2022-2023學(xué)年四川省瀘州市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．命題“，”的否定是（    ）．A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】根據(jù)全稱命題的否定分析判斷.【詳解】由題意可知：命題“，”的否定是“，”.故選：A.2．復(fù)數(shù)z滿足，則（    ）．A． B．2 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的意義、復(fù)數(shù)加法求解作答.【詳解】依題意，，則，所以.故選：B3．某保險公司為客戶定制了A，B，C，D，E共5個險種，并對5個險種參保客戶進(jìn)行抽樣調(diào)查，得出如下的統(tǒng)計圖： 用該樣本估計總體，以下四個說法錯誤的是（    ）．A．57周歲以上參保人數(shù)最少B．18～30周歲人群參?？傎M(fèi)用最少C．C險種更受參保人青睞D．31周歲以上的人群約占參保人群80％【答案】B【分析】根據(jù)扇形圖、散點圖、頻率圖對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，57周歲以上參保人數(shù)所占比例是，是最少的，A選項正確.B選項，“18～30周歲人群參保平均費(fèi)用”比“57周歲以上人群參保平均費(fèi)用”的一半還多，而18～30周歲人群參保人數(shù)所占比例是57周歲以上參保人數(shù)所占比例的兩倍，所以57周歲以上參保人群參?？傎M(fèi)用最少，B選項錯誤.C選項，C險種參保比例，是最多的，所以C選項正確.D選項，31周歲以上的人群約占參保人群，D選項正確.故選：B4．在區(qū)間上隨機(jī)選取一個數(shù)M，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，且輸入x的值為2，然后輸出n的值為N，則的概率為（    ）．  A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)程序框圖分析可得，再結(jié)合幾何概型運(yùn)算求解.【詳解】因為，則，可得；因為，則，可得；因為，則，輸出，即；所以的概率.故選：C.5．已知條件p：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，條件，則p是q的（    ）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】求出條件的等價條件，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，依題意，，因此，解得，顯然?，所以p是q的充分不必要條件.故選：A6．某學(xué)校有2000人參加模擬考試，其中數(shù)學(xué)考試成績近似服從正態(tài)分布，試卷滿分150分，統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀（高于120分）的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，則此次數(shù)學(xué)考試成績在90分到120分（含90分和120分）之間的人數(shù)約為（    ）．A．400 B．600 C．800 D．1200【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性求出成績在90分到120分的概率，即可求解作答.【詳解】依題意，隨機(jī)變量，有，即正態(tài)曲線的對稱軸為，由，得，所以此次數(shù)學(xué)考試成績在90分到120分之間的人數(shù)約為.故選：D7．已知拋物線的焦點為F，點P在C上，若點，則周長的最小值為（    ）．A．13 B．12 C．10 D．8【答案】A【分析】由拋物線的定義結(jié)合三點共線取得最小值.【詳解】，故,記拋物線的準(zhǔn)線為，則：，記點到的距離為，點到的距離為，則.故選：A.  8．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值范圍是（    ）．A． B．C． D．【答案】C【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用給定的單調(diào)性建立不等式，分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出最大值作答.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，依題意，，恒成立，令函數(shù)，，求導(dǎo)得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，即，則，顯然當(dāng)時，，當(dāng)時，，而，即有，所以實數(shù)m的取值范圍是.故選：C9．已知，，是圓上的動點，若，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】線段的中點為，考慮和兩種情況，計算垂直平分線，再根據(jù)垂直平分線和圓有交點得到，解得答案.【詳解】線段的中點為，當(dāng)時，存在點滿足；當(dāng)時，直線的斜率，所以線段的垂直平分線的方程為，整理得．若，則直線與圓有公共點，所以，整理得，因為，所以，解得．綜上可知，的取值范圍是．故選：C10．為了防止部分學(xué)生考試時用搜題軟件作弊，命題組指派5名教師對數(shù)學(xué)試卷的選擇題、填空題和解答題這3種題型進(jìn)行改編，則每種題型至少指派一名教師的不同分派方法種數(shù)為A．150 B．180 C．200 D．280【答案】A【分析】根據(jù)題意，分析可得人數(shù)分配上有兩種方式即1，2，2與1，1，3，分別計算兩種情況下的情況數(shù)目，相加可得答案．【詳解】解：人數(shù)分配上有兩種方式即1，2，2與1，1，3．