2022-2023學(xué)年四川省雅安市高二下學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．已知，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（    ）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先解出復(fù)數(shù)，由復(fù)數(shù)的幾何意義判定.【詳解】因?yàn)?/span>，則，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限，故選：A.2．已知向量，，若，則（    ）A．2 B．18 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)表示求解即可．【詳解】因?yàn)?/span>，則存在實(shí)數(shù)使得，即，解得，所以，故選：B．3．已知命題p：，；命題q：直線：與：相互垂直的充要條件為，則下列命題中為真命題的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】確定命題的真假，然后由復(fù)合命題的真值表判斷．【詳解】令，則，所以p為真命題；若與相互垂直，則，解得，故q為假命題，所以只有為真命題.故選：B．4．下列說法中正確的是（    ）A．“”是“”成立的充分不必要條件B．命題，，則，C．在研究成對數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系時(shí)，相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)r越接近于1D．已知樣本點(diǎn)組成一個(gè)樣本，得到回歸直線方程，且，剔除兩個(gè)樣本點(diǎn)和得到新的回歸直線的斜率為3，則新的回歸方程為【答案】D【分析】對于A，利用特殊值進(jìn)行排除；對于B，根據(jù)命題的否定定義進(jìn)行判斷；對于C，相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)越接近于1；對于D，求出剔除兩個(gè)樣本點(diǎn)和得到新的樣本的平均數(shù)，再進(jìn)行求解.【詳解】對于A，滿足，但，所以“”不是“”成立的充分條件，故A錯(cuò)誤；對于B，命題，，則，，故B錯(cuò)誤；對于C，相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)越接近于1，當(dāng)負(fù)相關(guān)時(shí)，相關(guān)系數(shù)r越接近于，相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，故C錯(cuò)誤；對于D，已知回歸直線方程，且，則，剔除兩個(gè)樣本點(diǎn)和，得到新的回歸直線的斜率為3，新樣本平均數(shù)，，則新的回歸方程為.故D正確.故選：D.5．已知，且，則（    ）A．0.3 B．0.4 C．0.7 D．0.8【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布期望、方差公式及已知列方程求即可.【詳解】由題設(shè)，，則，所以.故選：C6．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值1，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得，，，即可求出a，b的值，進(jìn)而得到.【詳解】由題意可得，，，因?yàn)?/span>，所以，解得，則，所以，故選：A.7．經(jīng)過點(diǎn)作曲線的切線有（    ）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，寫出切線方程把代入，研究方程根的情況即可.【詳解】因?yàn)?/span>，設(shè)切點(diǎn)為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.將代入，得即：或，所以，此時(shí)，切點(diǎn)為；或因?yàn)?/span>，所以方程有兩個(gè)不同的根，且根不為0，所以方程共有3個(gè)不同的根，即經(jīng)過點(diǎn)作曲線的切線有3條.故選：C.8．小明通過調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)絡(luò)游戲《王者榮耀》每一局時(shí)長X（單位：分鐘）近似滿足．根據(jù)相關(guān)規(guī)定，所有網(wǎng)絡(luò)游戲企業(yè)僅可在周五、周六、周日和法定節(jié)假日每日20時(shí)至21時(shí)向未成年人提供1小時(shí)網(wǎng)絡(luò)游戲服務(wù)．小明還未成年，他在周五晚上20：45想打一局游戲，那么根據(jù)他的調(diào)查結(jié)果，他能正常打完一局比賽的概率為（    ）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．0.8414 B．0.1587 C．0.9773 D．0.0228【答案】B【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性求概率即可.【詳解】由題意知，故.故選：B．9．某醫(yī)院需要從4名女醫(yī)生和3名男醫(yī)生中抽調(diào)3人參加社區(qū)的健康體檢活動(dòng)，則至少有1名男醫(yī)生參加的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：根據(jù)題意，由組合數(shù)公式計(jì)算從7名醫(yī)生中抽調(diào)3人的所有可能結(jié)果，計(jì)算至少有1名男醫(yī)生參加的事件包含的選法，由古典概型公式計(jì)算可得答案；方法二：計(jì)算抽調(diào)3人全部為女醫(yī)生的概率，利用對立事件的概率公式，求出至少有1名男醫(yī)生參加的概率.【詳解】方法一：依題意，從7名醫(yī)生中抽調(diào)3人的所有可能結(jié)果共有（種），至少有1名男醫(yī)生參加的事件包含的結(jié)果共有（種），所以至少有1名男醫(yī)生參加的概率為.方法二：抽調(diào)3人全部為女醫(yī)生的概率為，則至少有1名男醫(yī)生參加的概率為.故選：C．10．如圖，已知是側(cè)棱長和底面邊長均等于的直三棱柱，是側(cè)棱的中點(diǎn).則點(diǎn)到平面的距離為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】取的中點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得點(diǎn)到平面的距離.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>為等邊三角形，為的中點(diǎn)，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，，所以，點(diǎn)到平面的距離為.故選：A.11．，當(dāng)時(shí)，都有，則實(shí)數(shù)的最大值為（    ）A． B． C． D．1【答案】B【分析】依題意對，當(dāng)時(shí)恒成立，，，則問題轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞增，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則在上恒成立，參變分離可得的取值范圍，即可得解.