2022-2023學年廣東省廣州大學附屬中學等三校高二下學期期末聯(lián)考數(shù)學試題 一、單選題1．已知集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得，結(jié)合集合的交集的概念及運算，即可求解.【詳解】由集合，所以.故選：C.2．設復數(shù)z滿足，則z的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】利用復數(shù)除法運算求出復數(shù)z，進而求出其共軛復數(shù)作答.【詳解】依題意，，于是得，所以z的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限.故選：D3．的展開式中的常數(shù)項為（    ）A．64 B．-64C．84 D．-84【答案】D【分析】寫出二項展開式的通項，令x的指數(shù)等于零，即可得出答案.【詳解】解：的二項展開式的通項為：，令，則，所以，即的展開式中的常數(shù)項為84.故選：D.4．要得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像（    ）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】D【分析】根據(jù)題意，由輔助角公式可得，然后結(jié)合三角函數(shù)的平移變換，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，即只需要把函數(shù)的圖像向右平移個單位長度即可.故選：D5．如圖，湖北省分別與湖南、安徽、陜西、江西四省交界，且湘、皖、陜互不交界，在地圖上分別給各省地域涂色，要求相鄰省涂不同色，現(xiàn)有種不同顏色可供選用，則不同的涂色方案數(shù)為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理列式計算作答.【詳解】依題意，按安徽與陜西涂的顏色相同和不同分成兩類：若安徽與陜西涂同色，先涂陜西有種方法，再涂湖北有種方法，涂安徽有1種方法，涂江西有種方法，最后涂湖南有3種方法，由分步計數(shù)乘法原理得不同的涂色方案種，若安徽與陜西不同色，先涂陜西有種方法，再涂湖北有種方法，涂安徽有3種方法，涂江西、湖南也各有種方法，由分步計數(shù)乘法原理得不同的涂色方案 種方法，所以，由分類加法計數(shù)原理得不同的涂色方案共有種.故選：C6．已知，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由，構(gòu)造函數(shù)，通過求導討論的單調(diào)性，再構(gòu)造函數(shù)，通過求導討論的單調(diào)性，得到，從而得到，從而判斷出；再由，，求出，比較和的大小，從而判斷出，即可得到.【詳解】因為，，令，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，令，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，即，，即所以，所以；由，得，由，得，所以，因為，所以，所以，所以，即，所以，綜上所述.故選：A7．已知雙曲線的左、右焦點分別為，設點為右支上一點，點到直線的距離為，過的直線與雙曲線的右支有兩個交點，則下列說法正確的是（    ）A．的最小值為2 B．C．直線的斜率的取值范圍是 D．的內(nèi)切圓圓心到軸的距離為1【答案】D【分析】根據(jù)題意作圖，結(jié)合雙曲線的焦點坐標、頂點坐標、漸近線方程，可得答案.【詳解】由題意，，，可作圖如下：  對于A，由題意以及圖象可知：當與右頂點重合時，取得最小值為，故A錯誤；對于B，令且，則，故B錯誤；對于C，由漸近線方程為，過的直線與雙曲線的右支有兩個交點，結(jié)合圖象可知：直線的斜率的取值范圍為，故C錯誤；對于D，若內(nèi)切圓與三邊相切于，如圖象所示，則，，，又，即，由，，即與右頂點重合，易知的內(nèi)切圓圓心到軸的距離為，故D正確.故選：D. 二、填空題8．已知向量滿足，則         ．【答案】【分析】利用向量的數(shù)量積的運算律及向量的模公式，結(jié)論向量的夾角公式即可求解.【詳解】，，，.故答案為：.9．在正四棱臺中，上、下底面邊長分別為、，該正四棱臺的外接球的球心在棱臺外，且外接球的表面積為，則該正四棱臺的高為         ．【答案】【分析】求出外接球半徑，找到球心的位置，根據(jù)外接球的球心在棱臺外，求出高.