2022-2023學(xué)年上海市靜安區(qū)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、填空題1．以為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是      ．【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)，解出即可.【詳解】以為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，，，故答案為：.2．7個(gè)人站成一排，如果甲、乙2人必須站在兩端，有          種排法.【答案】240【分析】根據(jù)排列與分步乘法計(jì)數(shù)原理相關(guān)知識(shí)，先排特殊位置，再排其他位置即可.【詳解】先排甲和乙，有種排法，再排其他5人，有種排法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種排法.故答案為：2403．過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切，則直線的斜率為      .【答案】或【分析】設(shè)出直線的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出直線的斜率即可.【詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑為1，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線：，此時(shí)直線與圓不相切，不合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，由題意，所以，平方化簡(jiǎn)得，解得或.故答案為：或.4．若雙曲線的漸近線方程為，且過(guò)點(diǎn)，則的焦距為          .【答案】【分析】設(shè)雙曲線的方程為：，把點(diǎn)代入雙曲線方程即可求解．【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程是，故可設(shè)雙曲線的方程為：，把點(diǎn)代入雙曲線方程可得，所以雙曲線方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，所以，，，，所以雙曲線的焦距為．故答案為：．5．已知曲線上一點(diǎn)，則在點(diǎn)處的切線方程為          .【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出曲線在該點(diǎn)的斜率，然后直接求解即可.【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，該曲線在處的斜率，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故答案為：6．一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)白球和2個(gè)黑球.從口袋內(nèi)隨機(jī)取出3個(gè)球，則其中至少取到2個(gè)白球的概率為          .【答案】【分析】本題主要考查了組合與古典概型，由題意可得從口袋內(nèi)隨機(jī)取出3個(gè)球的方法數(shù)與其中至少取到2個(gè)白球的方法數(shù)，運(yùn)用古典概型計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】由題意可得從口袋內(nèi)隨機(jī)取出3個(gè)球共有種取法，其中至少取到2個(gè)白球的方法數(shù)有種，故其中至少取到2個(gè)白球的概率為.故答案為：.7．類比教材中對(duì)圓雙曲線的“對(duì)稱性”和“范圍”的研究，寫出曲線的對(duì)稱性和所在的范圍為          ．【答案】關(guān)于軸對(duì)稱，，【分析】根據(jù)有意義得出的范圍，再根據(jù)的范圍得出的范圍；分別以代，以代，及以代，代，判斷與原方程的關(guān)系即可得出對(duì)稱性．【詳解】由得，因?yàn)?/span>，所以，即，在曲線方程中，以代，得，與方程相同，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱；以代，得，與原方程不同，所以曲線不關(guān)于軸對(duì)稱；以代，代，得，與原方程不同，所以曲線不是中心對(duì)稱圖形，故答案為：關(guān)于軸對(duì)稱，，．8．已知某食品罐頭的體積是常量，其包裝是金屬材質(zhì)的圓柱形，假設(shè)該圓柱形的高和底半徑分別為和，為了使制作包裝的金屬材料最省，的值為          .【答案】2【分析】設(shè)食品罐頭的體積是為常數(shù)），由題意可得，再寫出圓柱的表面積，利用基本不等式求最值，即可求得的值．【詳解】設(shè)食品罐頭的體積是為常數(shù)）．由題意可得，圓柱的表面積．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)．．故答案為：2． 二、單選題9．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（    ）．A．－120 B．120 C．－60 D．60【答案】D【分析】先求出展開式的通項(xiàng)，令即得解.【詳解】的展開式中的項(xiàng)為，令，解得，所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故選：D．10．已知物體的位移（單位：m）與時(shí)間（單位：s）滿足函數(shù)關(guān)系，則物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)瞬時(shí)速度含義，求導(dǎo)運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)槲矬w的位移（單位：m）與時(shí)間（單位：s）滿足函數(shù)關(guān)系，所以，令，得.故選：A11．如圖，封閉圖形的曲線部分是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，短軸的長(zhǎng)為2的半個(gè)橢圓，設(shè)是該圖形上任意一點(diǎn)，則與線段的長(zhǎng)度的最大值最接近的是（    ）  A．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.4【答案】C【分析】建立直角坐標(biāo)系，求出橢圓方程，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】以AB為x軸，AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：    由題意，且橢圓焦點(diǎn)在y軸上，所以半橢圓方程為，，，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，所以，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，所以，所以選項(xiàng)中與線段的長(zhǎng)度的最大值最接近的是.故選：C 三、解答題12．設(shè)橢圓C：過(guò)點(diǎn)（0，4），離心率為.（1）求C的方程；（2）求過(guò)點(diǎn)（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出=4，再根據(jù)，代入即可求解.