2022-2023學(xué)年廣東省珠海市金磚四校高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．在等差數(shù)列中，若，則（    ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)即可解出．【詳解】因為，解得：，所以．故選：D．2．、、、四人并排站成一排，如果與相鄰，那么不同的排法種數(shù)是（    ）A．24種 B．12種 C．48種 D．23種【答案】B【分析】利用捆綁法求解相鄰問題．【詳解】由題意，因為與相鄰，將與放在一起，共有種排法，將與看成一個整體，與、進行全排列，共有種排法，綜上共有種排法，故選：B．3．已知正項等比數(shù)列前項和為，且，，則等比數(shù)列的公比為（    ）A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】先根據(jù)與的關(guān)系得到，設(shè)出公比，列出方程組，求出公比.【詳解】因為，所以設(shè)公比為q，可得：，兩式相除得：故選：A4．函數(shù)的圖象在點處的切線與直線垂直，則（    ）A．8 B．-8 C．2 D．-2【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率，利用兩直線垂直斜率乘積為-1即可求解.【詳解】解：因為，則，故，所以切線斜率為，因為切線與直線垂直，所以，解得.故選：B.5．展開式中的系數(shù)為（    ）A．5 B．30 C．35 D．40【答案】B【分析】根據(jù)二項式的通項公式進行求解即可.【詳解】二項式的通項公式為：，所以展開式中的系數(shù)為：，故選：B6．在一次春節(jié)聚會上，小王和小張等4位同學(xué)準(zhǔn)備互相送祝福.他們每人各寫了一張祝福的賀卡，這四張賀卡收齊后讓每人從中隨機抽取一張作為收到的新春祝福，則（    ）A．小王和小張恰好互換了賀卡的概率為B．已知小王抽到的是小張寫的賀卡的條件下，小張抽到小王寫的賀卡的概率為C．恰有一個人抽到自己寫的賀卡的概率為D．每個人抽到的賀卡都不是自己寫的概率為【答案】B【分析】根據(jù)基本計數(shù)原理分別計算出所有的可能組合數(shù)為24種，而“小王和小張恰好互換了賀卡”的可能為2種，即可得出其概率為，即A錯誤；根據(jù)條件概率計算公式可得小王抽到的是小張寫的賀卡的條件下，小張抽到小王寫的賀卡的概率為，即B正確；計算可得“恰有一個人抽到自己寫的賀卡”的基本事件數(shù)為8種，即可得出其概率為，即C錯誤；易知“每個人抽到的賀卡都不是自己寫的”的基本事件數(shù)為9種，所以其概率為，可得D錯誤.【詳解】對于，四個人每人從中隨機抽取一張共有種抽法，其中小王和小張恰好互換了賀卡的抽法有種，故小王和小張恰好互換了賀卡的概率為，即A錯誤；對于B，設(shè)小王抽到的是小張寫的賀卡為事件，則，小張抽到小王寫的賀卡為事件，則已知小王抽到的是小張寫的賀卡的條件下，小張抽到小王寫的賀卡的概率為，B正確；對于，恰有一個人抽到自己寫的賀卡的抽法有種，故恰有一個人抽到自己寫的賀卡的概率為不正確；對于D，每個人抽到的賀卡都不是自己寫的抽法共有種，故每個人抽到的賀卡都不是自己寫的概率為錯誤.故選：B7．定義域為的函數(shù)滿足，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時，有成立，則關(guān)于x的不等式的解集為（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】引入，得是奇函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)得在上的單調(diào)性，從而得在上的單調(diào)性，不等式轉(zhuǎn)化為，由單調(diào)性可得解．【詳解】∵且，∴是奇函數(shù)，設(shè)，則時，，∴在是減函數(shù)．又是奇函數(shù)，∴也是奇函數(shù)，因此在是遞減，從而在上是減函數(shù)，不等式為，即，∴．故選：B．【點睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性解不等式，解題關(guān)鍵是引入新函數(shù)，然后由已知條件確定奇偶性，單調(diào)性．引入的新函數(shù)可根據(jù)要求的式的形式變換，可根據(jù)條件結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運算法則確定．8．已知函數(shù)，曲線上存在不同的兩點，使得曲線在這兩點處的切線都與直線平行，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】求導(dǎo)，問題轉(zhuǎn)化為有兩個不同的根，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性和最值可得結(jié)果.【詳解】，令，得，設(shè)，則，時，；時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)，由題意，有兩個不同的解，即與的圖像有兩個不同的交點，，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A.