為1【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值的問題，屬于基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．易錯(cuò)點(diǎn)是容易產(chǎn)生增根．15．《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱之為鱉臑（biē nào）．已知四面體為鱉臑，平面，且，若此四面體的體積為1，則其外接球的表面積為          ．【答案】【分析】由已知，可根據(jù)題意，設(shè)，然后根據(jù)體積為1，求解出，然后把鱉臑的外接球可還原在以為長(zhǎng)寬高的長(zhǎng)方體中，可根據(jù)長(zhǎng)方體的外接球半徑是其體對(duì)角線的一半求解出外接球半徑，從而求解外接球表面積.【詳解】由已知，因?yàn)?/span>平面，可令，所以，所以，所以，由已知，鱉臑的外接球可還原在以為長(zhǎng)寬高的長(zhǎng)方體中，設(shè)其外接球半徑為，所以其外接球的半徑，所以其外接球的表面積.故答案為：.16．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與交于、兩點(diǎn)，在處的切線與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，連接．若，則的最小值為          ．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)、，分析可知拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，且直線與軸不重合，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，列出韋達(dá)定理，證明出，，，可求出的值，利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，拋物線的焦點(diǎn)為，如下圖所示：設(shè)點(diǎn)、，接下來證明出拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，聯(lián)立可得，可得，所以，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，所以，直線的方程為，若與軸重合，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，在直線的方程中，令可得，可得，即點(diǎn)，，，所以，，即，因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，則，則；當(dāng)軸時(shí)，則，直線的方程為，聯(lián)立可得，解得，取點(diǎn)、，此時(shí)，直線的方程為，即，在直線的方程中，令可得，即點(diǎn)，所以，，則，則，此時(shí)，.綜上所述，，.因?yàn)?/span>，則，又因?yàn)?/span>，所以，，所以，，即，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值. 三、解答題17．某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購買一定金額商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，在摸出的2個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若只有1個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)；若沒有紅球，則不獲獎(jiǎng).（1）求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率；（2）若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）詳分布列見解析，.【分析】（1）記事件｛從甲箱中摸出的1個(gè)球是紅球｝，｛從乙箱中摸出的1個(gè)球是紅球｝｛顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)｝，｛顧客抽獎(jiǎng)1次獲二等獎(jiǎng)｝，｛顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)｝，則可知與相互獨(dú)立，與互斥，與互斥，且，，，再利用概率的加法公式即可求解；（2）分析題意可知，分別求得；；；，即可知的概率分布及其期望.【詳解】（1）記事件｛從甲箱中摸出的1個(gè)球是紅球｝，｛從乙箱中摸出的1個(gè)球是紅球｝，｛顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)｝，｛顧客抽獎(jiǎng)1次獲二等獎(jiǎng)｝，｛顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)｝，由題意，與相互獨(dú)立，與互斥，與互斥，且，，，∵，，∴，，故所求概率為；（2）顧客抽獎(jiǎng)3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，由（1）知，顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)的概率為，∴，于是；；；，故的分布列為0123的數(shù)學(xué)期望為.【解析】1.概率的加法公式；2.離散型隨機(jī)變量的概率分布與期望.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的概率分布與期望以及概率統(tǒng)計(jì)在生活中的實(shí)際應(yīng)用，這一直都是高考命題的熱點(diǎn)，試題的背景由傳統(tǒng)的摸球，骰子問題向現(xiàn)實(shí)生活中的熱點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化，并且與統(tǒng)計(jì)的聯(lián)系越來越密切，與統(tǒng)計(jì)中的抽樣，頻率分布直方圖等基礎(chǔ)知識(shí)綜合的試題逐漸增多，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)予以關(guān)注. 18．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求在上的值域；（2）若方程有三個(gè)不同的解，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的值域即可.（2）將問題轉(zhuǎn)化成與有三個(gè)交點(diǎn)的問題，通過求導(dǎo)得到圖象，通過圖象可知只需位于極大值和極小值之間即可，從而得到不等式，求解出范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則令，解得或列表如下；134 00 0由表可知，在上的最小值為，最大值為所以在的值域是（2）由，得設(shè)，則由，解得：，由，解得：或所以在遞減；在，遞增所以極大值為：；極小值為：，畫出的圖象如圖所示；  有三個(gè)不同解與有三個(gè)不同交點(diǎn)結(jié)合圖形知，，解得：，所以方程有三個(gè)不同的解時(shí)，的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值問題以及導(dǎo)數(shù)問題中的根的個(gè)數(shù)的問題的關(guān)鍵在于能夠?qū)栴}變成曲線和軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，從而利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)圖像，結(jié)合圖象得到相應(yīng)的關(guān)系.19．