【詳解】  設正四棱臺的外接球的半徑為，則，解得，連接相交于點，連接相交于點，連接，則球心在直線上，連接，因為正四棱臺的外接球的球心在棱臺外，則球心在的延長線上，由條件可得，，因為上?下底面邊長分別為，所以，由勾股定理得，，此時該正四棱臺的高為.故答案為：10．已知拋物線，焦點為，過定點且斜率大于0的直線交拋物線于兩點，，線段的中點為，則直線的斜率的最小值為         ．【答案】【分析】根據(jù)已知條件做出圖形，利用直線的斜截式方程和韋達定理，結(jié)合中點坐標公式和點在直線上，再利用斜率的坐標公式和基本不等式即可求解.【詳解】依題意，作出圖形如圖所示  設直線的方程為，，則由，消去，得，，，即于是有，，解得，，線段的中點為，設,,.由，可得拋物線的焦點為，,當且僅當，即時，取等號，故直線的斜率的最小值為.故答案為：.11．對，函數(shù)都滿足：①；②；③；則         ．【答案】【分析】對函數(shù)的變量進行轉(zhuǎn)化, 先得出的表達式, 再得出 的表達式，進而得出的表達式，即可求出的值.【詳解】由題意，，在中，，，，解: 由題意, 有, , ∵, ∴,∴有, ∵, ∴,∴當, 即 ,∵, ∴, ∴，.故答案為: . 三、解答題12．已知銳角中，角所對的邊分別為；且．(1)若角，求角；(2)若，求的最大值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用兩角差的正弦公式及同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及正弦定理，利用三角形的內(nèi)角和定理及降冪公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1），，即，，，，，又，，.（2）由（1）得，則，由正弦定理得，，，由正弦定理得則，，,,,為銳角三角形，且，，，，當時，取得最大值為，故的最大值為.13．如圖，三棱柱中，是的中點，.(1)證明：平面；(2)若，點到平面的距離為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)是的中點得到，利用線面垂直的判定得到平面，進而得到，再利用線面垂直的判定即可證明；（2）根據(jù)線面垂直的判定得到平面，進而得到面面垂直，利用面面垂直的性質(zhì)，過點作于點，進而得到平面，求出所需的各邊長，進而計算即可求解.【詳解】（1）因為是的中點，所以，因為，平面，所以平面，又平面，所以，因為是的中點，所以，又因為，平面，所以平面.（2）由（1）知，平面，所以平面，因為，所以，取的中點，連接，可得，所以平面即為平面，又平面，所以平面平面，過點作于點，則平面，所以，在三棱柱中，四邊形為平行四邊形，所以，因為，所以，所以，所以，又因為，所以，.因為平面，所以因為，所以.14．正數(shù)數(shù)列滿足，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)求證：．【答案】(1)；.(2)證明見解析. 【分析】（1）根據(jù)題意，由等差中項與等比中項的性質(zhì)列出方程，結(jié)合遞推關(guān)系可得數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，再由數(shù)列的通項公式可得數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)題意，由裂項相消法分，與分別證明，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，，，數(shù)列為正數(shù)數(shù)列，，當時，，，，且，則，，，，，，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，，，當時，滿足上式，，當時，，當時，滿足上式，.（2）證明：當時，；當時，；當時，.綜上所述，對一切正整數(shù)，有.15．在世界杯期間，學校組織了世界杯足球知識競賽，有單項選擇題和多項選擇題（都是四個選項）兩種：(1)甲在知識競賽中，如果不會單項選擇題那么就隨機猜測.已知甲會單項選擇題和甲不會單項選擇題隨機猜測的概率分別是.問甲在做某道單項選擇題時，在該道題做對的條件下，求他會這道單項選擇題的概率；(2)甲在做某多項選擇題時，完全不知道四個選項正誤的情況下，只好根據(jù)自己的經(jīng)驗隨機選擇，他選擇一個選項?兩個選項?二個選項的概率分別為.已知多項選擇題每道題四個選項中有兩個或三個選項正確，全部選對得5分，部分選對得2分，有選擇錯誤的得0分.某個多項選擇題有三個選項是正確的，記甲做這道多項選擇題所得的分數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.