2022-2023學(xué)年上海市虹口區(qū)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、填空題1．若直線：.與直線：互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為        .【答案】/【分析】利用兩直線垂直的充要條件，列出關(guān)于的方程，即可求得答案．【詳解】直線與直線垂直，，解得．故答案為：．2．現(xiàn)有4個(gè)醫(yī)療小組和4個(gè)需要援助的國家，若每個(gè)醫(yī)療小組只去一個(gè)國家，且4個(gè)醫(yī)療小組去的國家各不相同，則不同的分配方法共有        種.【答案】【分析】將個(gè)醫(yī)療小組全排列即可.【詳解】依題意將個(gè)醫(yī)療小組全排列即可，即不同的分配方法共有種.故答案為：3．已知是正方體棱的中點(diǎn)，則直線與平面所成的角的大小等于        .【答案】【分析】根據(jù)線面角的定義計(jì)算求得正確答案.【詳解】連接，如圖，    由于平面，所以是直線與平面所成角，設(shè)正方體的邊長為，則，所以，所以直線與所成角為，又平面平面，所以直線與平面所成的角為.故答案為：4．若函數(shù)，則        ．【答案】1【分析】對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后運(yùn)用代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】.故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．若，則正整數(shù)的值等于        .【答案】【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?/span>，即，所以，解得.故答案為：6．棱長都是3的三棱錐的高等于        .【答案】【分析】利用高、側(cè)棱及側(cè)棱在底面的射影構(gòu)成一個(gè)直角三角形，結(jié)合直角三角形的邊的關(guān)系即可求得三棱錐的高.【詳解】如圖，  設(shè)正三棱錐的頂點(diǎn)P在底面上的射影為，則在直角三角形中，，所以三棱錐的高，故答案為：7．已知平面直角坐標(biāo)系中的三點(diǎn)、、，若直線過點(diǎn)且與直線平行，則的方程為        .【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的斜率，再利用直線的斜截式方程求解作答.【詳解】依題意，直線的斜率，因?yàn)?/span>，因此直線的斜率為，直線過點(diǎn)，所以直線的方程為.故答案為：8．如圖，在三棱錐中，平面，，則以此三棱錐的棱為邊所構(gòu)成的三角形中，直角三角形的個(gè)數(shù)有        個(gè).  【答案】【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得到線線垂直，再由，即可得到平面，即可判斷.【詳解】因?yàn)?/span>平面，平面，所以，，，即、為直角三角形，又，，平面，所以平面，平面，所以，所以、也為直角三角形，即以此三棱錐的棱為邊所構(gòu)成的三角形中，直角三角形有個(gè).故答案為：9．從四棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)不同的點(diǎn)，則這四點(diǎn)能夠構(gòu)成不同三棱錐的個(gè)數(shù)是        （結(jié)果用數(shù)字作答）【答案】4【分析】根據(jù)題意，用排除法分析：先分析從四棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)不同的點(diǎn)的取法，排除其中共面的情況，分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，從四棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)不同的點(diǎn)，有種取法，其中共面，不能構(gòu)成不同三棱錐的情況有1種，則取出的四點(diǎn)能夠構(gòu)成不同三棱錐的個(gè)數(shù)是4；故答案為：4．10．已知P為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到直線的距離之和的最小值是           .【答案】4【分析】根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)F坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，由圓的方程求得圓心坐標(biāo)，半徑，然后根據(jù)拋物線的定義，將問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)F距離之和的最小值，從而即可求解．【詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，圓的圓心為，半徑為1， 根據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離， 從而可得：當(dāng)P，Q，F三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到直線距離之和的最小為 ，故答案：4.11．已知是等邊三角形，、分別是邊和的中點(diǎn).若橢圓以、為焦點(diǎn)，且經(jīng)過、，則橢圓的離心率等于        .【答案】【分析】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)的邊長為，即可求出、、，從而求出、，即可求出離心率.【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系， 因?yàn)?/span>是等邊三角形，、分別是邊和的中點(diǎn)，所以，設(shè)的邊長為，則，即，，，又，所以，所以橢圓的離心率.故答案為： 二、單選題12．