【點睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}，注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問題處理． 二、多選題9．?dāng)?shù)列的前項和為，已知，則（    ）A．是遞增數(shù)列 B．是等差數(shù)列C．當(dāng)時， D．當(dāng)或4時，取得最大值【答案】CD【分析】利用求出可判斷ABC，對配方后，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，不滿足上式，所以，對于A，由于，，所以不是遞增數(shù)列，所以A錯誤，對于B，由于，，，所以，所以不是等差數(shù)列，所以B錯誤，對于C，由，得，所以當(dāng)時，，所以C正確，對于D，，因為，所以當(dāng)或4時，取得最大值，所以D正確，故選：CD.10．在二項式的展開式中（    ）A．常數(shù)項是第4項 B．所有項的系數(shù)和為1C．第5項的二項式系數(shù)最大 D．第4項的系數(shù)最小【答案】BCD【分析】利用二項式展開式通項可判斷A選項；利用賦值法求所有項系數(shù)和可判斷B選項；利用二項式系數(shù)的性質(zhì)可判斷C選項；先求系數(shù)絕對值最大的項，然后利用符號即可判斷D選項.【詳解】二項式的展開式的通項為，對于A，令，得，故常數(shù)項是第5項，故A錯誤；對于B，令，則所有項的系數(shù)和是，故B正確；對于C，二項式展開式共9項，則由二項式系數(shù)的性質(zhì)知第5項的二項式系數(shù)最大，故C正確；對于D，設(shè)第項的系數(shù)的絕對值最大，則，解得，又，所以或，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以第4項的系數(shù)最小，故D正確.故選：BCD11．觀察圖象，下列結(jié)論錯誤的有（    ）．A．若圖中為圖象，則在處取極小值B．若圖中為圖象，則有兩個極值點C．若圖中為圖象，則在上單調(diào)遞增D．若圖中為圖象，則的解集為【答案】ABD【分析】選項A：若圖為 圖象，在左右單調(diào)性一致，不是極值；選項B：若圖為 圖象，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與0的大小判斷單調(diào)性，判斷極值. 選項C: 若圖為 圖象,根據(jù)圖像的正負(fù)判斷的正負(fù)，判斷單調(diào)性.選項D: 若圖為 圖象, 根據(jù)圖像的正負(fù)判斷的正負(fù),解出的解集.【詳解】選項A：若圖為圖象，則在兩邊單調(diào)性一致，不是極值，故A錯誤；選項B：若圖為圖象， 函數(shù)單調(diào)遞減；函數(shù)單調(diào)遞增；函數(shù)單調(diào)遞減；函數(shù)單調(diào)遞增；故函數(shù)有-2,0,2三個極值點，選項B錯誤；選項C: 若圖為圖象，則時，單調(diào)性相反，即 函數(shù)單調(diào)遞增；函數(shù)單調(diào)遞減；函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)性一致，函數(shù)單調(diào)遞增；故C正確；選項D: 若圖為 圖象，，圖像正負(fù)相反，時圖像正負(fù)一致， 的解集為，故D錯誤；故答案為：ABD.12．在2022年的期中考試中，數(shù)學(xué)出現(xiàn)了多項選擇題．多項選擇題第11題有四個選項A、B、C、D，其中正確選項的個數(shù)有可能是2個或3個或4個，這三種情況出現(xiàn)的概率均為，且在每種情況內(nèi)，每個選項是正確選項的概率相同．根據(jù)以上信息，下列說法正確的有（    ）A．某同學(xué)隨便選了三個選項，則他能完全答對這道題的概率高于B．B選項是正確選項的概率高于C．在C選項為正確選項的條件下，正確選項有3個的概率為D．在D選項為錯誤選項的條件下，正確選項有2個的概率【答案】BC【分析】先分別計算出任意一組2個選項、3個選項、4個選項為正確答案的概率，再依次判斷4個選項即可.【詳解】若正確選項的個數(shù)為2個，則有種組合，每種組合為正確答案的概率為，若正確選項的個數(shù)為3個，則有種組合，每種組合為正確答案的概率為，若正確選項的個數(shù)為4個，則有1種組合，這種組合為正確答案的概率為，對于A，隨便選了三個選項，能完全答對這道題的概率為，錯誤；對于B，B選項是正確選項的概率為，正確；對于C，C選項為正確選項為事件A，由B選項知，，正確選項有3個為事件B，則，正確；對于D，D選項為錯誤選項為事件C， ，正確選項有2個為事件D，則，錯誤.故選：BC. 三、填空題13．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n﹣2，求{an}的通項公式         ．【答案】【詳解】當(dāng)時，=1，當(dāng)時驗證當(dāng)時，不符合，故舍去，所以14．離散型隨機變量的概率分布規(guī)律為，，其中是常數(shù)，則      ．