2022-2023學(xué)年廣東省惠州市博羅縣高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由，或，故選：A2．“保護(hù)環(huán)境，綠色出行”是現(xiàn)代社會(huì)提倡的一種環(huán)保理念，李明早上上學(xué)的時(shí)候，可以乘坐公共汽車(chē)，也可以騎單車(chē)，已知李明騎單車(chē)的概率為0.7，乘坐公共汽車(chē)的概率為0.3，而且騎單車(chē)與乘坐公共汽車(chē)時(shí)，李明準(zhǔn)時(shí)到校的概率分別為0.9與0.8，則李明準(zhǔn)時(shí)到校的概率是（    ）A．0.9 B．0.87 C．0.83 D．0.8【答案】B【分析】分別求出乘坐公共汽車(chē)和騎單車(chē)準(zhǔn)時(shí)到校的概率，然后求和即為準(zhǔn)時(shí)到校的概率.【詳解】李明上學(xué)騎單車(chē)準(zhǔn)時(shí)到校的概率為，乘坐公共汽車(chē)準(zhǔn)時(shí)到校的概率為，因此李明準(zhǔn)時(shí)到校的概率為：，故選：B3．函數(shù)的極小值為（    ）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)求極小值的過(guò)程求解：先求的解 ，再判斷在兩側(cè)的單調(diào)性，確定極值.【詳解】因?yàn)?/span>，所以.令得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.則當(dāng)時(shí)，取得極小值，且極小值為.故選：C4．設(shè)f ′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，y＝f ′（x）的圖像如圖所示，則y＝f（x）的圖像最有可能是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，0是極大值點(diǎn)2是極小值點(diǎn)，即可得到答案；【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，0是極大值點(diǎn)2是極小值點(diǎn)，故選：D.5．安徽省地形具有平原、臺(tái)地（崗地）、丘陵、山地等類(lèi)型，其中丘陵地區(qū)占了很大比重，因此山地較多，著名的山也有很多，比如：黃山、九華山、天柱山.某校開(kāi)設(shè)了研學(xué)旅行課程，計(jì)劃將5名優(yōu)秀學(xué)生分別派往這三個(gè)地方進(jìn)行研學(xué)旅行，每座山至少有一名學(xué)生參加，則不同的安排方案種數(shù)是（    ）A．150 B．120 C．160 D．180【答案】A【分析】先分成三組，可以3、1、1，也可以2、2、1，分好后再安排到三個(gè)山.【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將5名優(yōu)秀學(xué)生分為3組，若分為3、1、1的三組，有種分組方法，若分為2、2、1的三組，有種分組方法，故共有種分組方法，②將分好的3組安排到3個(gè)地方進(jìn)行研學(xué)旅行，有種情況，則有種安排方法.故選：A.6．楊輝是我國(guó)南宋的一位杰出的數(shù)學(xué)家，在他所著的《詳解九章算法》一書(shū)中，畫(huà)的一張表示二項(xiàng)式展開(kāi)后的系數(shù)構(gòu)成的三角圖形，稱(chēng)為“開(kāi)方做法本源”．現(xiàn)在簡(jiǎn)稱(chēng)為“楊輝三角”．下面是，當(dāng)時(shí)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)表示形式．借助上面的表示形式，判斷與的值分別是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用“楊輝三角”中的數(shù)的特點(diǎn)求解即可.【詳解】觀察分析出“楊輝三角”中的數(shù)的特點(diǎn)：1.每一行有個(gè)數(shù)字，每一行兩端的數(shù)字均為1，2.從第二行起，每一行中間的數(shù)字等于它上一行對(duì)應(yīng)（即兩肩上）的兩個(gè)數(shù)字的和，所以.故選：D.7．若函數(shù)，則（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由條件利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求，再由解析式求即可.【詳解】由題意可得，則，解得，所以所以．故選：C．8．已知函數(shù)，對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，根據(jù)題意化簡(jiǎn)得到，設(shè)函數(shù)，得到在上的單調(diào)遞減函數(shù)，得出，在區(qū)間上恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，令的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意知，對(duì)任意的，恒成立不妨設(shè)，可得，即，設(shè)函數(shù)，則在上的單調(diào)遞減函數(shù)，又由，所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，令，由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，所以，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.【點(diǎn)睛】方法技巧：對(duì)于已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)問(wèn)題：（1）已知可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為區(qū)間上恒成立；（2）已知可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為區(qū)間上恒成立；（3）已知可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在增區(qū)間，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有解；（4）已知可導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在減區(qū)間，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有解. 