2022-2023學(xué)年四川省綿陽市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則得到，然后判斷象限即可.【詳解】，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限.故選：B.2．命題 “”，則p為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)全稱命題的否定形式求解.【詳解】命題 “”為全稱命題，其否定為特稱命題，即p：.故選：C3．袋中有黑、白兩種顏色的球，從中進(jìn)行有放回地摸球，用表示第一次摸得黑球，表示第二次摸得黑球，則與是（    ）A．相互獨(dú)立事件 B．不相互獨(dú)立事件C．互斥事件 D．對立事件【答案】A【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的含義即可判斷.【詳解】由題意可得表示第二次摸到的不是黑球,即表示第二次摸到的是白球,由于采用有放回地摸球,故每次是否摸到白球互不影響,故事件與是相互獨(dú)立事件，由于與可能同時(shí)發(fā)生，故不是互斥事件也不是對立事件.故選：A.4．的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（    ）A． B．1C．6 D．12【答案】C【分析】求出的通項(xiàng)，令，即可得出答案.【詳解】的通項(xiàng)為：，令，解得：，則項(xiàng)的系數(shù)為.故選：C.5．函數(shù)的大致圖像為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用排除法，先利用函數(shù)值正負(fù)的分布判斷B錯(cuò)誤，再利用特殊值判斷D錯(cuò)誤,根據(jù)極值點(diǎn)確定C錯(cuò)誤，即得答案.【詳解】函數(shù)中，，當(dāng)時(shí),,看圖像知B選項(xiàng)錯(cuò)誤；函數(shù)中，，當(dāng)時(shí),, 看圖像知D選項(xiàng)錯(cuò)誤；解得，故為函數(shù)的極值點(diǎn)，故C選項(xiàng)不符合，A選項(xiàng)正確. 故選：A.6．若函數(shù)，則“”是“函數(shù)在上為減函數(shù)”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由已知條件將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，求出的范圍.再由充分條件、必要條件的定義，判斷即可得解.【詳解】因?yàn)?/span>在上為減函數(shù)，所以在上恒成立.即在上恒成立，解得.又是的必要不充分條件，所以“”是“函數(shù)在上為減函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B.7．已知命題：隨機(jī)變量的方差，則：命題：已知兩個(gè)不同平面的法向量分別為，若，則．則下列命題中的真命題是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)和面面垂直的向量證明可知命題的真假性，根據(jù)含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假性的判斷方法可得到結(jié)果.【詳解】命題：，則命題為假命題；命題：由可得，，則命題為真命題；對于A，為假命題，A錯(cuò)誤；對于B，為假命題，為假命題，B錯(cuò)誤；對于C，為真命題，為真命題，C正確；對于D，為假命題，為假命題，D錯(cuò)誤.故選：C.8．第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會，將于2023年7月28日在成都舉辦，是中國西部第一次舉辦世界性綜合運(yùn)動(dòng)會．某高校有甲，乙，丙，丁，戊5名翻譯志愿者去參加A，B，C，D，E，五個(gè)場館的服務(wù)工作，每人服務(wù)一個(gè)場館且每個(gè)場館需要一人．由于特殊原因甲不去A場館，乙不去場館，則不同的安排方法有（    ）A．120種 B．96種C．78種 D．48種【答案】C【分析】先進(jìn)行5人全排列，再減五考慮將甲去A場館，乙去B場館，最后加回甲去A場館，同時(shí)乙去B場館，即可.【詳解】先將五人全排列放入五個(gè)場館，共有種方法，再考慮將甲去A場館，其他四個(gè)人全排列，共有種方法，乙去B場館，其他四個(gè)人全排列，共有種方法，而甲去A場館，同時(shí)乙去B場館，共有種方法，所以滿足要求的方法有種.故選：C9．若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A． B．C． D．或【答案】A【分析】求導(dǎo)后，將問題轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)分布可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】由題意知：定義域?yàn)?/span>，，令，有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，解得：.故選：A.10．在四棱錐中，底面是菱形，平面，為棱上的一動(dòng)點(diǎn)．則線段長度的最小值為（    ）A．3 B．C． D．【答案】D【分析】利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合條件及三角形面積公式，即可求解.【詳解】由題意可知，平面，平面，所以，，且是菱形，所以，，所以，根據(jù)余弦定理，，則,所以，當(dāng)時(shí)，最短，此時(shí)即，得.所以線段長度的最小值為.故選：D11．甲、乙兩名游客慕名來到四川旅游，準(zhǔn)備分別從九寨溝、峨眉山、海螺溝、都江堰、青城山這5個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選一個(gè)．事件：甲和乙選擇的景點(diǎn)不同，事件：甲和乙恰好有一人選擇九寨溝．則條件概率（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先利用古典概率公式求出和的概率，再利用條件概率公式即可求出結(jié)果.【詳解】由題知，，，所以，故選：A.12．