若是1，1，3，則有種，若是1，2，2，則有種所以共有150種不同的方法．故選：．【點睛】本題考查排列、組合的運(yùn)用，難點在于分組的情況的確定，屬于中檔題．11．已知、為雙曲線的左、右焦點，點P在C的右支上，若，且直線與C的一條漸近線平行，則C的離心率為（    ）．A． B． C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的定義、直線斜率、勾股定理列式可得關(guān)系，從而可得雙曲線離心率.【詳解】如圖，  雙曲線的漸近線方程為，由雙曲線的定義可得①，因為，所以，則②，又直線與C的一條漸近線平行，所以③，聯(lián)立①③得：，代入②得：，即，則雙曲線的離心率.故選：D.12．已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值為（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，把變形為，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)在上單調(diào)遞增，得到，即，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出最小值.【詳解】因為，即，所以，所以.令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，令.則.令，解得：；令，解得：；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.即的最小值為.故選：B【點睛】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要有：（1）利用導(dǎo)函數(shù)幾何意義求切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，求極值（最值）；（3）利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍. 二、填空題13．甲乙兩名籃球運(yùn)動員最近6場比賽的得分如莖葉圖所示，若甲、乙的平均數(shù)相等，中位數(shù)也相等，則的值是          ．【答案】2【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)的定義運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：甲的得分依次為：，可得其平均數(shù)為，中位數(shù)為；乙的得分依次為：，可得其平均數(shù)為，因為，可得，因為，不妨設(shè)，可知若，則，乙的中位數(shù)為，不合題意；若，則，乙的中位數(shù)為，符合題意；若，則，乙的中位數(shù)為，不合題意；綜上所述：，，可得.故答案為：2.14．設(shè)x，y滿足條件，則的最大值為          ．【答案】4【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，再利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解作答.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影（含邊界），其中，目標(biāo)函數(shù)，即表示斜率為，縱截距為的平行直線系，畫直線，平移直線到直線，當(dāng)直線過點時，直線的縱截距最大，最大，，所以的最大值為4.故答案為：415．寫出使“的展開式存在常數(shù)項”的n的一個取值          ．【答案】3（答案不唯一）【分析】求出二項式展開式的通項公式，再分析計算作答.【詳解】二項式展開式的通項公式，由，得，又，因此，所以n的一個取值為3.故答案為：316．已知定義域為的函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)時，，設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，給出以下結(jié)論：①；②函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；③若時，函數(shù)在上是減函數(shù)；④若函數(shù)恰有四個零點．則a的取值范圍是．其中正確的序號是          （寫出所有正確命題的編號）．【答案】①②④【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性及函數(shù)的零點可判斷①；由于對稱可得，兩邊求導(dǎo)，可得導(dǎo)函數(shù)的對稱性，可判斷②；對導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)，可得的單調(diào)性，從而判斷③；由函數(shù)零點的定義，孤立參數(shù)即可求得滿足函數(shù)恰有四個零點時，實數(shù)a的取值范圍，可判斷④.【詳解】因為的圖象關(guān)于直線對稱，所以，當(dāng)時，，所以，所以，故①正確；對兩邊求導(dǎo)可得，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故②正確；若時，當(dāng)時，，則，令，則恒成立所以函數(shù)在上是增函數(shù)，故③不正確；因為恰有四個零點，所以當(dāng)時，恰有兩個零點，且當(dāng)時，恰有兩個零點，因為時，，令，則有或，所以有一個解且不為，因為，即，所以與在時的圖象有一個交點，令，則，所以在單調(diào)遞減，又，當(dāng)逼近于時，逼近于0，且，因為與在時的圖象有一個交點，所以，且，因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以當(dāng)時，同理可得且，所以當(dāng)恰有四個零點，則的取值范圍是，故④正確.綜上，正確的序號是①②④.