二、多選題9．在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，有（　　）A．含x的項(xiàng) B．含的項(xiàng)C．含x4的項(xiàng) D．含的項(xiàng)【答案】ABC【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，結(jié)合所給的選項(xiàng)即可得出答案．【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，，知A正確；當(dāng)時(shí)，，知B正確；當(dāng)時(shí)，，知C正確；當(dāng)時(shí)，，知D錯(cuò)誤．故選：ABC．10．下列 求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（    ）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】AD【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算求解判斷.【詳解】A，因?yàn)?/span>，所以，故正確；B，因?yàn)?/span>，所以，故錯(cuò)誤；C，因?yàn)?/span>，所以，故錯(cuò)誤；D，因?yàn)?/span>，所以，故正確.故選：AD.11．高二年級(jí)安排甲、乙、丙三位同學(xué)到A，B，C，D，E五個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每位同學(xué)只能選擇一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，且多個(gè)同學(xué)可以選擇同一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，下列說(shuō)法正確的有（    ）A．如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有61種B．如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有25種C．如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有60種D．如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個(gè)社區(qū)，則不同的安排方法共有20種【答案】ABC【分析】求得社區(qū)A必須有同學(xué)選擇的方法數(shù)判斷選項(xiàng)A；求得同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A的方法數(shù)判斷選項(xiàng)B；求得三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同的安排方法數(shù)判斷選項(xiàng)C；求得甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個(gè)社區(qū)的安排方法數(shù)判斷選項(xiàng)D.【詳解】安排甲、乙、丙三位同學(xué)到A，B，C，D，E五個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，選項(xiàng)A：如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有（種）.判斷正確；選項(xiàng)B：如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有（種）.判斷正確； 選項(xiàng)C：如果三名同學(xué)選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有（種）.判斷正確；選項(xiàng)D：如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個(gè)社區(qū)，再分為丙與甲、乙兩名同學(xué)在一起和不在一起兩種情況，則不同的安排方法共有（種）.判斷錯(cuò)誤.故選：ABC12．已知為常數(shù)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則（    ）A．的取值范圍是 B．的取值范圍是C． D．【答案】ACD【分析】求導(dǎo)后，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不等實(shí)根，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性和極值，采用數(shù)形結(jié)合的方式可求得的范圍，并得到，由此知AB正誤；根據(jù)，結(jié)合可知C正確；利用單調(diào)性可得，結(jié)合的范圍知D正確.【詳解】由題意得：，有兩個(gè)極值點(diǎn)，有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，又，只需，即有兩個(gè)不等實(shí)根，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，又當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，可得圖象如下圖所示，  當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)不等實(shí)根，且，即當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，A正確，B錯(cuò)誤；，，即，，，又，，，C正確；當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，，D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍的問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的求解；利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問(wèn)題；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；（3）分離變量法：由分離變量得出，將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題. 三、填空題13．若，則            .【答案】【分析】根據(jù)賦值法即可求解奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和.