【答案】/0.875【分析】根據(jù)所給的概率分布規(guī)律，寫出6個變量對應(yīng)的概率，由分布列的性質(zhì)和為1求出實數(shù)，在求出滿足條件的概率即可.【詳解】因為，，所以，所以，所以，故答案為：.15．已知函數(shù)滿足，則曲線在點處的切線斜率為           ．【答案】3【分析】根據(jù)極限形式和求導(dǎo)公式得，進而得，計算得解.【詳解】由，可得．因為，所以，即，則，所以，．故答案為：3.16．在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角形中，第     行中從左至右第個數(shù)與第個數(shù)的比為. 【答案】【分析】假設(shè)第中從左至右第個數(shù)與第個數(shù)的比為，根據(jù)題意可得出關(guān)于的等式，進而可解得正整數(shù)的值.【詳解】假設(shè)第中從左至右第個數(shù)與第個數(shù)的比為，第行從左到右第個數(shù)為，第個數(shù)為，則，即，解得.故答案為：. 四、解答題17．已知公差不為零的等差數(shù)列中，，又成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè) ，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用已知條件和等比中項，求出數(shù)列的首項和公差，即可求出通項公式；（2）利用裂項相消法即可求出結(jié)果.【詳解】（1）解：公差不為零的等差數(shù)列中，，又成等比數(shù)列，所以，即，解得，則；（2）解：由（1）可知，，可得數(shù)列的前項和.18．（1）某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率為，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是多少？（2）有一批同一型號的產(chǎn)品，已知其中由一廠生產(chǎn)的占，二廠生產(chǎn)的占35%，三廠生產(chǎn)的占，又知這三個廠的產(chǎn)品次品率分別為，問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少？【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用條件概率的計算公式算出即可；（2）設(shè)事件為“任取一件為次品”，事件為“任取一件為廠的產(chǎn)品”，，任何利用算出即可.【詳解】設(shè)表示“某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，設(shè)表示“隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，由題意得所以已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是設(shè)事件為“任取一件為次品”，事件為“任取一件為廠的產(chǎn)品”，，兩兩互斥，且，由全概率公式得因為故所以從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是19．已知函數(shù)（a，），其圖象在點處的切線方程為．(1)求a，b的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．【答案】(1)，；(2)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是，極大值是，極小值是；(3)最大值是，最小值是． 【分析】（1）由出導(dǎo)函數(shù)，計算和，由切線方程列方程組解得；（2）由得增區(qū)間，由得減區(qū)間，從而可得極值；（3）結(jié)合（2）可得函數(shù)在上的單調(diào)性，再計算出區(qū)間端點處的函數(shù)值，，與（2）中極值比較可得最值．【詳解】（1），，，又圖象在點處的切線方程為，所以，解得；（2）由（1）得，，或時，，時，，所以的增區(qū)間是和，減區(qū)間是，極大值是，極小值是；（3）由（2）知在和上遞增，在上單調(diào)遞減，又，，所以在上的最大值是，最小值是．20．記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項公式．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項的遞推關(guān)系,進而證明數(shù)列是等差數(shù)列;（2）由（1）可得的表達(dá)式,由此得到的表達(dá)式,然后利用和與項的關(guān)系求得.【詳解】（1）[方法一]：由已知得,且，,取,由得,由于為數(shù)列的前n項積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數(shù)列是以為首項，以為公差等差數(shù)列;[方法二]【最優(yōu)解】： 由已知條件知    ①于是．       ②由①②得．     ③又，       ④由③④得．令，由，得．所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．[方法三]：  由，得，且，，．又因為，所以，所以．在中，當(dāng)時，．