2022-2023學(xué)年上海市崇明區(qū)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、填空題1．已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn),，則它的斜率      .【答案】【分析】由兩點(diǎn)斜率公式即可求解.【詳解】由,可得，故答案為：2．雙曲線的漸近線方程是           .【答案】【分析】直接由雙曲線的方程求解即可【詳解】因?yàn)殡p曲線方程為，所以雙曲線的漸近線方程為，即，故答案為：3．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是                 .【答案】2【詳解】焦點(diǎn)（1，0），準(zhǔn)線方程，∴焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2.4．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)、的距離之和為，則點(diǎn)的軌跡方程是      .【答案】【分析】依題意可得點(diǎn)為以點(diǎn)、為焦點(diǎn)的橢圓，即可求出、、，從而得到橢圓方程.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)、的距離之和為，即，所以點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)、為焦點(diǎn)的橢圓，且，，所以，所以橢圓方程為.故答案為：5．假設(shè)某產(chǎn)品的一個(gè)部件來(lái)自三個(gè)供應(yīng)商，供貨占比分別是、、，而它們的良品率分別是0.92、0.95、0.94．則該部件的總體良品率是        ．【答案】【分析】利用全概率公式求解.【詳解】根據(jù)全概率公式任取一個(gè)部件它是良品的概率.故答案為：6．已知兩點(diǎn)、，則以PQ為直徑的圓的方程是      .【答案】【分析】根據(jù)條件求出圓心坐標(biāo)及圓的半徑即可.【詳解】、,的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即為圓心坐標(biāo)，又圓的半徑為則所求圓的方程為.故答案為：.7．已知直線，直線，若，則             ．【答案】【分析】根據(jù)兩直線平行的充要條件求解．【詳解】因?yàn)?/span>，所以，解得．故答案為：8．從裝有3個(gè)紅球和4個(gè)藍(lán)球的袋中，每次不放回地隨機(jī)摸出一球．記“第一次摸球時(shí)摸到紅球”為A，“第二次摸球時(shí)摸到藍(lán)球”為B，則          ．【答案】【分析】根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式結(jié)合條件概率分析運(yùn)算.【詳解】由題意可得：，所以.故答案為：.9．已知拋物線上的兩個(gè)不同的點(diǎn)、的橫坐標(biāo)恰好是方程的根，則直線的方程為      .【答案】【分析】設(shè)直線的方程為，根據(jù)題意結(jié)合韋達(dá)定理可得，，聯(lián)立方程，再次里由韋達(dá)定理求得，，從而可求出，即可得解.【詳解】由題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)，的橫坐標(biāo)恰好是方程的根，所以，，聯(lián)立，消得，則，，所以，，所以，，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以直線的方程為，即.故答案為：.10．設(shè)AB是橢圓的長(zhǎng)軸，點(diǎn)C在上，且，若AB=4，，則的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為        【答案】【詳解】不妨設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，于是可算得，得．【考點(diǎn)定位】考查橢圓的定義及運(yùn)算，屬容易題． 11．賭博有陷阱．某種賭博每局的規(guī)則是：賭客先在標(biāo)記有，，，，的卡片中隨機(jī)摸取一張，將卡片上的數(shù)字作為其賭金（單位：元）；隨后放回該卡片，再隨機(jī)摸取兩張，將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對(duì)值的倍作為其獎(jiǎng)金（單位：元）．若隨機(jī)變量和分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎(jiǎng)金，則        （元）．【答案】【詳解】賭金的分布列為1 2 3 4 5 P 所以獎(jiǎng)金的分布列為1.4 2.8 4.2 5.6 P  所以【解析】數(shù)學(xué)期望 12．已知實(shí)數(shù)、、、滿足，，，則的最大值為      .【答案】【分析】由題意可得，所以，再由三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)、、、滿足，，可知分別在圓，因?yàn)?/span>，，所以，所以，所以，所以，其中，所以的最大值為.故答案為： 二、單選題13．若直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩條直線垂直的條件列出等量關(guān)系式，求得的值.【詳解】直線與直線垂直，則，解得，故選：B.14．某校高中三年級(jí)1600名學(xué)生參加了區(qū)第二次高考模擬統(tǒng)一考試，已知數(shù)學(xué)考試成績(jī)X服從正態(tài)分布（試卷滿分為150分），統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?/span>80分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次統(tǒng)考中成績(jī)不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為（    ）A．