已知，使得成立，其中為常數(shù)且，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】取，對求導(dǎo)，得到的單調(diào)性，則可判斷A，B；將題意轉(zhuǎn)化為，對求導(dǎo)，得到的單調(diào)性和最值，即可判斷C，D.【詳解】取，則，，令，解得：，令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，成立，此時(shí)，，故A，B錯(cuò)誤；，使得成立，即證明，，，令，解得：，令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，故C正確；D錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是將題意轉(zhuǎn)化為，對求導(dǎo)，得到的單調(diào)性，即可求出，即可得證. 二、填空題13．已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則         ．【答案】【分析】先求出復(fù)數(shù)，然后直接根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義求解即可.【詳解】由于，所以，所以.故答案為：.14．若，則         ．（用數(shù)字作答）【答案】【分析】分別令和，所得兩式作差即可整理得到結(jié)果.【詳解】令，則；令，則，兩式作差得：，.故答案為：.15．過點(diǎn)作曲線的切線，則切線方程為         ．【答案】【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)表示出切線的斜率，然后把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入到曲線的導(dǎo)函數(shù)中得到切線的斜率，兩者相等即可求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入到曲線解析式得到切點(diǎn)的縱坐標(biāo)和切線的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式寫出切線方程即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)，且，則，①又，則切線斜率為，②由①②解得，，所以，切線的斜率為，切線方程為，即.故答案為：.16．已知函數(shù)在上為減函數(shù)，命題為假命題，則的最大值為         ．【答案】2【分析】根據(jù)給出的函數(shù)得到，，進(jìn)而得到，然后利用放縮法驗(yàn)證不符合題意，進(jìn)而得到答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，且，所以，，即，，所以，所以，即時(shí)，一定滿足題意，此時(shí)由知，的最大值為2；下驗(yàn)證不符合題意，如圖：在直角坐標(biāo)系中作出單位圓，，的終邊與單位圓交于P，  的正弦線為有向線段MP，則，因?yàn)?/span>，，又.所以，即．所以，即時(shí)原命題為真命題，不符合.故答案為：2【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的綜合問題.三角函數(shù)問題要善用數(shù)形結(jié)合的方法，通過已知條件的轉(zhuǎn)化進(jìn)而求解答案.． 三、解答題17．某學(xué)校為筑牢校園安全防線，提升學(xué)生安全意識，舉辦了一次知識競賽，以學(xué)生團(tuán)隊(duì)為單位參加比賽，每個(gè)團(tuán)隊(duì)每題作答正確得分，錯(cuò)誤得分，已知甲隊(duì)回答題庫中三類相關(guān)知識題目正確率如下表：題目類別交通安全消防安全防溺水正確率(1)若甲隊(duì)抽到交通安全、消防安全各一道題目，求甲隊(duì)作答這兩道題目后得分不低于分的概率；(2)已知甲隊(duì)抽到道題目，且類別均不相同，設(shè)甲隊(duì)在作答完這道題目后的總分為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析；數(shù)學(xué)期望 【分析】（1）得分不低于分有兩題全對和兩題一對一錯(cuò)的情況，根據(jù)概率加法和獨(dú)立事件概率乘法公式可計(jì)算得到結(jié)果；（2）確定所有可能的取值，結(jié)合獨(dú)立事件概率乘法公式可求得每個(gè)取值對應(yīng)的概率，由此可得分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式可求得期望值.【詳解】（1）設(shè)答對交通安全題目、答對消防安全題目的事件分別為，，兩道題目回答得分不低于分的事件為，則，該隊(duì)兩道題目回答得分不低于分的概率為.（2）由題意知：所有可能的取值為，；；；；則的分布列為：數(shù)學(xué)期望.18．如圖，二面角的大小為，四邊形與均為正方形，，，記．  (1)請用表示，并求；(2)求異面直線與所成角的余弦值．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用向量的線性運(yùn)算表示，然后利用向量數(shù)量積的公式求出即可；（2）利用向量的模長公式求出，然后利用向量數(shù)量積的公式求出兩個(gè)向量夾角的余弦值即可.【詳解】（1）由已知得：，，∴，∴（2）四邊形與均為正方形，平面平面,所以即二面角的大小為，且∴，∴===，∴異面直線AB與PQ所成角的余弦值為．19．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得極小值，且．(1)求函數(shù)的解析式；(2)討論函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)(2)見解析 【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，代入和 ，即可求解；（2）首先求函數(shù)的零點(diǎn)，再討論的取值，結(jié)合函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，即可討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以，∵時(shí)，有極小值，∴，即，即.