2022-2023學(xué)年廣東省廣州奧林匹克中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

這是一份2022-2023學(xué)年廣東省廣州奧林匹克中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版），共17頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2022-2023學(xué)年廣東省廣州奧林匹克中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，則直線的傾斜角為（  ?。?/span>A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)直線的傾斜角為，求出直線的斜率即得解.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由題得直線的斜率為，因?yàn)?/span>，所以.故選：D.2．若直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則直線與平面的位置關(guān)系是（    ）A．垂直 B．平行C．相交但不垂直 D．平行或線在面內(nèi)【答案】A【分析】根據(jù)得到與共線，即可得到直線與平面垂直.【詳解】因?yàn)?/span>，所以與共線，直線與平面垂直.故選：A.3．疫情防控期間，某單位把120個(gè)口罩全部分給5個(gè)人，使每人所得口罩個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，且較大的三份之和是較小的兩份之和的3倍，則最小一份的口罩個(gè)數(shù)為（    ）A．6 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及等差數(shù)列通項(xiàng)公式聯(lián)立方程組解出即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由條件可知，，即，即， 解得，所以最小一份的口罩個(gè)數(shù)為12個(gè)，故選：C．4．雙曲線的離心率為，則的一條漸近線方程為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)離心率計(jì)算公式，即可容易求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>的離心率為，所以，所以漸近線方程為.故選：B.5．在各棱長(zhǎng)均相等的直三棱柱中，點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在AC上且，則異面直線與NB所成角的正切值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量的方法求異面直線所成角即可.【詳解】設(shè)棱長(zhǎng)為3，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，．設(shè)異面直線與BN所成角為，則，∴，∴異面直線與BN所成角的正切值為.故選：B．6．圓截直線：所得的弦長(zhǎng)最短為（    ）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】先判斷得點(diǎn)在圓C內(nèi)部，再結(jié)合圖像與弦長(zhǎng)公式得到當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)取得最小值，由此得解.【詳解】因?yàn)橹本€：恒過(guò)定點(diǎn)，又，所以點(diǎn)在圓C：內(nèi)部，因?yàn)閳AC：的圓心為，半徑，因?yàn)橄议L(zhǎng)為，當(dāng)最大時(shí)，弦長(zhǎng)最短，所以當(dāng)時(shí)，最大，則弦長(zhǎng)最短，又，所以.故選：D. .7．雙曲線方程，，為其左、右焦點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)的直線與雙曲線右支交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，以為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由幾何關(guān)系及雙曲線的定義列方程即可求得離心率.【詳解】如圖：由題可知，由，可設(shè)，則， 設(shè)，則因?yàn)?/span>A、B都在雙曲線上，所以即解得，又，所以，則離心率．故選：C．8．?dāng)?shù)列滿足：，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由條件求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再求數(shù)列的前項(xiàng)和為及其范圍，再由條件恒成立求的取值范圍.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以數(shù)列為首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以，又，所以，因?yàn)?/span>恒成立，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：C. 二、多選題9．已知空間向量，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．C． D．在上的投影數(shù)量為【答案】BD【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算，驗(yàn)證向量的平行垂直，向量的模，向量的投影即可解決.【詳解】由題得，而，故A不正確；因?yàn)?/span>，所以，故B正確；因?yàn)?/span>，故C錯(cuò)；因?yàn)?/span>在上的投影數(shù)量為，故D正確；故選：BD.10．已知圓上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則直線的方程可以是（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】將圓上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離，根據(jù)圓心到直線距離公式計(jì)算即可.【詳解】由題知，圓，圓心為，半徑為，因?yàn)閳A上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，所以圓心到直線的距離，對(duì)于A，圓心為到直線的距離，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，圓心為到直線的距離，故B正確；對(duì)于C，圓心為到直線的距離，故C正確；對(duì)于D，圓心為到直線的距離，故D正確；故選：BCD11．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F，G分別為AD，AB，的中點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是（    ）A．三棱錐的體積為1 B．平面EFGC．平面EFG D．平面EGF與平面ABCD夾角的余弦值為【答案】AB【分析】根據(jù)錐體體積公式求得三棱錐的體積.建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法判斷BCD選項(xiàng)的正確性.【詳解】A選項(xiàng)，，所以，A選項(xiàng)正確.建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，,，所以，由于平面，所以平面，B選項(xiàng)正確.平面的一個(gè)法向量為，，所以與平面不平行，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.平面的法向量為，設(shè)平面于平面的夾角為，則，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB12．“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，此定理講的是關(guān)于整除的問(wèn)題.現(xiàn)將1到1000這1000個(gè)數(shù)中能被2除余1且被7除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，則（    ）A． B．C． D．共有72項(xiàng)【答案】BCD【分析】先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得的值判斷選項(xiàng)A；求得的值判斷選項(xiàng)B；求得的值判斷選項(xiàng)C；求得的項(xiàng)數(shù)判斷選項(xiàng)D.【詳解】將1到1000這1000個(gè)數(shù)中能被2除余1且被7除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成首項(xiàng)為1末項(xiàng)為995公差為14的等差數(shù)列則數(shù)列的通項(xiàng)公式為則數(shù)列共有72項(xiàng).故選項(xiàng)D判斷正確；.故選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤；.