2022-2023學年四川省遂寧市高二下學期期末數(shù)學（理）試題 一、單選題1．設是虛數(shù)單位，若復數(shù)，則的共軛復數(shù)為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由復數(shù)的乘法運算以及共軛復數(shù)的定義即可求解.【詳解】由得，所以的共軛復數(shù)為，故選：A2．命題“，”的否定為（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題判斷即可.【詳解】根據(jù)全稱命題的否定可得，命題“，”的否定為“，”.故選：C3．“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分、必要條件的知識確定正確答案.【詳解】，所以，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B4．設函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)可導，其圖象如圖所示，則導函數(shù)f′（x）的圖象可能是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)圖象得出單調(diào)性，然后判斷導函數(shù)的正負即可選出答案.【詳解】由函數(shù)的圖象，知當時，是單調(diào)遞減的，所以；當時，先減少，后增加，最后減少，所以先負后正，最后為負．故選：B．【點睛】本題考查原函數(shù)的單調(diào)性與導函數(shù)的正負的關(guān)系.屬于基礎題.5．已知拋物線的焦點為，拋物線上有一動點，，則的最小值為（   ）A．10 B．16 C．11 D．26【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的定義轉(zhuǎn)化為到拋物線準線的距離求解即可.【詳解】記拋物線的準線為，作于，由拋物線的定義知，所以，當，，三點共線時，有最小值，最小值為．故選：C6．“燃脂單車”運動是一種在音樂的烘托下，運動者根據(jù)訓練者的指引有節(jié)奏的踩踏單車，進而達到燃脂目的的運動，由于其操作簡單，燃脂性強，受到廣大健身愛好者的喜愛.已知某一單車愛好者的騎行速度v（單位：km/h）隨時間t（單位：h）變換的函數(shù)關(guān)系為，，則該單車愛好者騎行速度的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值，即可得解.【詳解】因為，，所以，所以時，當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.故選：C7．短道速滑隊6名隊員(含賽前系列賽積分最靠前的甲乙丙三名隊員在內(nèi))進行冬奧會選拔，記“甲得第一名”為p，“乙得第二名”為q，“丙得第三名”為r，若是真命題，是假命題，是真命題，則選拔賽的結(jié)果為(    )A．甲得第一名，乙得第二名，丙得第三名 B．甲得第二名，乙得第一名，丙得第三名C．甲得第一名，乙得第三名，丙得第二名 D．甲得第一名，乙沒得第二名，丙得第三名【答案】D【分析】根據(jù)或且非命題真假判斷即可.【詳解】若是真命題，是假命題，則p和q一真一假；若是真命題，則q是假命題，r是真命題；綜上可知，p真q假r真，故“甲得第一名、乙沒得第二名、丙得第三名”.故選：D.8．要排出某班一天中語文、數(shù)學、政治、英語、體育、藝術(shù)6堂課的課程表，要求數(shù)學排在上午（前4節(jié)），體育課排在下午（后2節(jié)），不同排法種數(shù)是（    ）A．720 B．192 C．180 D．144【答案】B【分析】根據(jù)題意，先排數(shù)學與體育，再排其余4節(jié)，然后由乘法原理即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，要求數(shù)學課排在上午（前4節(jié)），體育課排在下午（后2節(jié)），有種，再排其余4節(jié)，有種，再根據(jù)乘法原理，共有種方法.故選：B9．已知圓，若雙曲線的一條漸近線與圓C相切，則（    ）A． B． C． D．8【答案】C【分析】求出圓心和半徑，及雙曲線的漸近線，由相切關(guān)系列出方程，求出答案.【詳解】變形為，故圓心為，半徑為1，的漸近線方程為，不妨取，由點到直線距離公式可得，解得，負值舍去.故選：C10．若函數(shù)的最小值是，則實數(shù)m的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求時函數(shù)的最小值，再根據(jù)函數(shù)的最小值，得時，，求出m的取值范圍.【詳解】當時，，，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，，因為的最小值為，所以當時，，當時，.①若，在上單調(diào)遞減，，，得； ②若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，舍去.綜上.故選：B.11．已知，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用不等式的性質(zhì)以及導數(shù)求解單調(diào)性即可兩兩比較求解.【詳解】令，由于，因此，故，令，故在單調(diào)遞增，，即，所以，因此，故選：D12．已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，點M是橢圓C上任意一點，且的取值范圍為．