（2）直線方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消，利用韋達(dá)定理即可求解.【詳解】（1）將（0，4）代入C的方程得，∴=4，又 得，即，∴A=5， ∴C的方程為．（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程為，設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A，B，將直線方程代入C的方程，得，即， AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，，即中點(diǎn)為．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.13．如圖是一座類似于上海盧浦大橋的圓拱橋示意圖，該圓弧拱跨度為，圓拱的最高點(diǎn)離水面的高度為，橋面離水面的高度為.  (1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求圓拱所在圓的方程；(2)求橋面在圓拱內(nèi)部分的長(zhǎng)度.（結(jié)果精確到）【答案】(1)建系見解析，圓拱方程為，.(2)橋面在圓拱內(nèi)部分的長(zhǎng)度約為367.4m 【分析】（1）先找到合適的垂直關(guān)系建立平面直角坐標(biāo)系，再根據(jù)圓的幾何關(guān)系列出方程求解半徑并寫出方程即可；（2）根據(jù)圓的方程，代入縱坐標(biāo)求解橫坐標(biāo)即可.【詳解】（1）設(shè)圓拱所在圓的圓心為，以為原點(diǎn)，方向?yàn)?/span>軸正方向，中垂線向上為軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.  設(shè)與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接設(shè)圓的半徑為，則，，，在直角中，，所以，解得，所以，所以圓拱方程為，.（2）由題意得，，令，得，所以，所以，所以.所以橋面在圓拱內(nèi)部分的長(zhǎng)度約為367.4m14．設(shè)，函數(shù).(1)請(qǐng)討論該函數(shù)的單調(diào)性；(2)求該函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】(1)在上遞增，在上遞減(2)答案見解析. 【分析】（1）先求出函數(shù)的定義域，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)（1）中的單調(diào)性，對(duì)進(jìn)行分類討論即可求出函數(shù)的最大值.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，由，得，因?yàn)?/span>，由，得，得，由，得，得，所以在上遞增，在上遞減；（2）①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，，由，得時(shí)，，由，得時(shí)，，③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，，綜上，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是正確在對(duì)分為，，和四種情況求函數(shù)的最值，考查分類討論思想和計(jì)算能力，屬于較難題.15．（1）已知是自然數(shù)，是正整數(shù)，且.證明組合數(shù)性質(zhì)：；（2）按（1）中的組合數(shù)性質(zhì)公式，有.請(qǐng)自編一個(gè)計(jì)數(shù)問(wèn)題，使得與為該問(wèn)題的兩個(gè)不同的解法，并簡(jiǎn)要說(shuō)明解法的依據(jù).【答案】（1）證明見解析；（2）過(guò)程見解析.【分析】（1）根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算公式直接展開計(jì)算證明；（2）根據(jù)題意列出實(shí)際問(wèn)題，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理說(shuō)理即可.【詳解】（1）等式左邊，等式右邊，等式左邊=等式右邊，原式得證.（2）計(jì)數(shù)問(wèn)題：一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的8個(gè)白球和1個(gè)黑球，從口袋取出4個(gè)球，有多少種不同取法？解法依據(jù)：對(duì)于，即從這9個(gè)球中直接取4個(gè)球，有種取法；對(duì)于，即第一類為取4個(gè)白球，共種取法，第二類為取3個(gè)白球，1個(gè)黑球，共種取法，共種取法.所以與為該問(wèn)題的兩個(gè)不同的解法.16．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，動(dòng)點(diǎn)滿足：，其中是非零常數(shù)，分別為直線的斜率.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程，并討論的形狀與值的關(guān)系；(2)當(dāng)時(shí)，直線交曲線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).若線段的長(zhǎng)度，的面積，求直線的方程.【答案】(1)動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為；討論過(guò)程見解析(2)或或或 【分析】（1）根據(jù)題意列出斜率直接求解方程即可；根據(jù)的臨界情況分類討論即可；（2）直線與橢圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理，進(jìn)而利用弦長(zhǎng)公式求出，根據(jù)三角形面積公式得到到直線距離為1，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離列出方程，進(jìn)而求解即可.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)?/span>，動(dòng)點(diǎn)滿足：， 分別為直線的斜率，所以，即，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.討論的形狀與值的關(guān)系如下：當(dāng)時(shí)，的形狀為雙曲線；當(dāng)時(shí)，的形狀為焦點(diǎn)位于x軸的橢圓；當(dāng)時(shí)，的形狀為圓；當(dāng)時(shí)，的形狀為焦點(diǎn)位于y軸的橢圓；（2）當(dāng)時(shí)，的形狀為焦點(diǎn)位于y軸的橢圓，方程為.由題意知，直線斜率存在，聯(lián)立，則，，則，所以，所以，設(shè)到直線距離為，直線則，所以，平方得，代入上式得，則，平方得，即，所以，得，則，則，所以，此時(shí)成立，所以直線的方程為，即或或或.  【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題.根據(jù)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)斜率之積的定值為不同值時(shí)討論可能的曲線形狀；根據(jù)直線與橢圓方程的聯(lián)立可以得到弦長(zhǎng)進(jìn)而列出等式求解. 

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