2022-2023學(xué)年廣東省揭陽市三校高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．如圖所示的韋恩圖中，，是非空集合，若，，則陰影部分表示的集合是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用集合的運(yùn)算法則即可求解.【詳解】由已知得，，令,則陰影部分表示的集合是，故選：B.2．從6人中選3人參加座談會，其中甲必須參加，乙另有任務(wù)不能參加，則不同的選法有（    ）A．60種 B．20種 C．10種 D．6種【答案】D【分析】根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算即可求解.【詳解】從6人中選3人參加座談會，其中甲必須參加，乙另有任務(wù)不能參加，則從余下4人中選2人參加座談會，有種選法.故選：D.3．已知向量，滿足，，則（    ）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】C【分析】由，，兩式平方相減求解.【詳解】解：因?yàn)?/span>，滿足，，所以，兩式相減得：，故選：C4．函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性結(jié)合當(dāng)時(shí)函數(shù)值的符號性分析判斷.【詳解】∵，即，∴為偶函數(shù)；又∵當(dāng)時(shí)，則，故，∴；綜上所述：A正確，B、C、D錯(cuò)誤.故選：A.5．五角星是非常美麗的，我們的國旗上就有五顆，還有不少國家的國旗也用五角星，因?yàn)樵谖褰切侵锌梢哉业皆S多線段之間的長度關(guān)系是符合黃金分割比的，也就是說正五邊形對角線連滿后出現(xiàn)的所有三角形，都是黃金分割三角形.如圖所示的五角星中、、等都是黃金分割比，已知五角星的頂角是36°，則利用上面信息可求得（    ）  A． B． C． D．【答案】C【分析】由圖形可知，則可求出，再利用二倍角公式可求出，然后利用誘導(dǎo)公式可求得結(jié)果.【詳解】由圖形可知，則，所以，所以，故選：C6．有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若丙不站在兩端，甲和丁相鄰，則不同排列方式共有（    ）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】B【分析】利用捆綁法和特殊位置優(yōu)先法結(jié)合分步乘法原理求解即可【詳解】將甲和丁看作一個(gè)整體，有種方法，從乙、戊和甲丁的整體中選兩個(gè)安排在兩端，則有種方法，再安排丙和剩下的人，有種方法，根據(jù)分步乘法原理可知共有種方法，故選：B7．在三棱錐中，，，，則該三棱錐的外接球表面積是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由于三棱錐對棱相等，可將它補(bǔ)成一個(gè)長方體，利用長方體求得其外接球的半徑，然后求出球表面積即可．【詳解】因?yàn)?/span>，所以可以將三棱錐如圖放置于一個(gè)長方體中，如圖所示：  設(shè)長方體的長、寬、高分別為a、b、c，則有，整理得，則該棱錐外接球的半徑即為該長方體外接球的半徑，所以有，所以所求的球體表面積為：．故選：A．8．已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)，，滿足且，則下列不正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，設(shè)，求出的導(dǎo)數(shù)，分析的單調(diào)性，由此可得函數(shù)的大致圖象，設(shè)，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系分析、、的關(guān)系，由此分析選項(xiàng)可得答案．【詳解】設(shè)，則，令，可得或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，，，則函數(shù)的圖象如圖：  若實(shí)數(shù)，，滿足且，設(shè)，則，故直線與函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可得，，，則A 正確，同時(shí)有，即，變形可得，所以，，則C正確，D錯(cuò)誤；又由，，所以，，故B正確，故選：D． 二、多選題9．設(shè)，則下列說法正確的是（    ）A．B．C．D．展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)【答案】AC【分析】分別令分析A，B，C選項(xiàng)，在利用展開式中二項(xiàng)式系數(shù)來分析系數(shù)最大項(xiàng)即可得D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?/span>，所以令時(shí)，，故A正確；令時(shí)，，所以，故B不正確；令時(shí)，，故C正確；當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大，即第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AC.10．已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列滿足，且，，則（    ）A． B．C． D．