2022-2023學(xué)年安徽省安慶市懷寧縣高河中學(xué)高二下學(xué)期第三次考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)基本函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則判斷即可【詳解】對于A：，故A不正確；對于B：，故B不正確；對于C：，故C正確；對于D：，故D不正確，故選：C.2．展開后的不同項(xiàng)數(shù)為（    ）A．9 B．12 C．18 D．24【答案】D【分析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理求解即可【詳解】分三步：第一步，從中任取一項(xiàng)，有4種方法；第二步，從中任取一項(xiàng)，有3種方法；第三步，從中任取一項(xiàng)有2張方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有（項(xiàng)）.故選：D3．函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由圖象的變化趨勢，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義有，即可得結(jié)果.【詳解】由圖知：，即.故選：A.4．設(shè)某醫(yī)院倉庫中有10盒同樣規(guī)格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的，且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該種X光片的次品率依次為，現(xiàn)從這10盒中任取一盒，則取得的這盒X光片是次品的概率為（    ）A．0.08 B．0.1C．0.15 D．0.2【答案】A【分析】以分別表示取得的這盒X光片是由甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的，表示取得的X光片為次品，然后根據(jù)全概率公式結(jié)合題意可求得結(jié)果.【詳解】以分別表示取得的這盒X光片是由甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的，表示取得的X光片為次品，則，，所以由全概率公式，所求概率為故選：A5．已知，則的值為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求導(dǎo)，再代值求出，，即可求得，再求即可【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，所以，所以，所以，所以，故選：A6．已知隨機(jī)變量，且，則的最小值為（    ）A．9 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可求解，進(jìn)而根據(jù)基本不等式乘“1”法即可求解.【詳解】由隨機(jī)變量，則正態(tài)分布的曲線的對稱軸為，又因?yàn)?/span>，所以，所以．當(dāng)時(shí)，,所以有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故最小值為4，故選:C．7．算盤是我國一類重要的計(jì)算工具．如圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左前四位分別表示個(gè)位?十位?百位?千位，上面一粒珠子（簡稱上珠）代表5，下面一粒珠子（簡稱下珠）代表1，即五粒下珠的代表數(shù)值等于同組一粒上珠的代表數(shù)值，例如，個(gè)位撥動(dòng)一粒上珠至梁上，十位未撥動(dòng)，百位撥動(dòng)一粒下珠至梁上，表示數(shù)字105．現(xiàn)將算盤的千位撥動(dòng)一粒珠子至梁上，個(gè)位?十位?百位至多撥動(dòng)一粒珠子至梁上，其它位置珠子不撥動(dòng)．設(shè)事件“表示的四位數(shù)為偶數(shù)”，事件“表示的四位數(shù)大于5050”，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意列舉出所有基本事件，進(jìn)而求出，然后利用條件概率公式求解即可.【詳解】算盤的千位撥動(dòng)一粒珠子至梁上，個(gè)位?十位?百位至多撥動(dòng)一粒珠子至梁上，其它位置珠子不撥動(dòng)．基本事件為：，5500共14種，事件“表示的四位數(shù)為偶數(shù)”，事件“表示的四位數(shù)大于5050，則，所以．故選：A．8．定義在上的奇函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，其導(dǎo)函數(shù)為，對任意正數(shù)恒有，若，則不等式的解集為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由的奇偶性得到在上恒成立，進(jìn)而得到在上單調(diào)遞減，由為奇函數(shù)得到在R上單調(diào)遞減，從而由單調(diào)性解不等式，求出解集.【詳解】因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，所以，對任意正數(shù)恒有，即，故在上恒成立，故在恒成立，故在上單調(diào)遞減，定義域?yàn)?/span>R，又，故為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，又的圖象連續(xù)不斷，故在R上單調(diào)遞減，變形得到，所以，解得，解得.故選：D 二、多選題9．下列命題中是真命題有（    ）A．若，則是函數(shù)的極值點(diǎn)；B．函數(shù)的切線與函數(shù)圖象可以有兩個(gè)公共點(diǎn)；C．函數(shù)在處的忉線方程為，則D．函數(shù)，，則的單調(diào)遞增區(qū)間是．【答案】BC【分析】A可以舉反例說明錯(cuò)誤; B可以舉特例說明可以成立；C可以由導(dǎo)數(shù)幾何意義驗(yàn)算; D可以先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 再求出導(dǎo)數(shù)為正的的范圍,即可進(jìn)行判斷.【詳解】對于A:當(dāng)函數(shù)時(shí),,當(dāng)時(shí),,但是不是函數(shù)的極值點(diǎn),故A錯(cuò)誤;對于B:函數(shù)的切線可能與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),例如函數(shù)在處的切線與函數(shù)的圖象還有一個(gè)公共點(diǎn)為，故B正確;對于C:函數(shù)在處的切線方程為,當(dāng)時(shí)，，而切點(diǎn)是切線與曲線的公共點(diǎn)，所以；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,故C正確;選項(xiàng)D,定義在區(qū)間上的函數(shù),,,故的單調(diào)遞增區(qū)間是和,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間（或減區(qū)間）有多個(gè)，應(yīng)該用逗號隔開，或者分別敘述，不能用并集符號“”，故D錯(cuò)誤故選:BC10．2023春節(jié)檔期有《流浪地球2》，《滿江紅》，《深?！?