當點M不在x軸上時，設的內(nèi)切圓半徑為m，外接圓半徑為n，則mn的最大值為（    ）．A． B． C． D．1【答案】C【分析】由的取值范圍為可求出，由正弦定理可得，再由焦點三角形的等面積法可得，所以，求出即可得出答案.【詳解】，，所以，所以，解得：，設，由正弦定理可得：，，可得：，又因為，設內(nèi)切圓的圓心為A，所以，所以，所以，又因為當在短軸的端點時，最大，此時，，，所以，故當時，mn取得最大值為.故選：C. 二、填空題13．的展開式中的系數(shù)為      ．【答案】40 【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式，直接計算即可得到結(jié)果.【詳解】展開式的通項公式為，令，則，所以的系數(shù)為．故答案為：40.14．已知方程表示橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是          ．【答案】且【分析】根據(jù)方程表示橢圓有，即可得范圍.【詳解】由方程表示橢圓，則，可得且.故答案為：且15．設雙曲線的左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上一點，且，則的大小為          ．【答案】/【分析】根據(jù)雙曲線方程求出、、，再由雙曲線的定義求出、，最后由余弦定理計算可得.【詳解】因為雙曲線，則，，所以，因為為雙曲線右支上一點，所以，又，所以，，，由余弦定理，即，解得，又，所以.故答案為：16．已知函數(shù)在處的切線斜率為，，若在上恒成立，則能取到的最大正整數(shù)為         【答案】3【分析】根據(jù)切線斜率可得，進而分離參數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求解單調(diào)性，即可求解.【詳解】，，由得，故，記，由于，所以，有均為的單調(diào)遞增函數(shù)，所以為遞增函數(shù)，，故存在唯一的，使得，即，故當因此單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故，由于，對勾函數(shù)在單調(diào)遞減，故，所以，所以能取到的最大正整數(shù)為3，故答案為：3【點睛】對于利用導數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別． 三、解答題17．分別求適合下列條件的方程：(1)長軸長為10，焦距為4的橢圓標準方程；(2)經(jīng)過點的拋物線的標準方程.【答案】(1)或(2)或 【分析】（1）根據(jù)長軸和焦距的定義求出a、c，進而求出b，即可求解；（2）設拋物線方程為或，將點P坐標代入，即可求解.【詳解】（1）設橢圓的長軸長為，焦距為由條件可得.所以.所以，當橢圓的焦點在軸上時，標準方程為；當橢圓的焦點在軸上時，標準方程為.（2）當拋物線的焦點在軸上時，可設所求拋物線的標準方程為，將點的坐標代入拋物線的標準方程得，此時，所求拋物線的標準方程為；當拋物線的焦點在軸上時，可設所求拋物線的標準方程為，將點的坐標代入拋物線的標準方程得，解得，此時，所求拋物線的標準方程為.綜上所述，所求拋物線的標準方程為或.18．已知函數(shù)的圖象過點，且在點P處的切線恰好與直線垂直．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)或 【分析】(1)將點坐標代入函數(shù)解析式得到關(guān)于的方程，再根據(jù)函數(shù)在切點處的導數(shù)等于切線的斜率再建立關(guān)于的另一個方程，即可求出，即可確定函數(shù)的解析式; (2)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用可求解.【詳解】（1）因為函數(shù)的圖象過點,所以,又因為,且點P處的切線恰好與直線垂直,所以,由解得,所以.（2）由(1)知，令，即，解得或，令，即，解得，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則有或，解得或.19．黨的二十大報告提出：“必須堅持科技是第一生產(chǎn)力?人才是第一資源?創(chuàng)新是第一動力，深入實施科教興國戰(zhàn)略?人才強國戰(zhàn)略?創(chuàng)新驅(qū)動發(fā)展戰(zhàn)略，開辟發(fā)展新領域新賽道，不斷塑造發(fā)展新動能新優(yōu)勢.”某數(shù)字化公司為加快推進企業(yè)數(shù)字化進程，決定對其核心系統(tǒng)DAP，采取逐年增加研發(fā)人員的辦法以提升企業(yè)整體研發(fā)和創(chuàng)新能力.現(xiàn)對2018~2022年的研發(fā)人數(shù)作了相關(guān)統(tǒng)計（年份代碼1~5分別對應2018~2022年）如下折線圖：(1)根據(jù)折線統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù)，計算該公司研發(fā)人數(shù)與年份代碼的相關(guān)系數(shù)，并由此判斷其相關(guān)性的強弱；(2)試求出關(guān)于的線性回歸方程，并預測2023年該公司的研發(fā)人數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：當認為兩個變量間的相關(guān)性較強參考公式相關(guān)系數(shù)，回歸方程中的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為，.