【答案】AB【分析】先求出等差數(shù)列的公差、首項(xiàng)，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式，再根據(jù)數(shù)列與的關(guān)系，從而得出的通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式及等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可以確定選項(xiàng)正誤.【詳解】對于A，設(shè)等差數(shù)列的公差為,由，得，得．又因?yàn)?/span>，所以，可得，于是，A正確．對于B，，所以，B正確．對于C，，C錯(cuò)誤．對于D，，D錯(cuò)誤．故選：AB．11．已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則（    ）A．函數(shù)的最大值為2 B．點(diǎn)是函數(shù)圖像的一個(gè)對稱中心C．是函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn) D．的圖像關(guān)于直線對稱【答案】BCD【分析】將點(diǎn)代入函數(shù)式求得，應(yīng)用三角恒等變換化簡，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)判斷各項(xiàng)的正誤即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，所以，即，又，則，所以，其最大值為1，A錯(cuò)誤．因?yàn)?/span>圖像的對稱中心是點(diǎn)，，令，得：，，當(dāng)時(shí)，所以是函數(shù)圖像的一個(gè)對稱中心，B正確．令得：，，所以，，當(dāng)時(shí)，所以是函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)，C正確．因?yàn)?/span>圖像的對稱軸方程是，，所以令，得：，，當(dāng)時(shí)，所以直線是函數(shù)圖像的一條對稱軸，D正確．故選：BCD12．公元1715年英國數(shù)學(xué)家布魯克·泰在他的著作中陳述了“泰勒公式”，如果滿足一定的條件，泰勒公式可以用函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式來近似表達(dá)這個(gè)函數(shù).泰勒公式將一些復(fù)雜函數(shù)近似地表示為簡單的多項(xiàng)式函數(shù)，使得它成為分析和研究許多數(shù)學(xué)問題的有力工具，例如（1）（2）（3）（4）（其中“o（    ）”表示無窮小量，比給出的任何數(shù)都更接近于0）運(yùn)用上述公式，以下大小關(guān)系正確的是：（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)泰勒公式展開函數(shù)，進(jìn)而比較大小，即可求解.【詳解】對于A中，由，所以成立，所以A正確；對于B中，由，所以B正確；對于C中，由，又由，所以，所以C不正確；對于D中，由，所以D正確.故選：ABD. 三、填空題13．在的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，寫出一個(gè)滿足條件的的值是         .【答案】4（答案不唯一，滿足即可）【分析】求出展開式的通項(xiàng)公式，然后令的指數(shù)為，根據(jù)的范圍即可求解.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為令，得,故令則故答案為：.14．已知函數(shù)，，曲線在點(diǎn)的切線與直線垂直，則         .【答案】0【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及兩直線垂直斜率的關(guān)系求解.【詳解】設(shè)曲線在點(diǎn)的切線的斜率為，則，解得，由于，則，即，解得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，則，即，解得，所以，故答案為：0.15．為了解某中學(xué)生遵守《中華人民共和國交通安全法》的情況，調(diào)查部門在該校進(jìn)行了如下的隨機(jī)調(diào)查，向被調(diào)查者提出兩個(gè)問題：（1）你的學(xué)號是奇數(shù)嗎?（2）在過路口時(shí)你是否闖過紅燈?要求被調(diào)查者背對著調(diào)查人員拋擲一枚硬幣，如果出現(xiàn)正面，就回答第一個(gè)問題，否則就回答第二個(gè)問題.被調(diào)查者不必告訴調(diào)查人員自己回答的是哪一個(gè)問題，只需回答“是”或“不是”，因?yàn)橹挥姓{(diào)查者本人知道回答了哪一個(gè)問題，所以都如實(shí)地作了回答.結(jié)果被調(diào)查的1200人（學(xué)號從1至1200）中有366人回答了“是”.由此可以估計(jì)這1200人中闖過紅燈的人數(shù)是          .【答案】132【分析】在準(zhǔn)備的兩個(gè)問題中每一個(gè)問題被問到的概率相同，由此可知第一個(gè)問題被問到600次，在被問到的600人中300人學(xué)號是奇數(shù)，比300人多出來的人數(shù)就是闖過紅燈的人數(shù)，可以求出該組樣本的頻率，最后利用樣本頻率估計(jì)總體的方法即可求解.