故答案為：①②④. 三、解答題17．2023年1月9日，中國在文昌航天發(fā)射場使用長征七號改運(yùn)載火箭（下簡稱長七改火箭），成功發(fā)射實踐二十三號衛(wèi)星，中國航天實現(xiàn)2023年宇航發(fā)射“開門紅”．為了解某中學(xué)高二學(xué)生對此新聞事件的關(guān)注程度，從該校高二學(xué)生中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查樣本中有20名女生．如圖是根據(jù)樣本的調(diào)查結(jié)果繪制的等高條形圖（陰影區(qū)域表示關(guān)注“長七改火箭”的部分）．(1)請你依據(jù)2×2列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗，判斷該校高二學(xué)生是否有95％的把握認(rèn)為對“長七改火箭”的關(guān)注程度與性別有關(guān)？ 關(guān)注沒關(guān)注合計男   女   合計   (2)若將頻率視為概率，現(xiàn)從該校高二的女生中隨機(jī)抽取3人，記被抽取的3名女生中對“長七改火管”新聞關(guān)注的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和均值．附：，其中．0.1500.1000.0500.0100.0052.0722.7063.8416.6357.879【答案】(1)列聯(lián)表見詳解，沒有95％的把握認(rèn)為對“長七改火箭”的關(guān)注程度與性別有關(guān)(2)分布列見詳解， 【分析】（1）根據(jù)題意完善列聯(lián)表，求，并與臨界值對比分析；（2）根據(jù)題意分析可得，結(jié)合二項分布求分布列和期望.【詳解】（1）由題意可知：樣本中有30名男生，20名女生，其中男生關(guān)注“長七改火箭”的有人，女生關(guān)注“長七改火箭”的有人，可得列聯(lián)表為 關(guān)注沒關(guān)注合計男151530女61420合計212950則，所以沒有95％的把握認(rèn)為對“長七改火箭”的關(guān)注程度與性別有關(guān).（2）由題意可得：女生關(guān)注“長七改火箭”的頻率為，則，可得的取值可能為，則：，，所以的分布列為0123可得的期望.18．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)時，函數(shù)在上的最小值為，求a的值．【答案】(1)答案見解析；(2). 【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分類討論解不等式作答.（2）利用（1）的結(jié)論求出最小值，即可計算作答.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，由得或，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，由得或，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間是；當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間是；當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間是.（2）由（1）知，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，于是，解得所以a的值為.19．新能源汽車綠色出行引領(lǐng)時尚，某市有統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，某充電站6天使用充電樁的用戶數(shù)據(jù)如下表，用兩種模型①；②分別進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程分別為，，進(jìn)行殘差分析得到如表所示的殘差值及一些統(tǒng)計量的值（殘差值＝真實值－預(yù)測值）．日期x（天）123456用戶y（人）132243455568模型①的殘差值0.4模型②的殘差值0.34.33.8參考數(shù)據(jù)：，，，．(1)若殘差值的絕對值之和越小，則模型擬合效果越好．根據(jù)表中數(shù)據(jù)，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪一個模型？并說明理由；(2)若殘差絕對值大于3的數(shù)據(jù)認(rèn)為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除，剔除異常數(shù)據(jù)后，重新求出（1）中所選模型的回歸方程（參考公式：，）．【答案】(1)應(yīng)該選模型①，理由見解析.(2) 【分析】（1）求出兩模型的殘差值得絕對值之和進(jìn)行比較即可.（2）先剔除異常數(shù)據(jù)，然后利用回歸方程的公式結(jié)合已知數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以，當(dāng)時， ，，模型①殘差值的絕對值之和為：，模型②殘差值的絕對值之和為：，因，所以模型①的擬合效果較好，應(yīng)該選模型①.（2）由題意剔除異常數(shù)據(jù)即第3天的數(shù)據(jù)后，得，，，，，故關(guān)于的回歸方程為.20．已知橢圓的離心率為，直線與橢圓C相交于兩點M，N，且．(1)求C的方程；(2)若點，直線與橢圓C交于兩點B，D，且與x軸交于點T．連接和．從下列三個條件中選取一個作為條件，探究直線l是否過定點，如是，請求出，如果不是，請說明理由．①點B關(guān)于x軸的對稱點在直線上；②若直線與直線的傾斜角分別為，，且滿足；③B，D兩點不在x軸上，設(shè)和的面積分別為和，且．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)(2)過定點，理由見解析. 