雙曲線的兩條漸近線的夾角等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得雙曲線的兩條漸近線方程，得到斜率和傾斜角，再求出漸近線夾角的大小.【詳解】雙曲線的兩條漸近線的方程為，由直線的斜率為，可得傾斜角為，的斜率為，可得傾斜角為，所以兩條漸近線的夾角的大小為，故選：B.13．“，”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由正切函數(shù)性質(zhì)，應(yīng)用定義法判斷條件間充分、必要關(guān)系.【詳解】當(dāng)，，則，當(dāng)時(shí)，，.∴“，”是“”的充分不必要條件.故選：A14．下列命題中正確的是（    ）A．終邊重合的兩個(gè)角相等 B．銳角是第一象限的角C．第二象限的角是鈍角 D．小于90°的角都是銳角【答案】B【分析】根據(jù)象限角的定義以及終邊相同的角，可得答案.【詳解】對于A，終邊相同的角可表示為，故A錯(cuò)誤；對于B，銳角的取值范圍為，故B正確；對于C，第二象限角的取值范圍為，故C錯(cuò)誤；對于D，銳角的取值范圍為，其，則，但不是銳角，故D錯(cuò)誤.故選：B.15．下列說法正確的是（   ）A．若，則與的長度相等且方向相同或相反；B．若，且與的方向相同，則C．平面上所有單位向量，其終點(diǎn)在同一個(gè)圓上；D．若，則與方向相同或相反【答案】B【分析】對于A，利用向量的模的定義即可判斷；對于B，利用向量相等的定義判斷即可；對于C，考慮向量的起點(diǎn)位置判斷即可；對于D，考慮特殊向量即可判斷.【詳解】對于A，由只能判斷兩向量長度相等，不能確定它們的方向關(guān)系，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)?/span>，且 與同向，由兩向量相等的條件，可得 =，故B正確；對于C，只有平面上所有單位向量的起點(diǎn)移到同一個(gè)點(diǎn)時(shí)，其終點(diǎn)才會(huì)在同一個(gè)圓上，故C錯(cuò)誤；對于D，依據(jù)規(guī)定：與任意向量平行，故當(dāng)時(shí)，與的方向不一定相同或相反，故D錯(cuò)誤.故選：B.16．已知為虛數(shù)單位，下列說法中錯(cuò)誤的是（   ）A．復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量為，復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量為，若，則B．互為共軛復(fù)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)的模相等，且C．復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模D．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上【答案】D【分析】對于A，利用復(fù)數(shù)的幾何意義及向量數(shù)量積的運(yùn)算法則即可判斷；對于B，利用共軛復(fù)數(shù)的定義與復(fù)數(shù)模的運(yùn)算即可判斷；對于C，利用復(fù)數(shù)模的定義即可判斷；對于D，利用復(fù)數(shù)的幾何意義與模的運(yùn)算判斷即可.【詳解】對于A，因?yàn)?，所以，則，即，則，故正確；對于B，設(shè)，則，所以，，，所以，且，故B正確；對于C，根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義可知：復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模，故C正確；對于D，設(shè)，若復(fù)數(shù)滿足，則，即，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，故D錯(cuò)誤.故選：D. 三、解答題17．若：(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）將代入計(jì)算可得；（2）令求出，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，令，可得.（2）令可得，所以.18．亭子是一種中國傳統(tǒng)建筑，多建于園林，人們在欣賞美景的同時(shí)也能在亭子里休息、避雨、乘涼（如圖1）.假設(shè)我們把亭子看成由一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱構(gòu)成的幾何體（如圖2）.一般地，設(shè)圓錐中母線與底面所成角的大小為，當(dāng)時(shí)，方能滿足建筑要求.已知圓錐高為米，底面半徑為米，圓柱高為3米，底面半徑為2米.  (1)求幾何體的體積；(2)如圖2，設(shè)為圓柱底面半圓弧的三等分點(diǎn)，求圓柱母線和圓錐母線所在異面直線所成角的大小，并判斷該亭子是否滿足建筑要求.【答案】(1)(2)，該亭子滿足建筑要求 【分析】（1）利用柱體，錐體的體積公式計(jì)算即可；（2）連接，，可得為圓柱母線和圓錐母線所成的角，求解即可，再求出，即可判斷．【詳解】（1）圓柱的體積，圓錐的體積為，幾何體的體積；（2）  連接，，根據(jù)題意可得，為圓柱母線和圓錐母線所成的角，，，，，圓柱母線和圓錐母線所在異面直線所成角的大小為．又，因?yàn)?/span>，所以，故該亭子滿足建筑要求.19．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)是橢圓的上頂點(diǎn)，經(jīng)過的直線交橢圓于，兩個(gè)不同的點(diǎn).(1)求點(diǎn)到直線的距離；(2)若直線的斜率為，且，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）由橢圓的方程可得，的值，進(jìn)而求出的值，由題意可得，，的坐標(biāo)，求出直線的方程，再求到直線的距離；（2）由題意設(shè)直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，可得兩根之和及兩根之積，由，所以，整理可得的值．