【詳解】被調(diào)查的1200人中，在準(zhǔn)備回答的兩個(gè)問題中每一個(gè)問題被問到的概率相同，所以第一個(gè)問題可能被問600次，因?yàn)楸粏柕?/span>600人中有300人學(xué)號是奇數(shù)，而有366人回答了“是”，所以估計(jì)有66人闖過紅燈，在600人中有66人闖過紅燈，頻率為，用樣本頻率估計(jì)總體，從而估計(jì)這1200人中闖過紅燈的人數(shù)為人.故答案為：132.16．現(xiàn)有雙曲線，，為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，，為雙曲線的虛軸端點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，面積的最大值為，面積的最小值為2，則雙曲線的離心率為        .【答案】【分析】根據(jù)條件，設(shè)，由兩點(diǎn)間距離公式并化簡可得動點(diǎn)的軌跡方程,并判斷出動點(diǎn)的軌跡為圓.結(jié)合題意，當(dāng)點(diǎn)位于最高點(diǎn)時(shí)，的面積最大，可求出；當(dāng)點(diǎn)位于左端時(shí)，的面積最小，可求出，進(jìn)一步計(jì)算即可.【詳解】設(shè)依題意得，,即兩邊平方化簡得則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑的圓，當(dāng)點(diǎn)位于最高點(diǎn)時(shí)，的面積最大，最大面積為解得當(dāng)點(diǎn)位于最左端時(shí)，的面積最小，最小面積為，解得故雙曲線的離心率故答案為： 四、解答題17．在中，記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，其中.(1)求角；(2)若的面積為，且，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）用正弦定理邊化角，再根據(jù)三角恒等變換求出A； （2）根據(jù)面積公式求出c，再用余弦定理求出、面積求出可得答案.【詳解】（1）∵，由正弦定理得，∵，∴，∴，又，∴，∴，又，，∴，∴；（2）若的面積為，且，由余弦定理，有，∴，又，∴，∴，∴.18．如圖，在正方體中，，，，分別是，，，各棱的中點(diǎn).  (1)畫出過點(diǎn)，，，的平面截正方體所得的截面并指出截面的形狀（不必說明畫法和理由）(2)求（1）中的截面與平面所成的二面角的正弦值.【答案】(1)答案見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)題意畫出截面即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求解即可【詳解】（1）截面的形狀為：正六邊形.理由如下：如圖，  延長，，，由基本事實(shí)可得，三線交于一點(diǎn)，設(shè)為，延長交的延長線于點(diǎn)，延長交的延長線于點(diǎn)，連接，與，分別交于點(diǎn)，，則點(diǎn)，是截面所在平面與平面的公共點(diǎn)，連接，，，可得截面所在平面與正方體各面的交線分別為：，，，，，，截面如圖中的陰影部分所示.由，，，分別是，，，各棱的中點(diǎn)，可得，分別為，中點(diǎn).因此六邊形為正六邊形.（2）分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)，    設(shè)正方體的邊長為2.則可得，，，，，，設(shè)截面為，其法向量，則，即，令，則，，∴取平面的法向量設(shè)截面與平面所成的角為，則又∵，∴.∴（1）中的截面與平面所成的二面角的正弦值為.19．為慶祝神舟十四號載人飛船返回艙成功著陸，某校開展了航天知識競賽活動，競賽分為初賽和復(fù)賽兩個(gè)階段.已知全校有1200名學(xué)生參加初賽，初賽成績分成6組，，，，，，繪制如圖所示的頻率分布直方圖，若參加初賽的這1200名學(xué)生中，其中成績不低于80分的有360人.  (1)求頻率分布直方圖中實(shí)數(shù)，的值；(2)若規(guī)定初賽成績前20%的學(xué)生進(jìn)入復(fù)賽，試估計(jì)進(jìn)入復(fù)賽的分?jǐn)?shù)線；(3)在進(jìn)入復(fù)賽的學(xué)生中采用分層抽樣抽取8人，再從8人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行訪談，求這2人中恰有1人成績在的概率.【答案】(1)，(2)84；(3) 【分析】（1）根據(jù)頻率直方圖頻率和為1及成績不低于80分的人的頻率為0.3，列方程求出，；（2）根據(jù)頻率分布直方圖求百分位數(shù)求法計(jì)算即可；（3）應(yīng)用古典概型計(jì)算即可.【詳解】（1）由已知可得，成績不低于80分的人的頻率為0.3所以，得，由，（2）根據(jù)直方圖可知，成績在的頻率為0.3，大于0.2，成績在的頻率為0.05，小于0.2，因此進(jìn)入決賽的分?jǐn)?shù)線應(yīng)該介于之間，則，，解得可得，所以進(jìn)入決賽的分?jǐn)?shù)線劃定為84；（3）由（2）可得初賽成績在與的比例為0.15：0.05=3：1所以，抽取的8人初賽成績在的人數(shù)為人.在的人數(shù)為人.再從8人中隨機(jī)抽取2人，其中恰有1人成績在的概率.20．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，；等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求，；(2)記，求使取得最大值時(shí)的值.