【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)即可列方程求解，（2）無論選擇哪一個條件，問題都轉(zhuǎn)化為，聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達(dá)定理，即可根據(jù)斜率公式，代入化簡即可求解，進(jìn)而可得定點坐標(biāo).【詳解】（1）由直線與橢圓C相交于兩點M，N，且可知點在橢圓上，所以，解得，所以橢圓方程為（2）若選①點B關(guān)于x軸的對稱點在直線上；則可知直線，關(guān)于x軸對稱，所以，聯(lián)立直線與橢圓的方程得，設(shè)，由韋達(dá)定理可得，，，因此，化簡得，此時，符合題意，此時直線為恒過定點，若選②若直線與直線的傾斜角分別為，，且滿足；則，故，接下求解與選①同.若選擇③B，D兩點不在x軸上，設(shè)和的面積分別為和．由于,又，所以,所以，接下求解與選①同.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中定點問題的兩種解法（1）引進(jìn)參數(shù)法：先引進(jìn)動點的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點.（2）特殊到一般法：先根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān).技巧：若直線方程為,則直線過定點;若直線方程為 (為定值),則直線過定點21．設(shè)函數(shù)，，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．(1)若曲線在處的切線與曲線相切，求a的值；(2)若，求證：．【答案】(1)(2)證明見詳解 【分析】求得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義運(yùn)算求解；分析可得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點存在性定理以及隱零點問題可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】（1）因為，則，可得，即切點坐標(biāo)為，切線斜率，所以切線方程為，即，又因為，則，設(shè)直線與曲線的切點為，可得，解得，所以a的值為.（2）因為，，可得，構(gòu)建，可知的定義域為，且，構(gòu)建，可知的定義域為，且，因為在內(nèi)單調(diào)遞增，則在內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以在內(nèi)存在唯一零點，當(dāng)時，，則在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則在內(nèi)單調(diào)遞增；且，所以在內(nèi)存在兩個零點，且，當(dāng)時，，則在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則在內(nèi)單調(diào)遞減；且x趨近于0時，趨近于，又因為，即，可得，構(gòu)建，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，且，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，且，即，所以在內(nèi)恒成立，故，即.  【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟（1）作差或變形；（2）構(gòu)造新的函數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題．22．在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．(1)求曲線C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)已知點，若直線l與曲線C交于A，B兩點，求的值．【答案】(1)；(2)8 【分析】（1）把消去可得曲線C的普通方程；利用兩角和與差的正弦公式展開，把，代入可得直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）先得到直線的參數(shù)方程（s為參數(shù)），代入曲線C的方程得到，利用s的幾何意義，可設(shè)，，再結(jié)合韋達(dá)定理可求.【詳解】（1）因為（t為參數(shù)），所以，所以曲線C的普通方程為， 因為，所以，因為，，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為.即（2）由（1）可得直線l的參數(shù)方程（s為參數(shù)），代入，整理得，設(shè)，，則，，所以.23．函數(shù)，設(shè)恒成立時m的最大值為n．(1)求n的值；(2)若a，b，c為正數(shù)，且滿足，證明：．【答案】(1)4(2)證明見解析 【分析】（1）零點分段討論，去掉絕對值，通過單調(diào)性得最小值解決恒成立問題，可求n的值；（2）利用柯西不等式證明結(jié)論.【詳解】（1），，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，由恒成立，則有，得.（2）由（1）可知若a，b，c為正數(shù)，由柯西不等式，得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，由，有，所以. 

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四川省瀘州市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理科）試題

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