【詳解】令得，，令得，，兩式相加得.故答案為：14．從1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個(gè)數(shù)字中不放回地依次取2個(gè)數(shù)，事件“第一次取到的是偶數(shù)”，“第二次取到的是奇數(shù)”，則           .【答案】/0.625【分析】利用古典概率求出事件A，AB的概率，再利用條件概率公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，，，所以．故答案為：.15．與函數(shù)在點(diǎn)處具有相同切線的一個(gè)函數(shù)的解析式是          ．【答案】（答案不唯一）【分析】先求出在點(diǎn)處的切線為，再構(gòu)造，經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足要求.【詳解】，故，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，不妨令，，故在上，，故，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，滿(mǎn)足要求.故答案為： 四、雙空題16．已知函數(shù)，函數(shù)有四個(gè)不同零點(diǎn)，從小到大依次為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為           ；的取值范圍為           .【答案】          【分析】根據(jù)函數(shù)性質(zhì)畫(huà)出的圖象，將問(wèn)題化為與有四個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合法求a范圍，再由是的兩個(gè)根、是的兩個(gè)根，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求的范圍.【詳解】由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，，且單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，且單調(diào)遞增；當(dāng)，，且單調(diào)遞減；當(dāng)，，且單調(diào)遞增；綜上，的函數(shù)圖象如下：所以有四個(gè)不同零點(diǎn)，即與有四個(gè)交點(diǎn)，由圖知：，則在上，在上，令，則，即是的兩個(gè)根，故，而是，即的兩個(gè)根，故，所以.故答案為：，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與有四個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求參數(shù)范圍，進(jìn)而把看作對(duì)應(yīng)方程的根，應(yīng)用根系關(guān)系及對(duì)數(shù)性質(zhì)求范圍. 五、解答題17．已知函數(shù).(1)曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，求得，，再由點(diǎn)斜式方程即可求出曲線在處的切線方程；（2）設(shè)切點(diǎn)為，求，，再由點(diǎn)斜式方程求得切線方程為，又切線過(guò)點(diǎn)，代入可得，帶回方程即可得答案.【詳解】（1）解：因?yàn)?/span>，所以，又，所以曲線在處的切線方程為，即；（2）解：設(shè)切點(diǎn)為，則， 所以切線方程為，     因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，所以，即，解得，       故所求切線方程為．18．從等7人中選5人排成一排（寫(xiě)出必要的數(shù)學(xué)式，結(jié)果用數(shù)字作答）(1)若必須在內(nèi)，有多少種排法？(2)若三人不全在內(nèi)，有多少種排法？(3)若都在內(nèi)，且必須相鄰，與都不相鄰，有多少種排法？【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根據(jù)題意，先在其他6人中選出4人，再與進(jìn)行全排列，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)題意，由排除法分析：先計(jì)算全部的排法，排除其中、、全在內(nèi)的排法，即可得答案；（3）根據(jù)題意，先在其他4人中選出2人，將看成一個(gè)整體，與選出的2人全排列，分析的排法，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；【詳解】（1）解：根據(jù)題意，若必須在內(nèi)，先在其余6人中選出4人，再與全排列即可，一共有種排法，（2）根據(jù)題意，在7人中選出5人排成一排，有種排法，若、、都在內(nèi)，有種排法，則、、三人不全在內(nèi)的排法有種，（3）根據(jù)題意，先在其他4人中選出2人，有種選法，將、看成一個(gè)整體，與選出2人全排列，有種排法，排好后，有2個(gè)空位可用，在其中選出1個(gè)，安排，有2種情況，則有種排法．19．新高考取消文理分科，采用選科模式，這賦予了學(xué)生充分的自由選擇權(quán)．新高考地區(qū)某校為了解本校高一年級(jí)將來(lái)高考選考?xì)v史的情況，隨機(jī)選取了100名高一學(xué)生，將他們某次歷史測(cè)試成績(jī)（滿(mǎn)分100分）按照，，，，分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求圖中a的值并估計(jì)這100名學(xué)生本次歷史測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)．(2)據(jù)調(diào)查，本次歷史測(cè)試成績(jī)不低于60分的學(xué)生，高考將選考?xì)v史科目；成績(jī)低于60分的學(xué)生，高考將不選考?xì)v史科目．按分層抽樣的方法從測(cè)試成績(jī)?cè)?/span>，的學(xué)生中選取5人，再?gòu)倪@5人中任意選取2人，求這2人中至少有1人高考選考?xì)v史科目的概率．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根據(jù)和頻率總和為1計(jì)算出a的值；頻率分布直方圖中中位數(shù)左右兩邊的直方圖面積相等都為0.5，由此列式即可計(jì)算出中位數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算出成績(jī)?cè)?