【答案】(1)，(2)或7 【分析】根據(jù)已知關(guān)系式求出數(shù)列的首項(xiàng)和第二項(xiàng)即可求出公差和公比，可得通項(xiàng)公式；將表示出來，根據(jù)比值，可判斷出最大項(xiàng).【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為.∵，，∴，，∴.設(shè)等比數(shù)列的公比為.∵，∴，，∴，，∴.（2），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且，由，得.于是，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)或7時(shí)，取得最大值.21．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，且也是拋物線：的焦點(diǎn)，為橢圓與拋物線在第一象限的交點(diǎn)，且.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)動直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，存在一點(diǎn)使，判斷直線是否經(jīng)過定點(diǎn)?若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說明理由.【答案】(1)(2)動直線不過定點(diǎn)，理由見解析 【分析】（1）根據(jù)拋物線方程可求出，則，設(shè)，則由拋物線的定義列方程可求出，從而可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合可求出，從而可得橢圓方程；（2）若動直線過，可得滿足條件，若直線不過，假設(shè)直線過定點(diǎn)，設(shè)直線的方程是：，設(shè)，，將直線方程代入橢圓方程化簡后利用根與系數(shù)的關(guān)系，由，可得，結(jié)合前面的式子化簡可得，從而可得結(jié)論.【詳解】（1）∵也是拋物線：的焦點(diǎn)，∴，∴，且拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)，∵，∴，∴，∴，∴，∵，解得，，∴橢圓方程為；（2）①若動直線過，此時(shí)、、共線，滿足題設(shè).②若直線不過，假設(shè)直線過定點(diǎn)，由橢圓的對稱性可知定點(diǎn)必在軸上，設(shè)為；則直線的方程是：，設(shè)，，則聯(lián)立，消整理得，由得由韋達(dá)定理有，由（顯然，的斜率存在），故，即，.∴.由，兩點(diǎn)在直線上，故，代入上式，整理可得：即有.整理可得：，無論為何值使等式成立.又時(shí)滿足；故直線恒經(jīng)過定點(diǎn).時(shí)恒成立，此時(shí)直線不過定點(diǎn).綜上①②，動直線不過定點(diǎn).  【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查橢圓與拋物線的綜合問題，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程代入橢圓方程化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再由，得，然后化簡計(jì)算即可，考查數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較難題.22．已知函數(shù)(1)設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)或 【分析】（1）易得，，然后利用導(dǎo)數(shù)法求解；（2）由題意得到有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令，，轉(zhuǎn)化為圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)求解.【詳解】（1）解：∵，，∴，，則，令，解得或，當(dāng)、時(shí)，，∴在、上單調(diào)遞增.當(dāng)、時(shí)，，∴在、上單調(diào)遞減.（2）∵有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令，，則圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，∵，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.又，，，∵直線過定點(diǎn)，當(dāng)直線與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，則，切線方程為：，∵在切線上，代入上式得，解得或，則，，∴切線方程為：；：，如圖所示：  要使圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則或綜上，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：令，，轉(zhuǎn)化為圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn).轉(zhuǎn)化為為直線與相切求解. 

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