【答案】(1)相關(guān)系數(shù)為0.988，相關(guān)變量有較強的相關(guān)性(2)，540人 【分析】(1)將數(shù)據(jù)代入公式計算即可求解；(2)結(jié)合（1）和題中的數(shù)據(jù)，代入公式計算即可求解.【詳解】（1）由題知因為，所以認為相關(guān)變量有較強的相關(guān)性.（2）由（1）得回歸方程為當時，即2023年該公司投入研發(fā)人數(shù)約540人.20．為提高學生的數(shù)學應用能力和創(chuàng)造力，學校打算開設“數(shù)學建模”選修課，為了解學生對“數(shù)學建模”的興趣度是否與性別有關(guān)，學校隨機抽取該校30名高中學生進行問卷調(diào)查，其中認為感興趣的人數(shù)占70%.(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有85%的把握認為學生對“數(shù)學建模”選修課的興趣度與性別有關(guān)？ 感興趣不感興趣合計男生12  女生 5 合計  30(2)若感興趣的女生中恰有4名是高三學生，現(xiàn)從感興趣的女生中隨機選出3名進行二次訪談，記選出高三女生的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望.附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)表格見解析，沒有85%的把握；(2)分布列見解析，. 【分析】（1）由題可得列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表可得進而即得；（2）由題可得X的取值，然后利用古典概型概率公式求概率，進而可得分布列，再利用期望公式即得.【詳解】（1）列聯(lián)表如下： 感興趣不感興趣合計男生12416女生9514合計21930，所以沒有85%的把握認為學生對“數(shù)學建模”選修課的興趣度與性別有關(guān)；（2）由題意可知X的取值可能為0，1，2，3，則，，， ，故X的分布列為X0123P.21．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，為橢圓上一點，面積最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓相交于兩點，若軸，垂足為.求證：直線的斜率；(3)為橢圓的右頂點，若過點且斜率不為0的直線交橢圓于兩點，為坐標原點.問：軸上是否存在定點，使得恒成立.若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)證明見解析(3)存在 【分析】（1）先求得，然后求得，從而求得橢圓的方程.（2）設，求得的坐標，進而求得直線的斜率.（3）設直線l為且，并與橢圓方程聯(lián)立，化簡寫出判別式和根與系數(shù)關(guān)系，由列方程，化簡求得的坐標.【詳解】（1）雙曲線的焦點坐標為，所以橢圓的焦點坐標為，則，又橢圓中，由于，所以面積最大值，故，則，所以橢圓的方程為：.（2）設，由于直線過原點，則，.所以直線的斜率.（3）由題設，可設直線l為且，聯(lián)立橢圓方程，整理得：，則，所以，即且，所以，，若存在使恒成立，則，由橢圓對稱性，不妨令在軸上方且，顯然，所以，即，所以，即，綜上，，所以，存在使恒成立.22．已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有兩個零點分別為.①求實數(shù)的取值范圍；②求證：.【答案】(1)答案見解析(2)①；②證明見解析 【分析】（1）根據(jù)題意，求導即可得到結(jié)果；（2）①根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為有兩個零點，然后利用導數(shù)，分類討論即可得到的取值范圍；②根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為，再由①中的結(jié)論，即只需證，然后構(gòu)造函數(shù)求導即可得到證明.【詳解】（1）由題意可得，①當時，在上遞增；②當時，在上遞減，在上遞增.（2）①等價于有兩個零點，令，則，在時恒成立，所以在時單調(diào)遞增，所以有兩個零點，等價于有兩個零點.因為 ，所以當時，，單調(diào)遞增，不可能有兩個零點；當時，令，得，單調(diào)遞增，令，得，單調(diào)遞減，所以，若，得，此時恒成立，沒有零點；若，得，此時有一個零點；若，得，因為，，，所以在，上各存在一個零點，符合題意，綜上，a的取值范圍為.②要證即證：，即證，由（2）中①知，，所以只需證.因為，，所以，，所以 ，只需證.設，令， 則，所以只需證 ， 即證 ， 令，，則 ，，即當時， 成立.所以，即.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)零點問題與利用導數(shù)證明不等式問題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意來構(gòu)造函數(shù)，然后通過導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)得到證明. 

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