?廣東省揭陽市三校2022-2023學年高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、單選題
1．如圖所示的韋恩圖中，，是非空集合，若，，則陰影部分表示的集合是（????）

A． B． C． D．
2．從6人中選3人參加座談會，其中甲必須參加，乙另有任務不能參加，則不同的選法有（????）
A．60種 B．20種 C．10種 D．6種
3．已知向量，滿足，，則（????）
A．1 B．2 C．3 D．5
4．函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（????）
A． B．
C． D．
5．五角星是非常美麗的，我們的國旗上就有五顆，還有不少國家的國旗也用五角星，因為在五角星中可以找到許多線段之間的長度關系是符合黃金分割比的，也就是說正五邊形對角線連滿后出現(xiàn)的所有三角形，都是黃金分割三角形.如圖所示的五角星中、、等都是黃金分割比，已知五角星的頂角是36°，則利用上面信息可求得（????）
??
A． B． C． D．
6．有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若丙不站在兩端，甲和丁相鄰，則不同排列方式共有（????）
A．12種 B．24種 C．36種 D．48種
7．在三棱錐中，，，，則該三棱錐的外接球表面積是（????）
A． B． C． D．
8．已知函數(shù)，若實數(shù)，，滿足且，則下列不正確的是（????）
A． B．
C． D．

二、多選題
9．設，則下列說法正確的是（????）
A．
B．
C．
D．展開式中二項式系數(shù)最大的項是第5項
10．已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列滿足，且，，則（????）
A． B．
C． D．
11．已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則（????）
A．函數(shù)的最大值為2 B．點是函數(shù)圖像的一個對稱中心
C．是函數(shù)的一個極小值點 D．的圖像關于直線對稱
12．公元1715年英國數(shù)學家布魯克·泰在他的著作中陳述了“泰勒公式”，如果滿足一定的條件，泰勒公式可以用函數(shù)在某一點的各階導數(shù)值構建一個多項式來近似表達這個函數(shù).泰勒公式將一些復雜函數(shù)近似地表示為簡單的多項式函數(shù)，使得它成為分析和研究許多數(shù)學問題的有力工具，例如
（1）
（2）
（3）
（4）
（其中“o（????）”表示無窮小量，比給出的任何數(shù)都更接近于0）
運用上述公式，以下大小關系正確的是：（????）
A． B．
C． D．

三、填空題
13．在的展開式中存在常數(shù)項，寫出一個滿足條件的的值是 .
14．已知函數(shù)，，曲線在點的切線與直線垂直，則 .
15．為了解某中學生遵守《中華人民共和國交通安全法》的情況，調查部門在該校進行了如下的隨機調查，向被調查者提出兩個問題：（1）你的學號是奇數(shù)嗎?（2）在過路口時你是否闖過紅燈?要求被調查者背對著調查人員拋擲一枚硬幣，如果出現(xiàn)正面，就回答第一個問題，否則就回答第二個問題.被調查者不必告訴調查人員自己回答的是哪一個問題，只需回答“是”或“不是”，因為只有調查者本人知道回答了哪一個問題，所以都如實地作了回答.結果被調查的1200人（學號從1至1200）中有366人回答了“是”.由此可以估計這1200人中闖過紅燈的人數(shù)是 .
16．現(xiàn)有雙曲線，，為雙曲線的左、右頂點，，為雙曲線的虛軸端點，動點滿足，面積的最大值為，面積的最小值為2，則雙曲線的離心率為 .

四、解答題
17．在中，記的內角，，的對邊分別為，，，其中.
(1)求角；
(2)若的面積為，且，求.
18．如圖，在正方體中，，，，分別是，，，各棱的中點.
??
(1)畫出過點，，，的平面截正方體所得的截面并指出截面的形狀（不必說明畫法和理由）
(2)求（1）中的截面與平面所成的二面角的正弦值.
19．為慶祝神舟十四號載人飛船返回艙成功著陸，某校開展了航天知識競賽活動，競賽分為初賽和復賽兩個階段.已知全校有1200名學生參加初賽，初賽成績分成6組，，，，，，繪制如圖所示的頻率分布直方圖，若參加初賽的這1200名學生中，其中成績不低于80分的有360人.