/span>，的學(xué)生頻數(shù)，根據(jù)分層抽樣規(guī)則計(jì)算出對(duì)應(yīng)區(qū)間人數(shù)，最后列式計(jì)算或用列舉法即可得出答案.【詳解】（1），解得設(shè)中位數(shù)為x，因?yàn)閷W(xué)生成績(jī)?cè)?/span>的頻率為，在的頻率為所以中位數(shù)滿(mǎn)足等式，解得故這100名學(xué)生本次歷史測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)為.（2）成績(jī)?cè)?/span>的頻數(shù)為成績(jī)?cè)?/span>的頻數(shù)為按分層抽樣的方法選取5人，則成績(jī)?cè)?/span>的學(xué)生被抽取人，在的學(xué)生被抽取人從這5人中任意選取2人，都不選考?xì)v史科目的概率為，故這2人中至少有1人高考選考?xì)v史科目的概率為.20．已知二項(xiàng)式   的展開(kāi)式中 ， .給出下列條件：①第二項(xiàng)與第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是1：4；②各項(xiàng)系數(shù)之和為512；③第7項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).在上面三個(gè)條件中選擇兩個(gè)合適的條件分別補(bǔ)充在上面的橫線上，并完成下列問(wèn)題.(1)求實(shí)數(shù)a的值和展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)求的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).【答案】(1)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為或(2) 【分析】(1)先看條件①②③分別可以得到什么結(jié)果，然后分別選取求解即可;(2)根據(jù)第一小問(wèn)得出的未知數(shù)的值，得到第二問(wèn)的二項(xiàng)式，然后將前面括號(hào)打開(kāi)，分別求常數(shù)項(xiàng)計(jì)算即可.【詳解】（1）由①可知，解得；由②得令得；由③得，要使該項(xiàng)為常數(shù)，則；所以條件①與③得到的是同一結(jié)果，所以只有選擇條件①與②和條件②與③；該兩種組合都會(huì)得到，所以，解得；所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為或（2）由（1）可知，，所以有所以常數(shù)項(xiàng)為令，解得；所以常數(shù)項(xiàng)為.21．廣東某民營(yíng)企業(yè)主要從事美國(guó)的某品牌運(yùn)動(dòng)鞋的加工生產(chǎn)，按國(guó)際慣例以美元為結(jié)算貨幣，依據(jù)以往加工生產(chǎn)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，若加工產(chǎn)品訂單的金額為萬(wàn)美元，可獲得的加工費(fèi)近似地為萬(wàn)美元，受美聯(lián)儲(chǔ)貨幣政策的影響，美元貶值，由于生產(chǎn)加工簽約和成品交付要經(jīng)歷一段時(shí)間，收益將因美元賠值而損失萬(wàn)美元，其中為該時(shí)段美元的貶值指數(shù)是，從而實(shí)際所得的加工費(fèi)為（萬(wàn)美元）.（1）若某時(shí)期美元貶值指數(shù)，為確保企業(yè)實(shí)際所得加工費(fèi)隨的增加而增加，該企業(yè)加工產(chǎn)品訂單的金額應(yīng)在什么范圍內(nèi)？（2）若該企業(yè)加工產(chǎn)品訂單的金額為萬(wàn)美元時(shí)共需要的生產(chǎn)成本為萬(wàn)美元，已知該企業(yè)加工生產(chǎn)能力為（其中為產(chǎn)品訂單的金額），試問(wèn)美元的貶值指數(shù)在何范圍時(shí)，該企業(yè)加工生產(chǎn)將不會(huì)出現(xiàn)虧損.【答案】（1）；（2）.【分析】( 1 ) 由得，對(duì)求導(dǎo) , 并令 , 可得的值； ( 2 ) 企業(yè)加工生產(chǎn)不出現(xiàn)虧損 , 即 時(shí) , 恒成立 , 通過(guò)變形 , 構(gòu)造函數(shù) , 利用導(dǎo)數(shù)求出 , 求出函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的最值 , 從而求出 m 的取值范圍.【詳解】解：（1）由已知，，（其中）；∴；由，即，解得；即加工產(chǎn)品訂單金額（單位：萬(wàn)美元）時(shí)，該企業(yè)的加工費(fèi)隨的增加不斷增長(zhǎng).（2）依題意，企業(yè)加工生產(chǎn)不出現(xiàn)虧損，則當(dāng)時(shí)，都有，即，令，，則；令，則，可知在上單調(diào)遞減，從而；又，即時(shí)，知在上單調(diào)遞減，因此，，即；故當(dāng)美元的貶值指數(shù)時(shí)，該企業(yè)加工生產(chǎn)不會(huì)虧損.22．設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增．求b的取值范圍；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，求證：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）由函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增得，得導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立，參變分離得，求出函數(shù)的最小值即可求解；（2）由化簡(jiǎn)得，要證，只需證，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)求導(dǎo)，得到的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)最值符號(hào)即可證明.【詳解】（1）依題意：，在上遞增，對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，只需，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，的取值范圍是；（2）證明：由已知得，即，兩式相減得：，即，由，得，令，則令，則，是上的減函數(shù)，，所以，又，，. 

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