200 B．150 C．250 D．100【答案】A【分析】根據(jù)題意，由正態(tài)分布的性質(zhì)可得，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)學(xué)考試成績(jī)服從正態(tài)分布，又，所以，則此次統(tǒng)考中成績(jī)不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為.故選：A15．已知A，B為平面內(nèi)兩定點(diǎn)，過(guò)該平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M作直線AB的垂線，垂足為N.若，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是（    ）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線【答案】D【分析】建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)A，B的坐標(biāo)，設(shè)M的坐標(biāo)，由題意可得N的坐標(biāo)，求出3個(gè)向量，由向量的關(guān)系求出M的軌跡方程.【詳解】解：建立以所在的直線為x軸，以線段的中垂線為y軸的直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，設(shè)M的坐標(biāo)為，由題意可得，則，，，所以，，由，可得，整理可得：，所以，，故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線.  故選：D.16．將函數(shù)，的圖象繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（）得到曲線C，若曲線C仍是一個(gè)函數(shù)的圖形，則的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】要使旋轉(zhuǎn)后的圖象仍為一個(gè)函數(shù)的圖象，旋轉(zhuǎn)后的切線傾斜角最多為，故只需求 處的傾斜角即可.【詳解】  函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減，可得在處切線的傾斜角為，因此，要使旋轉(zhuǎn)后的圖象仍為一個(gè)函數(shù)的圖象，旋轉(zhuǎn)后的切線傾斜角最多為，也就是說(shuō)，最大旋轉(zhuǎn)角為，即的最大值為.故選：A. 三、解答題17．從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的人數(shù)，求：(1)“所選3人中女生人數(shù)”的概率；(2)X的期望與方差.【答案】(1)(2)； 【分析】（1）“所選3人中女生人數(shù)”的概率，由此能求出結(jié)果． （2）由題意的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列．由的分布列能求出的均值和方差．【詳解】（1）“所選3人中女生人數(shù)”的概率：．（2）從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量表示所選3人中女生的人數(shù)，的可能取值為0，1，2，，，，的分布列為：  0 1 2    的均值．的方差．18．已知直線l：與圓C：相交于A、B兩點(diǎn)．(1)若，求k；(2)在x軸上是否存在點(diǎn)M，使得當(dāng)k變化時(shí)，總有直線MA、MB的斜率之和為0，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在點(diǎn) 【分析】（1）由圓的方程確定圓心和半徑，利用幾何法求弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可求解；（2）設(shè)，，假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，即，直線方程聯(lián)立圓的方程，利用韋達(dá)定理表示、，結(jié)合兩點(diǎn)求斜率公式，化簡(jiǎn)計(jì)算即可求解.【詳解】（1）因?yàn)閳AC：，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為2，因?yàn)?/span>，所以C到AB的距離為，由點(diǎn)C到直線的距離為：，解得；（2）設(shè)，，l的方程為，則，得，因?yàn)?/span>，所以，，設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，即，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，解得．所以存在點(diǎn)符合題意．19．某公園有一塊如圖所示的區(qū)域OACB，該場(chǎng)地由線段OA，OB，AC及曲線段BC圍成；經(jīng)測(cè)量，，米，曲線段BC是以OB為對(duì)稱軸的拋物線的一部分，點(diǎn)C到OA，OB的距離都是50米；現(xiàn)擬在該區(qū)域建設(shè)一個(gè)矩形游樂(lè)場(chǎng)OEDF，其中點(diǎn)D在線段AC或曲線段BC上，點(diǎn)E，F分別在線段OA，OB上，且該游樂(lè)場(chǎng)最短邊長(zhǎng)不低于25米；設(shè)米，游樂(lè)場(chǎng)的面積為S平方米；(1)以點(diǎn)O為原點(diǎn)，試建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線段BC的方程；(2)求面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式；(3)試確定點(diǎn)D的位置，使得游樂(lè)場(chǎng)的面積S最大（結(jié)果精確到0.1米）；【答案】(1)(2)(3)當(dāng)點(diǎn)在曲線段上且其到的距離約為米時(shí)，游樂(lè)場(chǎng)的面積最大. 