(1)求頻率分布直方圖中實數(shù)，的值；
(2)若規(guī)定初賽成績前20%的學生進入復賽，試估計進入復賽的分數(shù)線；
(3)在進入復賽的學生中采用分層抽樣抽取8人，再從8人中隨機抽取2人進行訪談，求這2人中恰有1人成績在的概率.
20．已知等差數(shù)列的首項，；等比數(shù)列的前項和為，且.
(1)求，；
(2)記，求使取得最大值時的值.
21．已知橢圓：的左、右焦點分別為、，且也是拋物線：的焦點，為橢圓與拋物線在第一象限的交點，且.
(1)求橢圓的方程；
(2)設動直線與橢圓交于，兩點，存在一點使，判斷直線是否經(jīng)過定點?若是，求出定點的坐標；若不是，說明理由.
22．已知函數(shù)
(1)設函數(shù)，求函數(shù)的單調區(qū)間；
(2)設函數(shù)，若函數(shù)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案：
1．B
【分析】利用集合的運算法則即可求解.
【詳解】由已知得，，
令,則陰影部分表示的集合是，
故選：B.
2．D
【分析】根據(jù)組合數(shù)的計算即可求解.
【詳解】從6人中選3人參加座談會，其中甲必須參加，乙另有任務不能參加，
則從余下4人中選2人參加座談會，有種選法.
故選：D.
3．C
【分析】由，，兩式平方相減求解.
【詳解】解：因為，滿足，，
所以，
兩式相減得：，
故選：C
4．A
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性結合當時函數(shù)值的符號性分析判斷.
【詳解】∵，即，
∴為偶函數(shù)；
又∵當時，則，故，
∴；
綜上所述：A正確，B、C、D錯誤.
故選：A.
5．C
【分析】由圖形可知，則可求出，再利用二倍角公式可求出，然后利用誘導公式可求得結果.
【詳解】由圖形可知，則，
所以，
所以，
故選：C
6．B
【分析】利用捆綁法和特殊位置優(yōu)先法結合分步乘法原理求解即可
【詳解】將甲和丁看作一個整體，有種方法，
從乙、戊和甲丁的整體中選兩個安排在兩端，則有種方法，
再安排丙和剩下的人，有種方法，
根據(jù)分步乘法原理可知共有種方法，
故選：B
7．A
【分析】由于三棱錐對棱相等，可將它補成一個長方體，利用長方體求得其外接球的半徑，然后求出球表面積即可．
【詳解】因為，
所以可以將三棱錐如圖放置于一個長方體中，如圖所示：
??
設長方體的長、寬、高分別為a、b、c，
則有，整理得，
則該棱錐外接球的半徑即為該長方體外接球的半徑，
所以有，
所以所求的球體表面積為：．
故選：A．
8．D
【分析】根據(jù)題意，設，求出的導數(shù)，分析的單調性，由此可得函數(shù)的大致圖象，設，結合函數(shù)的零點與方程根的關系分析、、的關系，由此分析選項可得答案．
【詳解】設，
則，
令，可得或，
當時，，函數(shù)在上單調遞增，
當時，，函數(shù)在上單調遞減，
當時，，函數(shù)在上單調遞增，
又，，，，
則函數(shù)的圖象如圖：
??
若實數(shù)，，滿足且，設，
則，故直線與函數(shù)有3個交點，結合圖象可得，，，則A 正確，
同時有，
即，
變形可得，
所以，，則C正確，D錯誤；
又由，，所以，，故B正確，
故選：D．
9．AC
【分析】分別令分析A，B，C選項，在利用展開式中二項式系數(shù)來分析系數(shù)最大項即可得D選項.
【詳解】因為，
所以令時，
，
故A正確；
令時，
，
所以，
故B不正確；
令時，
，
故C正確；
當時，二項式系數(shù)最大，即第6項的二項式系數(shù)最大，
故D選項錯誤；
故選：AC.
10．AB
【分析】先求出等差數(shù)列的公差、首項，進而求出的通項公式，再根據(jù)數(shù)列與的關系，從而得出的通項公式，根據(jù)通項公式及等比數(shù)列前項和公式可以確定選項正誤.
【詳解】對于A，設等差數(shù)列的公差為,由，得，得．
又因為，所以，可得，于是，A正確．
對于B，，所以，B正確．
對于C，，C錯誤．
對于D，，D錯誤．
故選：AB．
11．BCD
【分析】將點代入函數(shù)式求得，應用三角恒等變換化簡，結合正弦型函數(shù)的性質判斷各項的正誤即可.
【詳解】因為函數(shù)的圖像經(jīng)過點，
所以，即，又，則，
所以，其最大值為1，A錯誤．
因為圖像的對稱中心是點，，
令，得：，，當時，
所以是函數(shù)圖像的一個對稱中心，B正確．
令得：，，
所以，，當時，
所以是函數(shù)的一個極小值點，C正確．
因為圖像的對稱軸方程是，，
所以令，得：，，當時，
所以直線是函數(shù)圖像的一條對稱軸，D正確．
故選：BCD
12．ABD
【分析】根據(jù)泰勒公式展開函數(shù)，進而比較大小，即可求解.
【詳解】對于A中，由，
所以成立，所以A正確；
對于B中，由，所以B正確；
對于C中，由，
又由，所以，所以C不正確；
對于D中，由，所以D正確.
故選：ABD.
13．4（答案不唯一，滿足即可）
【分析】求出展開式的通項公式，然后令的指數(shù)為，根據(jù)的范圍即可求解.
【詳解】展開式的通項公式為
令，得,故
令則
故答案為：.
14．0
【分析】利用導數(shù)的幾何意義以及兩直線垂直斜率的關系求解.
【詳解】設曲線在點的切線的斜率為，則，解得，
由于，則，即，解得，
所以，
因為點在曲線上，則，即，解得，
所以，
故答案為：0.
15．132
【分析】在準備的兩個問題中每一個問題被問到的概率相同，由此可知第一個問題被問到600次，在被問到的600人中300人學號是奇數(shù)，比300人多出來的人數(shù)就是闖過紅燈的人數(shù)，可以求出該組樣本的頻率，最后利用樣本頻率估計總體的方法即可求解.
【詳解】被調查的1200人中，在準備回答的兩個問題中每一個問題被問到的概率相同，
所以第一個問題可能被問600次，因為被問的600人中有300人學號是奇數(shù)，而有366人回答了“是”，
所以估計有66人闖過紅燈，在600人中有66人闖過紅燈，頻率為，
用樣本頻率估計總體，從而估計這1200人中闖過紅燈的人數(shù)為人.
故答案為：132.
16．
【分析】根據(jù)條件，設，由兩點間距離公式并化簡可得動點的軌跡方程,并判斷出動點的軌跡為圓.結合題意，當點位于最高點時，的面積最大，可求出；當點位于左端時，的面積最小，可求出，進一步計算即可.
【詳解】設
依題意得，,
即
兩邊平方化簡得
則點的軌跡是以為圓心，半徑的圓，
當點位于最高點時，的面積最大，最大面積為
解得
當點位于最左端時，的面積最小，最小面積為，
解得
故雙曲線的離心率
故答案為：
17．(1)
(2)