故數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．[方法四]：數(shù)學(xué)歸納法  由已知，得，，，，猜想數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，且．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．當(dāng)時顯然成立．假設(shè)當(dāng)時成立，即．那么當(dāng)時，．綜上，猜想對任意的都成立．即數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．(2)由（1）可得，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，,,當(dāng)n=1時，,當(dāng)n≥2時,,顯然對于n=1不成立,∴.【整體點評】（1）方法一從得，然后利用的定義，得到數(shù)列的遞推關(guān)系，進而替換相除消項得到相鄰兩項的關(guān)系，從而證得結(jié)論；方法二先從的定義，替換相除得到，再結(jié)合得到，從而證得結(jié)論，為最優(yōu)解；方法三由，得，由的定義得，進而作差證得結(jié)論；方法四利用歸納猜想得到數(shù)列，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證得結(jié)論．（2）由（1）的結(jié)論得到，求得的表達(dá)式,然后利用和與項的關(guān)系求得的通項公式； 21．珠海某中學(xué)總務(wù)處的老師要購買學(xué)校教學(xué)用的粉筆，并且有非常明確的判斷一盒粉筆是“優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品”和“非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品”的方法．某品牌的粉筆整箱出售，每箱共有20盒，根據(jù)以往的經(jīng)驗，其中會有某些盒的粉筆為非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品，其余的都為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品．并且每箱含有0，1，2盒非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品粉筆的概率為0.7，0.2和0.1．為了購買該品牌的粉筆，校總務(wù)老師設(shè)計了一種購買的方案：欲買一箱粉筆，隨機查看該箱的4盒粉筆，如果沒有非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品，則購買，否則不購買．設(shè)“買下所查看的一箱粉筆”為事件A，“箱中有i件非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品”為事件（i＝0，1，2）．(1)求，，；(2)隨機查看該品牌粉筆某一箱中的四盒，設(shè)X為非優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的盒數(shù)，求X的分布列．【答案】(1)，，(2)答案見解析 【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率計算公式即可由組合數(shù)計算求解，（2）根據(jù)全概率公式求解概率，即可求解.【詳解】（1）由已知，，（2）X可能的取值為0，1，2，所以，，，所以隨機變量X的分布列為：X012P22．已知函數(shù)(1)若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍;(2)若函數(shù) 有兩個極值點為，且， 若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用參變分離，然后構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即得；或分和討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即得；（2）根據(jù)條件表示出，然后構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即得.【詳解】（1）法一：由題意得恒成立，設(shè)，則，設(shè)函數(shù)，則，所以函數(shù) 單調(diào)遞增，，即 ，函數(shù)單調(diào)遞增，， 故；法二：當(dāng)時，，設(shè)，則，，，為增函數(shù)，，在區(qū)間上遞增，， 故滿足題意；當(dāng) 時，不滿足題意；綜上，；（2）因為，方程有兩個不相等的實根，且，，又，所以，，令，則，即為遞減函數(shù)，， 所以.【點睛】方法點睛：恒（能）成立問題的解法：若在區(qū)間上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；. 

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