如圖，在矩形中，點(diǎn)在邊上，且滿足，將沿向上翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，構(gòu)成四棱錐.(1)若點(diǎn)在線段上，且平面，試確定點(diǎn)的位置；(2)若，求銳二面角的大小.【答案】(1)點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)(2) 【分析】（1）在取點(diǎn)使，根據(jù)線面平行的判定定理、面面平行的判定及性質(zhì)定理即得；（2）取的中點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解銳二面角的大小.【詳解】（1）點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，證明如下：如圖，在取點(diǎn)，連接，,使得，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面.又平面，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，所以在中，，所以，所以點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).（2）如圖，取的中點(diǎn)，以O為原點(diǎn)OE為x軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?/span>，所以，又，則，由題意，點(diǎn)P在過點(diǎn)O且垂直AE的平面上，故設(shè)，則，因?yàn)?/span>，所以，解得，故，則，設(shè)平面的法向量為，則，不妨取，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，記銳二面角的平面角為，所以，又，則，所以銳二面角的大小為.20．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)之比為，且點(diǎn)在橢圓C上．(1)求橢圓C的方程；(2)直線與x軸，橢圓C依次相交于三點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上的一點(diǎn)，若，求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由題意得，求解出，從而可得橢圓方程；（2）將直線方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)，設(shè)，，利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)，則得，表示出，從而可表示出的面積，再由的范圍可求得結(jié)果.【詳解】（1）根據(jù)題意得，解得，所以橢圓C的方程為．（2）由題意得，，將直線l的方程代入橢圓C的方程，整理得：，，由得，，設(shè)，，由韋達(dá)定理可得，設(shè)，所以，，即，所以，所以的面積．因?yàn)?/span>，所以的面積．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是由求出，從而可表示出的面積，考查數(shù)學(xué)計(jì)算能力和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.21．已知函數(shù)，.若恒成立，求的取值范圍；已知，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，求證：.【答案】（1）（2）見解析【詳解】試題分析：構(gòu)造，求導(dǎo)，算單調(diào)性，取最值情況法一：聯(lián)立方程組求解轉(zhuǎn)化為證明，設(shè)，求導(dǎo)證明結(jié)論；法二：要證，只需證，由單調(diào)性只需證，令證明結(jié)論解析：令，有，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得最大值，為， 若恒成立，則即. 方法一：，，，即， 欲證：，只需證明，只需證明，只需證明.設(shè)，則只需證明，即證：. 設(shè)，，在單調(diào)遞減，，，所以原不等式成立. 方法二：由（1）可知，若函數(shù) 有兩個(gè)零點(diǎn)，有，則，且， 要證，只需證，由于在上單調(diào)遞減，從而只需證，由，只需證， 又，即證即證，.令，，有在上單調(diào)遞增，，.所以原不等式成立.點(diǎn)睛：本題考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明恒成立和不等式問題，在證明恒成立時(shí)構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)利用單調(diào)性即可證明，在證明不等式時(shí)，有一定難度，注意題目的轉(zhuǎn)化，構(gòu)造或是利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為，本題屬于難題．22．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求曲線C的普通方程；（2）為曲線C上兩點(diǎn)，若，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由極坐標(biāo)與直角的互化公式，代入極坐標(biāo)方程，即可求得曲線C的普通方程；（2）由，設(shè)，則的點(diǎn)坐標(biāo)為，結(jié)合曲線的極坐標(biāo)方程和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解的值.【詳解】（1）由曲線C的極坐標(biāo)方程為，可得，將代入，可得可得曲線C的普通方程為.（2）因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，設(shè)，則的點(diǎn)坐標(biāo)為，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，以及曲線的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，其中解答中熟記極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，以及極坐標(biāo)方程的幾何意義是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.23．已知函數(shù)．(1)解關(guān)于x的不等式；(2)記的最小值為m，若a、b、c都是正實(shí)數(shù)，且，求證：．【答案】(1)不等式的解集為或；(2)證明見解析. 【分析】（1）化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，分、、三種情況解不等式，綜合可得出原不等式的解集；（2）由已知可得，利用柯西不等式即可證得原不等式成立.【詳解】（1）由，可得，當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等式無解；當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí).綜上所述，不等式的解集為或.（2）由絕對(duì)值三角不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故，由題意可知，正實(shí)數(shù)、、滿足，由柯西不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故原不等式得證. 

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