【分析】（1）用正弦定理邊化角，再根據(jù)三角恒等變換求出A；
（2）根據(jù)面積公式求出c，再用余弦定理求出、面積求出可得答案.
【詳解】（1）∵，由正弦定理得
，
∵，
∴，
∴，又，
∴，
∴，又，，
∴，∴；
（2）若的面積為，且，
由余弦定理，有，
∴，
又，
∴，∴，∴.
18．(1)答案見解析
(2)

【分析】（1）根據(jù)題意畫出截面即可；
（2）建立空間直角坐標系，利用法向量求解即可
【詳解】（1）截面的形狀為：正六邊形.
理由如下：如圖，
??
延長，，，由基本事實可得，三線交于一點，
設為，延長交的延長線于點，延長交的延長線于點，
連接，與，分別交于點，，
則點，是截面所在平面與平面的公共點，
連接，，，可得截面所在平面與正方體各面的交線分別為：
，，，，，，截面如圖中的陰影部分所示.
由，，，分別是，，，各棱的中點，
可得，分別為，中點.因此六邊形為正六邊形.
（2）分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示空間直角坐標，
????
設正方體的邊長為2.
則可得，，，，
，，
設截面為，其法向量，
則，即，
令，則，，∴
取平面的法向量
設截面與平面所成的角為，
則
又∵，∴.
∴（1）中的截面與平面所成的二面角的正弦值為.
19．(1)，
(2)84；
(3)

