2022-2023學(xué)年四川省雅安市高二下學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)（文）試題 一、單選題1．已知，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可得解.【詳解】，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.故選：A.2．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，將集合化簡，然后結(jié)合交集的運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以.故選：C.3．設(shè)函數(shù)，則（    ）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】利用分段函數(shù)的函數(shù)值求法求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以.故選：C.4．函數(shù)的定義域是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)有意義的條件，求解函數(shù)定義域.【詳解】函數(shù)有意義，則有，即解得，所以函數(shù)的定義域是.故選：D5．已知命題p：，；命題q：直線：與：相互垂直的充要條件為，則下列命題中為真命題的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】確定命題的真假，然后由復(fù)合命題的真值表判斷．【詳解】令，則，所以p為真命題；若與相互垂直，則，解得，故q為假命題，所以只有為真命題.故選：B．6．下列說法中正確的是（    ）A．“”是“”成立的充分不必要條件B．命題，，則，C．在研究成對數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系時(shí)，相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)r越接近于1D．已知樣本點(diǎn)組成一個樣本，得到回歸直線方程，且，剔除兩個樣本點(diǎn)和得到新的回歸直線的斜率為3，則新的回歸方程為【答案】D【分析】對于A，利用特殊值進(jìn)行排除；對于B，根據(jù)命題的否定定義進(jìn)行判斷；對于C，相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)越接近于1；對于D，求出剔除兩個樣本點(diǎn)和得到新的樣本的平均數(shù)，再進(jìn)行求解.【詳解】對于A，滿足，但，所以“”不是“”成立的充分條件，故A錯誤；對于B，命題，，則，，故B錯誤；對于C，相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)越接近于1，當(dāng)負(fù)相關(guān)時(shí)，相關(guān)系數(shù)r越接近于，相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，故C錯誤；對于D，已知回歸直線方程，且，則，剔除兩個樣本點(diǎn)和，得到新的回歸直線的斜率為3，新樣本平均數(shù)，，則新的回歸方程為.故D正確.故選：D.7．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值1，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得，，，即可求出a，b的值，進(jìn)而得到.【詳解】由題意可得，，，因?yàn)?/span>，所以，解得，則，所以，故選：A.8．函數(shù)的部分圖象為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先求出函數(shù)的定義域，即可判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)函數(shù)的取值情況或零點(diǎn)，利用排除法判斷即可.【詳解】因?yàn)?/span>，令，解得或，所以的定義域?yàn)?/span>，又，所以為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除B，C；當(dāng)時(shí)，，或當(dāng)，即時(shí)，，故排除D.故選：A.9．經(jīng)過點(diǎn)作曲線的切線有（    ）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，寫出切線方程把代入，研究方程根的情況即可.【詳解】因?yàn)?/span>，設(shè)切點(diǎn)為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.將代入，得即：或，所以，此時(shí)，切點(diǎn)為；或因?yàn)?/span>，所以方程有兩個不同的根，且根不為0，所以方程共有3個不同的根，即經(jīng)過點(diǎn)作曲線的切線有3條.故選：C.10．已知，則a，b，c的大小關(guān)系是（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指，對，冪函數(shù)的單調(diào)性，即可比較大小.【詳解】函數(shù)單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，單調(diào)遞減，，所以，即.故選：C11．已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，是偶函數(shù)，，則（    ）A．0 B．1 C．-1 D．2【答案】B【分析】由函數(shù)的奇偶對稱性推得是周期為4的函數(shù)，并求得，最后利用周期性求目標(biāo)函數(shù)值.【詳解】由是偶函數(shù)，，則，又，，所以是周期函數(shù)，周期為4，對于，令，得，則，所以.故選：B12．已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有三個互不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)的問題，畫出函數(shù)圖象，考慮臨界點(diǎn)即可求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象如下圖所示，直線恒過點(diǎn)，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，解得，此時(shí)直線與有兩個交點(diǎn)，故關(guān)于的方程有兩個互不相等的實(shí)根；將代入得，當(dāng)時(shí)，直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，則，解得或，當(dāng)時(shí)，解得，不滿足，則應(yīng)舍去，即，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選：. 二、填空題13．已知，則___________.【答案】【分析】將作為常量對求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)，再將作為未知量求解即可.【詳解】由解析式知：，，解得.故答案為：14．若函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為           ．【答案】1【分析】先求出函數(shù)的定義域，再由，代入求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?/span>，解得：，所以由函數(shù)為奇函數(shù)，則，由，解得：.故答案為：.15．設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有恒成立，則不等式的解集是      ．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，利用函數(shù)性質(zhì)求解不等式作答.【詳解】依題意，令函數(shù)，則，因?yàn)?/span>時(shí)，，于是當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，則，因此當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而是定義在R上的奇函數(shù)，從而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以不等式的解集是.故答案為：16．已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是            .