【詳解】（1）橢圓：，則，，，所以，，，所以直線的方程為，即，所以點(diǎn)到直線的距離.（2）依題意直線的斜率存在，則直線的方程為，由，消去整理可得，則，即，且，，因?yàn)?/span>，所以，，，即，整理可得，即，即，整理可得，解得或，都符合，所以的值為或．  20．如圖所示的幾何體中，四邊形為正方形，.  (1)求證：∥平面；(2)若，，平面平面.求平面與平面所成銳二面角的大小.【答案】(1)證明見解析；(2). 【分析】（1）根據(jù)題意可得，由線面平行的判定定理可得答案；（2）取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，分別為z軸，x軸，y軸，利用向量法求二面角即可.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅?/span>為正方形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）取中點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線，因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，因?yàn)?/span>是等邊三角形，所以，平面，所以平面，故兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別為z軸，x軸，y軸，  所以，所以，設(shè)平面的法向量，所以，即，令，則，所以，由題可知平面的法向量，設(shè)平面與平面所成銳二面角的平面角為，所以，所以平面與平面所成銳二面角的平面角為.21．如圖所示的幾何體中，四邊形為正方形，.  (1)求證：平面；(2)若，平面平面.若為中點(diǎn)，求證：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)題意可得，由線面平行的判定定理可得答案；（2）由面面垂直可得線面垂直，再由線面垂直的判定定理得出平面，即可得證.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅?/span>為正方形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）若，則為等邊三角形，如圖，  因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以.22．如圖，已知等腰直角三角形的兩直角邊，的邊長為4，過邊的等分點(diǎn)作邊的垂線，過邊的等分點(diǎn)和頂點(diǎn)作直線，記與的交點(diǎn)為.若以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸（點(diǎn)在軸的正半軸上），建立平面直角坐標(biāo)系.  (1)證明:對任意的正整數(shù)，點(diǎn)都在拋物線：上；(2)已知是拋物線：在第一象限的點(diǎn)，過點(diǎn)與拋物線相切的直線與軸的交點(diǎn)為.過點(diǎn)的直線與直線垂直，且與拋物線交于另一點(diǎn).記的面積為，試用解析法將表示為的函數(shù)，并求的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)， 【分析】（1）根據(jù)題意可得，由此可證；（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出直線的方程，進(jìn)一步表示出直線的方程，聯(lián)立直線的方程與拋物線方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及弦長公式可得’再利用導(dǎo)數(shù)求出其最值即可.【詳解】（1）如圖，  由題意，，,所以直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立，可得，，即對任意的正整數(shù)，點(diǎn)都在拋物線：上.（2）如圖，  由可得，則，所以過的切線的斜率，所以直線的方程為，即，則直線：，所以與軸交于點(diǎn)，由，令，可得，聯(lián)立可得，，設(shè)， 則，，令，則，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，.23．如圖，已知等腰直角三角形的兩直角邊，的邊長為4，過邊的等分點(diǎn)作邊的垂線，過邊的等分點(diǎn)和頂點(diǎn)作直線，記與的交點(diǎn)為.若以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸（點(diǎn)在軸的正半軸上），建立平面直角坐標(biāo)系.  (1)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)已知是拋物線：在第一象限的點(diǎn)，過點(diǎn)與拋物線相切的直線與軸的交點(diǎn)為.過點(diǎn)的直線與直線垂直，與拋物線交于另一點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn).若為等腰直角三角形，求的面積.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意可直接得到的坐標(biāo)；（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出直線的方程，進(jìn)一步表示出直線的方程，再根據(jù)是等腰直角三角形求出、，即可得到直線、的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可得解．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以直線，令，則，；  （2）由，得，則，所以，所以直線的方程為，即，令，則，即，則直線，令，解得，則，又，是等腰直角三角形，所以，解得，又，解得或（舍去），，則直線，直線，，，由，消去整理得，解得、，則，所以．   

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