【詳解】因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，都有，即，即，令，，則恒成立，即在上單調(diào)遞增，又，所以在上恒成立，所以在上恒成立，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，所以，所以，即實(shí)數(shù)的最大值為.故選：B12．已知，則的最大值為（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，令，求得，得到單調(diào)遞增，得到，即，得到，令，求得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和最大值，即可求解.【詳解】由，可得，令，可得，所以單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>，可得，即，則，令，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，可得，所以的最大值為.故選：B. 二、填空題13．二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)等于             ．【答案】【分析】在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令的冪指數(shù)等于，求出的值，即可求得常數(shù)項(xiàng).【詳解】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為：，令，求得，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：14．若，則等于           .【答案】【分析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令求出，再令代入計(jì)算可得；【詳解】解：由，所以，令得，所以，故，故答案為：.15．已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是            .【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，作出函數(shù)的圖象，由已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?/span>，則，令，可得；令，可得或.所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，，令，即，即，解得，如下圖所示：由題意可得，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16．如圖，在棱長為2的正方體中，均為所在棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的序號是          ．  ①棱上一定存在點(diǎn)，使得；②三棱錐的外接球的表面積為；③過點(diǎn)作正方體的截面，則截面面積為；④設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)，且平面，則與所成角的余弦值的最大值為．【答案】②③④【分析】①建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)坐標(biāo)，通過空間向量垂直的坐標(biāo)表示求點(diǎn)進(jìn)行判斷；②使用補(bǔ)形法，將三棱錐補(bǔ)形為長方體求解即可；③畫出正方體過點(diǎn)的截面，為正六邊形，求面積即可；④設(shè)坐標(biāo)，用線面平行得出坐標(biāo)滿足的條件，再由空間向量求線線角余弦值的最大值即可.【詳解】對于①，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則由已知，，，設(shè)棱上一點(diǎn)，則，，若，則，整理得，即，無實(shí)數(shù)解，∴棱上不存在點(diǎn)，使得，故①錯(cuò)誤； 對于②，如圖，分別取棱，，，的中點(diǎn)，，，，由已知，，易知棱柱為長方體，其外接球的直徑為，外接球表面積，∵三棱錐的頂點(diǎn)均在長方體的外接球上，故該球也是三棱錐的外接球，∴三棱錐的外接球的表面積為，故②正確；對于③，如圖所示，過點(diǎn)作正方體的截面是邊長為的正六邊形，其可分成六個(gè)全等的，邊長為的等邊三角形，面積，故③正確；對于④，由①中所建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，，∴，設(shè)平面內(nèi)一點(diǎn)，則，∵平面，∴，即，又∵，∴與所成角的余弦值為，其中，，∴，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，與所成角的余弦值的最大值為，故④正確.故答案為：②③④.【點(diǎn)睛】解決立體幾何中動(dòng)點(diǎn)問題的有效方法之一，是建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，借助空間向量將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，通過運(yùn)算進(jìn)行求解. 三、解答題17．在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)是.(1)求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)2(2)0 【分析】（1）利用的展開式與的展開式即可求得的值；（2）利用賦值法分別求得，的值，進(jìn)而求得的值.【詳解】（1）由， 可得在的展開式中含的項(xiàng)是由的展開式中含項(xiàng)與的展開式中含項(xiàng)合并得到的，則（2）由（1）得，，令，則令，則則，則.18．某企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品按質(zhì)量分為一等品和二等品，該企業(yè)計(jì)劃對現(xiàn)有生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行改造，為了分析設(shè)備改造前后的效果，現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取200件產(chǎn)品作為樣本，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表： 一等品二等品合計(jì)設(shè)備改造前12080200設(shè)備改造后15050200合計(jì)270130400(1)判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量與設(shè)備改造有關(guān)；(2)按照分層抽樣的方法，從設(shè)備改造前的產(chǎn)品中取得了5件產(chǎn)品，其中有3件一等品和2件二等品.現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任選3件，記所選的一等品件數(shù)為X，求X的分布列及均值.