，《無名》，《交換人生》5部電影，現(xiàn)采用抽簽法決定放映順序，記事件A：“《滿江紅》不是第一場，《無名》不是最后一場”，事件B：“《深?！肥堑谝粓?/span>”，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A．事件B包含144個(gè)樣本點(diǎn) B．C． D．【答案】BC【分析】由條件求出樣本空間的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再分別求事件所包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由此判斷A，再利用古典概型概率公式及條件概率公式判斷其余選項(xiàng).【詳解】隨機(jī)試驗(yàn)采用抽簽法決定5部電影放映順序有個(gè)樣本點(diǎn)，《滿江紅》不是第一場，《無名》不是最后一場的排法可分為兩類第一類，《滿江紅》排最后一場，其余4部電影在前4個(gè)位次全排列，共有種排法，第二類，《滿江紅》不排在最后一場，先排《滿江紅》有種排法，再排《無名》有種排法，再排其它影片有種排法，故第二類共有 種排法，所以事件包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，事件包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，所以A錯(cuò)誤；由古典概型概率公式可得，B正確；《滿江紅》不是第一場，《無名》不是最后一場，且《深海》是第一場的排法可分為三步完成，第一步先排《深?！放旁诘谝粓?，只有一種方法；再在第二場到第四場中排《無名》有種方法，最后在剩余三個(gè)位次排列其它影片有種排法，所以事件包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，由古典概型概率公式可得，C正確；由條件概率公式可得，D錯(cuò)誤；故選：BC.11．已知離散型隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，其中，記為奇數(shù)的概率為，為偶數(shù)的概率為，則下列說法中正確的有（    ）A．  B．時(shí)，C．時(shí)，隨著的增大而增大 D．時(shí)，隨著的增大而減小【答案】ABC【分析】選項(xiàng)A利用概率的基本性質(zhì)即可，B選項(xiàng)由條件可知滿足二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布進(jìn)行分析，選項(xiàng)C，D根據(jù)題意把的表達(dá)式寫出，然后利用單調(diào)性分析即可.【詳解】對于A選項(xiàng)，由概率的基本性質(zhì)可知，，故A正確，對于B選項(xiàng)，由時(shí)，離散型隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則，所以，，所以，故B正確，對于C,D選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，為正項(xiàng)且單調(diào)遞增的數(shù)列，故隨著的增大而增大故選項(xiàng)C正確，當(dāng)時(shí)，為正負(fù)交替的擺動(dòng)數(shù)列，故選項(xiàng)D不正確.故選：ABC.12．已知的展開式中x項(xiàng)的系數(shù)為30，項(xiàng)的系數(shù)為M，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B． C．M有最大值10 D．M有最小值【答案】ABC【分析】由題可得，進(jìn)而可判斷AB，由題可得，利用導(dǎo)數(shù)可判斷CD.【詳解】∵，又的展開式的通項(xiàng)公式為，∴，，故B正確；，又，，故A正確；由題可得，所以，，由，得，∴，，∴M在處取得最大值10，無最小值，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：ABC. 三、填空題13．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為   ．（用數(shù)字作答）【答案】1792【分析】由的展開式通項(xiàng)公式得到符合要求，從而求出答案.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式，令，得，令無整數(shù)解，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：179214．春節(jié)文藝匯演中需要將A，B，C，D，E，F六個(gè)節(jié)目進(jìn)行排序，若A，B兩個(gè)節(jié)目必須相鄰，且都不能排在3號位置，則不同的排序方式有          種．【答案】144【分析】將A，B捆綁，先確定A，B的位置，再將剩余節(jié)目排序，即可得出答案.【詳解】解：將A，B捆綁，先確定A，B的位置，有種可能，再將剩余節(jié)目排序，有種可能，所以不同的排序方式有（種）．故答案為：144.15．對于任意正整數(shù)，定義“的雙階乘”如下：對于是偶數(shù)時(shí)，；對于是奇數(shù)時(shí)，.現(xiàn)有如下四個(gè)命題：①；②；③的個(gè)位數(shù)是；④的個(gè)位數(shù)是.正確的命題序號為      .【答案】①②③④【分析】根據(jù)的雙階乘的定義可直接驗(yàn)證知①正確；將展開式各項(xiàng)提出之后，即可知②正確；由展開式中含因數(shù)因數(shù)可知③正確；結(jié)合的個(gè)位數(shù)可推導(dǎo)得④正確.【詳解】對于①，，①正確；對于②，，②正確；對于③，的展開式中含因數(shù)，其個(gè)位數(shù)為，③正確；對于④，，的個(gè)位數(shù)與的個(gè)位數(shù)相同，個(gè)位數(shù)為；又，的個(gè)位數(shù)與相同，個(gè)位數(shù)為，④正確.故答案為：①②③④.16．若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則m的取值范圍是      ．【答案】【分析】先對求導(dǎo)，將問題轉(zhuǎn)化為在上有解，即在上有解，利用換元法與基本不等式求出的最大值即可得解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，則原向題等價(jià)于在上有解，即在上有解，即在上有解，令，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，此時(shí)，所以，則，所以，即.故答案為：. 四、解答題17．（1）計(jì)算：;                         （2）已知，求.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）利用排列數(shù)公式求解即可；（2）利用組合數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：（1）;(2)已知，則或解得：或，經(jīng)檢驗(yàn)均符合.故或.18．已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)的極值.【答案】(1)(2)極小值為,無極大值. 【分析】（1）求導(dǎo)，進(jìn)而得到，又，寫出切線方程；（2）由（1）知，令列表求解即可.