【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，作出函數(shù)的圖象，由已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?/span>，則，令，可得；令，可得或.所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，，令，即，即，解得，如下圖所示：由題意可得，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：. 三、解答題17．計(jì)算：(1)；(2).【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）根據(jù)換底公式及對數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】（1）（2）18．春節(jié)聯(lián)歡晩會是我國在除夕晩上舉辦的大型歡慶晩會，全國家家戶戶圍坐在電視機(jī)前欣賞一年中最重要的晩會，下表為某年觀看春晩的人數(shù)百分比：假設(shè)統(tǒng)計(jì)人數(shù)為200人，下表為分析年齡大于30的人和年齡不大于30的人對春晩是否滿意的列聯(lián)表：(1)請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整； 滿意不滿意合計(jì)年齡不大于3050  年齡大于30 66 合計(jì)   年齡（歲）百分比10%27%17%13%33%(2)能否有99%的把握認(rèn)為年齡大于30的人和年齡不大于30的人對春晩評價(jià)有差異.附：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析(2)有 【分析】（1）由題意計(jì)算年齡不大于30的人數(shù)和年齡大于30的人數(shù)，即可得列聯(lián)表；（2）計(jì)算的值，與臨界值表比較，即可得結(jié)論.【詳解】（1）年齡不大于30的有人，則年齡不大于30對春晩不滿意的有人；年齡大于30的有人，則年齡大于30對春晩滿意的有人，所以，列聯(lián)表如下： 滿意不滿意合計(jì)年齡不大于30502474年齡大于306066126合計(jì)11090200（2） ，故有的把握認(rèn)為年齡大于30的人和年齡不大于30的人對春晩評價(jià)有差異.19．已知函數(shù)（）.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)極小值為，無極大值.(2)的取值范圍是. 【分析】（1）先求函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值點(diǎn)的關(guān)系求極值點(diǎn)，再求極值即可；（2）由條件可知在上恒成立，再分離變量求最值即可求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，  求導(dǎo)得，整理得：.令可得，或（舍去）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極小值，極小值為，函數(shù)無極大值；（2）由已知時(shí)，恒成立，所以恒成立，即恒成立，則.令函數(shù)，由知在單調(diào)遞增，從而.經(jīng)檢驗(yàn)知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不是常函數(shù)，所以的取值范圍是.20．已知，p：“函數(shù)的定義域?yàn)?/span>”，q：“，使得成立”．(1)若q為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若“”為真命題，“”為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問題，從而求出的取值范圍；（2）當(dāng)命題為真時(shí)根據(jù)進(jìn)行分類討論，注意借助與的大小關(guān)系，求出的取值范圍，然后通過含邏輯聯(lián)結(jié)詞的復(fù)合命題的真假判斷出的真假，由此求解出的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)為真命題時(shí)，在上有解，所以，當(dāng)時(shí)取，有最大值3，所以，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為；（2）當(dāng)為真命題時(shí)，當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?/span>，滿足題意；當(dāng)時(shí)，要使的定義域?yàn)?/span>R，則，解得，綜上可知：的取值范圍是.因?yàn)?/span>為真命題且為假命題，所以一真一假，當(dāng)真假時(shí)，，解得，當(dāng)假真時(shí)，，此時(shí)，綜上，的取值范圍是.21．“城市公交”泛指城市范圍內(nèi)定線運(yùn)營的公共汽車及軌道交通等交通方式，也是人們?nèi)粘３鲂械闹饕绞?/span>.某城市的公交公司為了方便市民出行，科學(xué)規(guī)劃車輛投放，在一個人員密集流動地段增設(shè)一個起點(diǎn)站，為了研究車輛發(fā)車間隔時(shí)間x與乘客等候人數(shù)y之間的關(guān)系，經(jīng)過調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)：間隔時(shí)間（x分鐘）68101214等候人數(shù)（y人）1518202423(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出折線圖，易知可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于x的回歸直線方程，并預(yù)測車輛發(fā)車間隔時(shí)間為20分鐘時(shí)乘客的等候人數(shù).附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，；相關(guān)系數(shù)； .【答案】(1)答案見解析(2)，31人. 【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)的公式，分別計(jì)算數(shù)據(jù)求解即可；（2）根據(jù)回歸直線方程的參數(shù)計(jì)算公式可得關(guān)于的回歸直線方程為，再代入求解即可.【詳解】（1）由題意，知，，，，所以.又，則.因?yàn)?/span>與的相關(guān)系數(shù)近似為0.95，說明與的線性相關(guān)非常高，所以可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.（2）由（1）可得，，則，所以關(guān)于的回歸直線方程為，當(dāng)時(shí)，，所以預(yù)測車輛發(fā)車間隔時(shí)間為20分鐘時(shí)乘客的等候人數(shù)為31人.22．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(3) 【分析】（1）代入，求出，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線的斜率，即可得到切線方程；（2），對以及進(jìn)行討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號即可得到的單調(diào)區(qū)間；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，可知，根據(jù)題意，應(yīng)有，即.令，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)即可求得實(shí)數(shù)的取值集合.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線斜率，又.所以，切線方程為，整理可得.（2）定義域?yàn)?/span>R，.當(dāng)時(shí)，在R上恒成立，所以在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，解，即，解得，解，得，則在上單調(diào)遞增，解，得，則在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，不滿足要求，所以.則由（2）知，在時(shí)，取得最小值.要使恒成立，則只需滿足即可，即.令，即..令，則.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，在處取得極大值，也是最大值，所以.又，所以，所以有.即當(dāng)時(shí)，，有成立.所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為. 

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