【分析】（1）根據(jù)頻率直方圖頻率和為1及成績不低于80分的人的頻率為0.3，列方程求出，；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖求百分位數(shù)求法計算即可；
（3）應用古典概型計算即可.
【詳解】（1）由已知可得，成績不低于80分的人的頻率為0.3
所以，得，
由，
（2）根據(jù)直方圖可知，成績在的頻率為0.3，大于0.2，成績在的頻率為0.05，小于0.2，因此進入決賽的分數(shù)線應該介于之間，
則，，解得
可得，所以進入決賽的分數(shù)線劃定為84；
（3）由（2）可得初賽成績在與的比例為0.15：0.05=3：1
所以，抽取的8人初賽成績在的人數(shù)為人.
在的人數(shù)為人.
再從8人中隨機抽取2人，其中恰有1人成績在的概率.
20．(1)，
(2)或7

【分析】根據(jù)已知關系式求出數(shù)列的首項和第二項即可求出公差和公比，可得通項公式；
將表示出來，根據(jù)比值，可判斷出最大項.
【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為.
∵，，
∴，，∴.
設等比數(shù)列的公比為.
∵，∴，，
∴，，∴.
（2），
當時，；
當時，，且，
由，得.
于是，當時，，
當時，，即，
當時，，
故當或7時，取得最大值.
21．(1)
(2)動直線不過定點，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)拋物線方程可求出，則，設，則由拋物線的定義列方程可求出，從而可求出點的坐標，再將點的坐標代入橢圓方程，結合可求出，從而可得橢圓方程；
（2）若動直線過，可得滿足條件，若直線不過，假設直線過定點，設直線的方程是：，設，，將直線方程代入橢圓方程化簡后利用根與系數(shù)的關系，由，可得，結合前面的式子化簡可得，從而可得結論.
【詳解】（1）∵也是拋物線：的焦點，∴，
∴，且拋物線的準線方程為，
設點，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∵，解得，，
∴橢圓方程為；
（2）①若動直線過，此時、、共線，滿足題設.
②若直線不過，假設直線過定點，由橢圓的對稱性可知定點必在軸上，設為；則直線的方程是：，
設，，則
聯(lián)立，消整理得，
由得
由韋達定理有，
由（顯然，的斜率存在），故，
即，.
∴.
由，兩點在直線上，故，
代入上式，整理可得：
即有.
整理可得：，無論為何值使等式成立.
又時滿足；故直線恒經(jīng)過定點.
時恒成立，此時直線不過定點.
綜上①②，動直線不過定點.
??
【點睛】關鍵點點睛：此題考查橢圓與拋物線的綜合問題，考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是設出直線方程代入橢圓方程化簡，利用根與系數(shù)的關系，再由，得，然后化簡計算即可，考查數(shù)學計算能力，屬于較難題.
22．(1)答案見解析
(2)或

【分析】（1）易得，，然后利用導數(shù)法求解；
（2）由題意得到有兩個不同的實數(shù)根，令，，轉化為圖象與直線有兩個交點求解.
【詳解】（1）解：∵，，
∴，，
則，
令，解得或，
當、時，，
∴在、上單調遞增.
當、時，，
∴在、上單調遞減.
（2）∵有兩個不同的零點，
則有兩個不同的實數(shù)根，
令，，
則圖象與直線有兩個交點，
∵，令，解得，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增.
又，，，
∵直線過定點，當直線與相切時，
設切點為，則，
切線方程為：，
∵在切線上，代入上式得，
解得或，則，，
∴切線方程為：；：，
如圖所示：
??
要使圖象與直線有兩個交點，則或
綜上，當或時，函數(shù)有兩個不同的零點.
【點睛】方法點睛：令，，轉化為圖象與直線有兩個交點.轉化為為直線與相切求解.

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