故選項(xiàng)B判斷正確；.故選項(xiàng)C判斷正確.故選：BCD 三、填空題13．若直線：與：平行，則的值為_____________．【答案】1【分析】根據(jù)兩直線平行的條件列出方程，解之并進(jìn)行檢驗(yàn)，排除重合的情況即可求解.【詳解】由已知得，，即，解得或．當(dāng)時(shí)，，，顯然兩直線平行；當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)后，顯然兩直線重合，舍去．所以．故答案為：.14．經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)到平面的距離為______.【答案】##【分析】使用空間向量法求點(diǎn)到平面的距離,點(diǎn)到平面的距離可視為在上的投影大小.【詳解】設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為,則,點(diǎn)到平面的距離可視為在上的投影大小,故.故答案為：15．已知直線，若是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線和它到軸的距離之和的最小值為______【答案】【分析】首先利用拋物線的定義，將拋物線上的點(diǎn)到y軸的距離轉(zhuǎn)化為其到拋物線的焦點(diǎn)的距離減1，從而將其轉(zhuǎn)化為求拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離減1，從而求得結(jié)果.【詳解】，故答案是：.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)拋物線上的點(diǎn)到兩條定直線的距離之和的最小值問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的定義，利用拋物線的定義將距離轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到定直線的距離之和的最小值問(wèn)題，屬于簡(jiǎn)單題目.16．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有一道題: “今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩二，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何?”根據(jù)這一數(shù)學(xué)思想，所有被 3除余 2的正整數(shù)按從小到大的順序排列組成數(shù)列，所有被 5 除余 2的正整數(shù)按從小到大的順序排列組成數(shù)列，把數(shù)列與的公共項(xiàng)按從小到大的順序排列組成數(shù)列， 則數(shù)列的第10項(xiàng)是數(shù)列的第______項(xiàng).【答案】28【分析】根據(jù)給定的條件，求出數(shù)列，的通項(xiàng)公式，再推導(dǎo)出數(shù)列的通項(xiàng)即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為，令，即有，則，因此，即，有，于是得數(shù)列的通項(xiàng)為，，由得：，所以數(shù)列的第10項(xiàng)是數(shù)列的第28項(xiàng).故答案為：28 四、解答題17．在等差數(shù)列中，．(1)求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組求解即可；（2）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，由等比數(shù)列公式求出可得，再由分組求和得解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題知，則，解得．（2）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則，，則．18．已知點(diǎn)，圓.(1)判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切，求直線的方程.【答案】(1)點(diǎn)在圓外，理由見解析；(2)或. 【分析】（1）求出與半徑比較，即可得出；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，滿足條件；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，根據(jù)圓心到直線的距離列出方程，求解即可得到的值，進(jìn)而解出切線方程.【詳解】（1）點(diǎn)在圓外.由已知得，圓心，半徑.又，所以，點(diǎn)在圓外.（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn).①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，圓心到直線的距離為2等于半徑，所以直線是圓的切線；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，圓心到直線的距離，解得，所以直線的方程為，即.綜上，直線方程為或.19．如圖，在四棱錐中，⊥平面，正方形的邊長(zhǎng)為，，設(shè)為側(cè)棱的中點(diǎn).(1)求四棱錐的體積；(2)求直線與平面所成角的大小.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用錐體的體積公式即得；（2）利用坐標(biāo)法，根據(jù)線面角的向量求法即得.【詳解】（1）在四棱錐中，⊥平面，正方形的邊長(zhǎng)為2，，為側(cè)棱的中，所以，點(diǎn)到平面為高，又因?yàn)?/span>，所以，四棱錐的體積；（2）如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，因?yàn)橹本€與平面所成角為，，，因此，直線與平面所成角為.20．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)作差可得，再求出，即可得到，從而得到是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即可得到其通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法求和即可；【詳解】（1）解：因?yàn)?/span>①，所以②，②①得即，所以，又當(dāng)時(shí)，，又，所以，所以，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以．（2）解：由（1）可得，所以，則兩式相減得，所以，21．如圖，已知四棱錐的底面為直角梯形，平面平面，且的中點(diǎn)分別是．請(qǐng)用空間向量知識(shí)解答下列問(wèn)題：(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2). 【分析】（1）先證明兩兩相互垂直，再建立空間直角坐標(biāo)系，向量法證明，再由線面垂直的判定定理得證；（2）利用向量法求出二面角的余弦值即可.【詳解】（1）連接，由，知四邊形是平行四邊形，又，所以，因?yàn)?/span>，是的中點(diǎn)，所以，又平面平面，是兩平面交線，平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以，即兩兩相互垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，則．，，，又，平面，平面．（2）由（1）知，又平面，平面，所以，由，平面，所以平面，故平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?/span>．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即取，解得故平面的法向量為，設(shè)二面角的大小為，由圖可知為銳角，．故二面角的余弦值為．22．已知雙曲線：的焦距為4，且過(guò)點(diǎn)(1)求雙曲線的方程；(2)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)分別作斜率為的兩直線與，直線交雙曲線于兩點(diǎn)，直線交雙曲線于兩點(diǎn)，設(shè)分別為與的中點(diǎn)，若，試求與的面積之比.【答案】(1)(2)3 【分析】（1）由題意得，再將代入雙曲線方程，結(jié)合可求出，從而可求出雙曲線方程，（2）設(shè)直線方程為，，將直線方入雙曲線方程化簡(jiǎn)后利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可表示點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再表示出直線的方程，可求得直線過(guò)定點(diǎn)，從而可求得答案.【詳解】（1）由題意得，得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，所以雙曲線方程為，（2），設(shè)直線方程為，，由，得則，所以，所以的中點(diǎn)，因?yàn)?/span>，所以用代換，得，當(dāng)，即時(shí)，直線的方程為，過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，直線的方程為，令，得，所以直線也過(guò)定點(diǎn)，所以