附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】(1)能(2)分布列見解析， 【分析】（1）先計(jì)算，再根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想即可判斷；（2）根據(jù)超幾何分布即可求解分布列，再根據(jù)期望公式即可求解期望.【詳解】（1）零假設(shè)：產(chǎn)品的質(zhì)量與設(shè)備改造無關(guān)，根據(jù)小概率值0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下，該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量與設(shè)備改造有關(guān).（2）依題意，的可能值為1，2，3，，，，所以的分布列為：123數(shù)學(xué)期望.19．已知，p：“函數(shù)的定義域?yàn)?/span>”，q：“，使得成立”．(1)若q為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若“”為真命題，“”為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問題，從而求出的取值范圍；（2）當(dāng)命題為真時(shí)根據(jù)進(jìn)行分類討論，注意借助與的大小關(guān)系，求出的取值范圍，然后通過含邏輯聯(lián)結(jié)詞的復(fù)合命題的真假判斷出的真假，由此求解出的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)為真命題時(shí)，在上有解，所以，當(dāng)時(shí)取，有最大值3，所以，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為；（2）當(dāng)為真命題時(shí)，當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?/span>，滿足題意；當(dāng)時(shí)，要使的定義域?yàn)?/span>R，則，解得，綜上可知：的取值范圍是.因?yàn)?/span>為真命題且為假命題，所以一真一假，當(dāng)真假時(shí)，，解得，當(dāng)假真時(shí)，，此時(shí)，綜上，的取值范圍是.20．在四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，，，.(1)證明：平面平面；(2)若，，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）先證，由線線垂直證線面垂直即可；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算即可.【詳解】（1）證明：在等腰梯形中，，，，過點(diǎn)C作于E，則，可知，由余弦定理知，則，所以.又，，，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）解：因?yàn)?/span>平面，，所以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為x軸、y軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即.設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.21．2023年5月17日，318·川藏線零公里自駕游大本營旅游推介暨“5·17我要騎”雅安站活動(dòng)在雨城區(qū)拉開帷幕，318·川藏線零公里自駕游大本營再次成為關(guān)注焦點(diǎn).318·川藏線零公里自駕游大本營項(xiàng)目以“此生必駕318，首站打卡在雅安”，“世界第三極，雅安零公里”的交旅IP為文化指引，利用雅安交通區(qū)位和品牌資源優(yōu)勢，創(chuàng)新打造吸引力體驗(yàn)項(xiàng)目，提高雅安川藏游的話語權(quán)和影響力.某騎行愛好者在近段時(shí)間在專業(yè)人士指導(dǎo)下對騎行情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，各次騎行期間的身體綜合指標(biāo)評分x與對應(yīng)用時(shí)y（單位：小時(shí)）如下表：身體綜合指標(biāo)評分12345用時(shí)（小時(shí)）9.58.67.876.1(1)由上表數(shù)據(jù)看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立y關(guān)于x的回歸方程.參考數(shù)據(jù)和參考公式：相關(guān)系數(shù)，，，【答案】(1)答案見解析(2) 【分析】（1）利用相關(guān)系數(shù)的公式求出相關(guān)系數(shù)，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于，兩個(gè)變量線性相關(guān)的程度越高可得結(jié)論；（2）根據(jù)公式求出和可得結(jié)果.【詳解】（1），，，，，∴.相關(guān)系數(shù)近似為，說明與負(fù)相關(guān)，且相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系；（2）由（1）中數(shù)據(jù)，得，，關(guān)于的回歸方程為.22．已知函數(shù)．(1)若，求的極值；(2)討論的單調(diào)性；(3)若對任意，有恒成立，求整數(shù)m的最小值．【答案】(1)極大值為，無極小值．(2)分類討論，答案見解析.(3)1 【分析】（1）求導(dǎo)，通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，然后可得；（2）求導(dǎo)，分，討論可得；（3）參變分離，將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立問題，記，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值所在區(qū)間可得.【詳解】（1）的定義域?yàn)?/span>，當(dāng) 時(shí)，，令，解得當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減．所以在時(shí)取得極大值為，無極小值．（2）因?yàn)?/span>當(dāng)時(shí)，在上恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（3）因?yàn)閷θ我?/span>，恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立．設(shè)，則．設(shè)，，則在上單調(diào)遞減，因?yàn)?/span>，，所以，使得，即．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以．因?yàn)?/span>，所以，故整數(shù)的最小值為1．【點(diǎn)睛】本題第三問屬于恒成立問題,恒成立問題比較常見的處理方法之一便是參變分離法,然后構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化問函數(shù)最值問題,利用導(dǎo)數(shù)可解. 

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