【分析】（1）先以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)題意求解析式即可；（2）分別求出在不同線段的解析式，然后計(jì)算面積；（3）在不同情況計(jì)算最大值，然后比較兩個(gè)最大值就可以得到面積最大值，然后確定的位置.【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，設(shè)曲線段所在拋物線的方程為，由題意可知，點(diǎn)和在此拋物線上，代入可得：，.所以曲線段BC的方程為：.（2）由題意，線段的方程為，當(dāng)點(diǎn)在曲線段上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，所以.（3）當(dāng)時(shí)，，令，得，（舍去）.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因此當(dāng)時(shí)，是極大值，也是最大值.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，是最大值.因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，所以當(dāng)點(diǎn)在曲線段上且其到的距離約為米時(shí)，游樂(lè)場(chǎng)的面積最大.20．已知橢圓的離心率是，其左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線交軸負(fù)半軸于.(1)設(shè)，求的值；(2)求證：；(3)設(shè)，過(guò)橢圓Γ右焦點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得、、三點(diǎn)共線？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3) 【分析】（1）根據(jù)離心率、及計(jì)算可得；（2）依題意可得，，即可求出，求出直線的方程，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，再求出向量的坐標(biāo)，即可得證；（3）先求出橢圓的方程，設(shè)出直線方程，聯(lián)立后得出、兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系式，根據(jù)、的坐標(biāo)表示出直線的方程，令，化簡(jiǎn)得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，且，解得，.（2）因?yàn)?/span>，所以，，又、，，所以，所以直線：，令，解得，所以，所以，，所以.（3）當(dāng)時(shí)由（2）可知，，所以橢圓方程為，設(shè)直線方程為，，則，聯(lián)立得，則，，.直線的方程為，令得，故在軸上存在一個(gè)定點(diǎn)，使得、、三點(diǎn)共線.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.21．已知函數(shù).（其中為常數(shù)）(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(3)當(dāng)時(shí)，試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)(3)只有1個(gè)，理由見(jiàn)解析 【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，得到且，進(jìn)而求得切線方程；（2）求得，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和極值，即可求解；（3）當(dāng)時(shí)，求得在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng) 時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和極值，進(jìn)而得出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，可得，可得，所以且，所以切線方程為，即，即曲線所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）解：由函數(shù)，可得函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，又由，令，解得，，當(dāng)時(shí)，與在區(qū)間的情況如下表：極小值↗所以函數(shù)的極小值為，也是函數(shù)的最小值，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為（3）解：當(dāng)時(shí)，，令，解得（舍去）所以函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng) 時(shí)，與在區(qū)間的情況如下表：00↗極大值極小值↗所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)的極大值為，所以函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)；又由且函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，綜上可得，當(dāng)時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】知識(shí)總結(jié)：解決函數(shù)極值、最值綜合問(wèn)題的策略與方法：1、求極值、最值時(shí)，要求步驟規(guī)范，含參數(shù)時(shí)，要討論參數(shù)的大??；2、求函數(shù)最值時(shí)，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，要通過(guò)比較才能下結(jié)論；3、函數(shù)在給定閉區(qū)間上存在極值，一般要將極值與端點(diǎn)值進(jìn)行比較才能確定最值. 

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