【詳解】（1）切點(diǎn)為，切線的斜率為所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為（2）令，解得，或x-0+0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增 單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值,無極大值.19．從包含甲?乙2人的8人中選4人參加米接力賽，在下列條件下，各多少種不同的排法？(1)甲?乙2人都被選中且必須跑中間兩棒；(2)甲?乙2人只有1人被選中且不能跑中間兩棒；(3)甲?乙2人都被選中且必須跑相鄰兩棒.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用排列數(shù)以及分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.（2）利用排列數(shù)、組合數(shù)以及分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.（3）利用捆綁法以及分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】（1）甲?乙2人必須跑中間兩棒，則他們本身有一個(gè)全排列，余下的兩個(gè)位置需要在剩余的6人中選2人排列，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，知不同的排法種數(shù)為.（2）甲?乙2人只有1人被選中且不能跑中間兩棒，則需要從甲?乙2人中選出1人，有種選法，然后在第一棒和第四棒中選一棒，有種結(jié)果，另外6人中要選3人的剩余的三個(gè)位置上排列，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，知不同的排法種數(shù)為.（3）甲?乙作為一個(gè)整體，從余下的6人中選2人，相當(dāng)于3個(gè)人在三個(gè)位置上排列，則不同的排列種數(shù)為.20．已知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為a，展開式的奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為b，且，則在的展開式中，求解下列問題：(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(2)系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)給定條件，用n表示出a，b并求出n，再利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解作答.（2）由（1）的結(jié)論，求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，再列出不等式即可求解作答.【詳解】（1）依題意，，于是，即，解得，所以的展開式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即.（2）由（1）知，展開式的通項(xiàng)公式為，設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)的絕對值最大，因此，整理得，解得，而，則，即系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)是第3項(xiàng)，所以系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)為.21．網(wǎng)絡(luò)購物相比于實(shí)體店購物更加方便、省時(shí)，成為大學(xué)生日常生活中的購物新模式．某高校學(xué)生會(huì)分別隨機(jī)抽取本校男、女學(xué)生各100人進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)購物問卷調(diào)查，調(diào)查問卷中有一項(xiàng)是“你每學(xué)年用于網(wǎng)購消費(fèi)的金額”，經(jīng)過數(shù)據(jù)整理，得到如下頻數(shù)分布表：消費(fèi)金額性別男6192728164女1124312473(1)試估計(jì)該高校學(xué)生網(wǎng)購消費(fèi)金額低于900元的頻率；(2)以頻率作為概率，若將每學(xué)年用于網(wǎng)購消費(fèi)的金額不低于900元的學(xué)生稱為“網(wǎng)購過度消費(fèi)”，低于900元的學(xué)生稱為“非網(wǎng)購過度消費(fèi)”，從該校“網(wǎng)購過度消費(fèi)”的學(xué)生中隨機(jī)抽取4名學(xué)生進(jìn)一步了解他們對網(wǎng)絡(luò)購物的滿意度，記抽到男生的人數(shù)為，求的分布列與期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，期望為 【分析】（1）利用網(wǎng)購消費(fèi)金額低于900元的學(xué)生人數(shù)與200的比值求出頻率；（2）先得到，利用二項(xiàng)分布知識求出分布列和期望.【詳解】（1）由題圖可知，該高校學(xué)生網(wǎng)購消費(fèi)金額低于900元的頻率為：；（2）從該校“網(wǎng)購過度消費(fèi)”的學(xué)生中，任取一名網(wǎng)購消費(fèi)金額不低于900元的學(xué)生，該生是男生的概率為，隨機(jī)抽取4名學(xué)生，抽到男生的人數(shù)為，易知，，，，，，的分布列為：01234且．22．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)證明：.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)(3)證明見解析 【分析】(1)利用導(dǎo)函數(shù)討論單調(diào)性；(2)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性、最值的關(guān)系求解；(3)利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系證明不等式.【詳解】（1）∵，∴，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得；令，得.∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)趨于無窮大時(shí)，的增長速率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于的增長速率，所以趨于,由此作出的圖象，∴若有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，只需.設(shè)，則.∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.又，∴或.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為.（3）證明：由（1）可知當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.∴.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理． 

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