當(dāng)時(shí)，，令，即，令，即或，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在處取得極小值，符合題目條件.又，所以，∴.（2）由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，得，，①當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，，∴在上無零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，則，則在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，∴在上有兩個(gè)零點(diǎn)；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)．20．如圖，在多面體中，平面平面平面和均為正三角形，，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)．  (1)求證：平面；(2)若為中點(diǎn)，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）直接利用直線與平面平行的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，進(jìn)而可求解.【詳解】（1）取AC中點(diǎn)O，連接DO、OB，在正△ACD和正△ABC中，，∴，，，而平面平面，平面平面，平面，平面，∴平面，平面，又平面，所以，而．∴四邊形是平行四邊形，所以，而平面，平面，∴平面．（2）由（1）知，OB，OC，OD兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，  則，，，，，∴，，顯然平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，，∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為．21．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)性；(2)若在上存在最小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)在，上單調(diào)遞增(2) 【分析】（1）求導(dǎo)后，令，再利用導(dǎo)數(shù)可求得，由此可確定，進(jìn)而得到單調(diào)性；（2）求導(dǎo)后，令，求得后，分別在和的情況下，根據(jù)的正負(fù)確定單調(diào)性，并得到的零點(diǎn)，由此可得正負(fù)，從而得到單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)有最小值可確定符合題意的的取值范圍.【詳解】（1）由題意知：的定義域?yàn)?/span>，；令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，恒成立，在，上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，；令，則，①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，，即，在上單調(diào)遞增，此時(shí)在上不存在最小值，不合題意；②當(dāng)時(shí)，若，；若，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，令，則，令，則，在上單調(diào)遞增；，在上單調(diào)遞增，令，則，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，，，使得，且當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即存在最小值；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)有最值求解參數(shù)范圍的問題；根據(jù)函數(shù)有最值求解參數(shù)范圍的關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為對于含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性的討論問題，通過單調(diào)性和極值、最值的關(guān)系可確定符合題意的參數(shù)取值范圍.22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，其中.(1)求的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程；(2)直線與曲線交于A，兩點(diǎn)，且A，兩點(diǎn)對應(yīng)的極角分別為，，求的值.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程、普通方程的轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)果；（2）先將的極坐標(biāo)方程寫出，再與聯(lián)立解方程，由圖象分析即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由得，消去得為的普通方程；由，得，令，，得為直線的直角坐標(biāo)方程.（2）在中，令，，所以，即為的極坐標(biāo)方程，聯(lián)立得，所以，所以，又，所以，所以或或或，解得或或或，由圖可知，兩交點(diǎn)位于第一、四象限，所以或，所以.23．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)若的最小值為2，且，求的最小值．【答案】(1)(2)9 【分析】（1）根據(jù)零點(diǎn)分區(qū)間，分類求解即可，（2）根據(jù)絕對值三角不等關(guān)系可得，進(jìn)而結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，綜上所述，不等式的解集為．（2），當(dāng)且僅當(dāng)等號成立，，即，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即，時(shí)，等號成立，故的最小值為9 

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