【答案】(1)(2)分布列見解析， 【分析】（1）記事件為“該單項選擇題回答正確”，事件為“甲會該單項選擇題”，根據(jù)獨立事件和互斥事件的概率公式，求得，結(jié)合條件概率的公式，即可求解.（2）由題意得到所有可能的取值為，求得相應的概率，得出隨機變量的分布列，利用期望的公式，即可求解.【詳解】（1）解：記事件為“該單項選擇題回答正確”，事件為“甲會該單項選擇題”，因為，所以，甲在做某道單項選擇題時，在該道題做對的條件下，會這道單項選擇題的概率是.（2）解：由題意知：所有可能的取值為，設事件表示甲選擇了個選項，事件表示選擇的選項是正確的，所以，，，所以隨機變量的分布列為：025所以期望為.16．已知橢圓的離心率為分別為橢圓的左右頂點，分別為橢圓的左右焦點，是橢圓的上頂點，且的外接圓半徑為．(1)求橢圓的方程；(2)設與軸不垂直的直線交橢圓于兩點（在軸的兩側(cè)），記直線的斜率分別為．（i）求的值；（ii）若，則求的面積的取值范圍．【答案】(1)(2)（i）；（ii） 【分析】（1）根據(jù)已知求出的關(guān)系，可推得，結(jié)合的外接圓半徑，利用正弦定理求得c，即可求得，即得答案；（2）設l的方程并聯(lián)立橢圓方程，可得根與系數(shù)關(guān)系，（i）化簡整理可得以及的值；（ii）利用（i）的結(jié)論推出，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式化簡可求得m的值，繼而求得的面積的表達式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求得答案.【詳解】（1）由于橢圓的離心率為，故，故，則，又，則，又的外接圓半徑為，則，解得，故，故橢圓方程為；（2）（i）設l與x軸的交點為D，由于直線交橢圓于兩點（在軸的兩側(cè)），故直線l的斜率不為0，  設l的方程為，聯(lián)立，則，需滿足，設，則，又，故，同理可得；（ii）因為，則，又直線l與x軸不垂直可得，則，即，所以，即，即，即，整理得，解得或，因為在軸的兩側(cè)，故，則，故，此時直線l為，過定點，與橢圓C交于不同兩點；此時，，令，由于l與軸不垂直，故，所以，故，設，時，，即在上單調(diào)遞增，即，故，即的面積的取值范圍為.【點睛】難點點睛：解答此類直線和橢圓位置關(guān)系中的范圍問題，解答的思路并不困難，一般是聯(lián)立方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，進而化簡，難點在于計算的過程比較復雜且計算量較大，因此對于含有字母的復雜計算要十分細心.17．已知函數(shù)，，其中，.（1）當時，求函數(shù)的最大值；（2）是否存在實數(shù)，使得只有唯一的，當時，恒成立，若存在，試求出，的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）1；（2）存在，，.【分析】（1）由，得到，再利用導數(shù)法求解；（2）將時，恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，求導，，分， ，，，四種情況討論求解.【詳解】（1）當時，，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時，,（2）因為時，恒成立，所以恒成立，，，1°.當時，，，在上單調(diào)遞增，要使恒成立，只須即可，得，此時不唯一（舍去）.2°.當時，令，解得，當時，，當時，，所以時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減若時，，，滿足，此時不唯一（舍去）.若時，，，由零點存在性定理得：，且，當時，與題意矛盾（舍去）.3°.當時，成立，則在上單調(diào)遞增，只須，此時不唯一.4°.當時，令，解得，當時，，當時，，所以時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減，要使恒成立，且唯一，只須，所以有，令，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則須使，解得，符合題意，綜上：，.【點睛】方法點睛：恒（能）成立問題的解法：若在區(qū)間D上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；. 

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