2022-2023學(xué)年安徽省安慶市第二中學(xué)東區(qū)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．與的等差中項(xiàng)是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】代入等差中項(xiàng)公式即可解決.【詳解】與的等差中項(xiàng)是故選：A2．等差數(shù)列中，，，則公差等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用等差數(shù)列的公差公式可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得.故選：A.3．在等比數(shù)列中，如果，，那么（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)及等比數(shù)列通項(xiàng)公式進(jìn)行求解.【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)知，，，，成等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為，所以.故選：C.4．已知函數(shù)，則該函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平均變化率的定義直接求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以該函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為，故選：A5．設(shè)函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，故選：B.6．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處切線的傾斜角為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率，由斜率和傾斜角關(guān)系可得結(jié)果.【詳解】，，即在處切線的斜率為，則其傾斜角為.故選：B.7．已知數(shù)列、都是等差數(shù)列，設(shè)的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)和為.若，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，得出結(jié)論．【詳解】∵，∴，故選：A8．?dāng)?shù)列滿足，則等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得到，（），與條件兩式作差，得到，（），再驗(yàn)證滿足，得到，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，，（）則，則，（），又滿足，所以，因此.故選：A 二、多選題9．下列有關(guān)導(dǎo)數(shù)的說法，正確的是（    ）.A．就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率B．與的意義是一樣的C．設(shè)是位移函數(shù)，則表示物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度D．設(shè)是速度函數(shù)，則表示物體在時(shí)刻的瞬時(shí)加速度【答案】ACD【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義以及幾何意義判斷ACD，根據(jù)常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為判斷B.【詳解】表示曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，故A正確；表示對函數(shù)值求導(dǎo)，因?yàn)?/span>是常函數(shù)，所以，與的意義不一樣，故B錯(cuò)誤；C，D易知正確.故選：ACD10．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可判斷AD選項(xiàng)；利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可判斷BC選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，，B對；對于C選項(xiàng)，，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，，D對.故選：BD.11．已知數(shù)列是等比數(shù)列，有下列四個(gè)命題，其中正確的命題有（　　）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列【答案】ABD【分析】分別按定義計(jì)算每個(gè)數(shù)列的后項(xiàng)與前項(xiàng)的比值，即可判斷.【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列是等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則，對于A，對于數(shù)列，則有，為等比數(shù)列，A正確；對于B，對于數(shù)列，有，為等比數(shù)列，B正確；對于C，對于數(shù)列，若，數(shù)列是等比數(shù)列，但數(shù)列不是等比數(shù)列，C錯(cuò)誤；對于D，對于數(shù)列，有，為等比數(shù)列，D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題考查用定義判斷一個(gè)數(shù)列是否是等比數(shù)列，屬于基礎(chǔ)題.12．已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，下列說法正確的是（    ）A． B．C．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為 D．【答案】ABD【分析】由判斷出，，求出，即可判斷A；利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出，可以判斷B；由，，可判斷出最大，可以判斷C；由，，，可以判斷D.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，A正確；，所以，B正確；因?yàn)?/span>，，所以數(shù)列的最大項(xiàng)為，C不正確；因?yàn)?/span>，，，所以，即，D正確．故選：ABD． 三、填空題13．已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則        .【答案】1【分析】易知點(diǎn)在曲線上，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由兩直線垂直斜率之積為，得到，即可得到方程，解得即可.【詳解】易知點(diǎn)在曲線上，令，則，所以，又該切線與直線垂直，所以，解得.故答案為：14．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為           .【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以.15．已知函數(shù)，則      .【答案】/【分析】將視為常數(shù)，在 中令求出的值，從而求出的解析式，再求即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，將代入得，所以，所以，所以，故答案為：16．已知數(shù)列中，，，則      ．【答案】【分析】已知遞推關(guān)系變形湊配出一個(gè)等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得．【詳解】由，得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．所以，所以．故答案為：． 四、解答題17．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)；(2).【答案】(1)(2) 【分析】由常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得答案.【詳解】（1）（2）18．已知在等比數(shù)列中，，且是和的等差中項(xiàng).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)列方程，由此求得，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用分組求和法求得.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則，，由于是和的等差中項(xiàng)，即，即，解得.因此，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2），.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差中項(xiàng)的性質(zhì)，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查分組求和法，屬于中檔題.19．（1）求曲線，在點(diǎn)處的切線方程；（2）求過點(diǎn)的拋物線的切線方程．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義即可求得曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)為，再利用導(dǎo)數(shù)幾何意義即可求得過點(diǎn)的拋物線的切線方程．【詳解】（1），可知所求切線的斜率故所求切線的方程為，即．（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，可知所求切線的斜率∵切線過點(diǎn)和點(diǎn)，∴，解得或，∴切線的斜率為2或6故所求切線的方程為或，即或．20．已知是公差不為0的等差數(shù)列，滿足，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)是公差為，故，進(jìn)而，再整理解方程即可得，最后根據(jù)通項(xiàng)公式求解即可；（2）由（1）知，進(jìn)而根據(jù)裂項(xiàng)求和求解即可.【詳解】（1）解：設(shè)是公差為，因?yàn)?/span>，，成等比數(shù)列，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，整理，解得或（舍）所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）解：由（1）知，所以，所以21．設(shè)函數(shù)，曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0．（1）求y=f（x）的解析式；（2）證明：曲線y=f（x）上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．【答案】(1)；(2)證明見解析.【詳解】解：(1)方程7x－4y－12＝0可化為y＝x－3，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝．又f′(x)＝a＋，于是，解得故f(x)＝x－．(2)證明：設(shè)P(x0，y0)為曲線上任一點(diǎn)，由f′(x)＝1＋知，曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝(1＋)·(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．令x＝0得，y＝－，從而得切線與直線x＝0，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－)．令y＝x，得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0)．所以點(diǎn)P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為|－||2x0|＝6．曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，此定值為6． 22．已知數(shù)列是首項(xiàng)為的等差數(shù)列，數(shù)列滿足，且，．(1)證明是等比數(shù)列(2)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）由得，即可證明數(shù)列為等比數(shù)列；（2）計(jì)算，的通項(xiàng)公式，用分組求和與錯(cuò)位相減法求和求的前n項(xiàng)和.【詳解】（1）證明：因?yàn)?/span>，所以，所以，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．（2）由知，所以，，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，，所以，所以，  ，令，，兩式相減，得 ， 所以，. 

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