2022-2023學(xué)年廣東省肇慶市封開縣廣信中學(xué)等幾校高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．（    ）A．0 B．6 C．12 D．18【答案】C【分析】利用排列數(shù)公式和組合數(shù)公式直接計算即可【詳解】因為，，所以，故選：C.2．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由結(jié)合定義域即可解出．【詳解】因為，所以，由解得：，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．故選：B．3．將3個不同的小球放入4個盒子中，不同放法種數(shù)為（    ）A．81 B．64 C．14 D．12【答案】B【分析】每一個小球有4種不同的放法，再根據(jù)分步計數(shù)原理可得答案.【詳解】解：對于第一個小球有4種不同的放法，第二個小球也有4種不同的放法，第三個小球也有4種不同的放法，即每個小球都有4種不同的放法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知共有種放法，故選：B.4．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，則的解析式可能是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，求出每個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而判斷答案.【詳解】對A，，為奇函數(shù)；對B，，為奇函數(shù)；對C，，為偶函數(shù)；對D，，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).故選：C.5．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為A．0 B． C． D．【答案】B【解析】求出導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性判定最值.【詳解】解：由題意可得當(dāng)時，；當(dāng)時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以故選：B.【點睛】求函數(shù)區(qū)間上的最值的步驟：（1）求導(dǎo)數(shù)，不要忘記函數(shù)的定義域；（2）求方程的根；（3）檢查在方程的根的左右兩側(cè)的符號，確定函數(shù)的極值.（4）求函數(shù)區(qū)間端點函數(shù)值，將區(qū)間端點函數(shù)值與極值比較，取最大的為最大值，最小的為最小值.6．一名同學(xué)有2本不同的數(shù)學(xué)書，3本不同的物理書，現(xiàn)要將這些書放在一個單層的書架上．如果要將全部的書放在書架上，且不使同類的書分開，則不同放法的種數(shù)為（    ）A．24 B．12 C．120 D．60【答案】A【分析】根據(jù)題意，分3步分析：先將2本不同的數(shù)學(xué)書看成一個整體，再將3本不同的物理書看成一個整體，最后將兩個整體全排列，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，要求不使同類的書分開，即同類的書相鄰，先將2本不同的數(shù)學(xué)書看成一個整體，再將3本不同的物理書看成一個整體，最后將兩個整體全排列，有種不同放法，故選：A．7．函數(shù)的圖象大致為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可求解.【詳解】由已知得函數(shù)的定義域為,因為，所以為奇函數(shù)，則排除、,當(dāng)時，；則在上單調(diào)遞增，則排除,故選:.8．已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，即可根據(jù)單調(diào)性的定義解出．【詳解】因為，所以，即函數(shù)單調(diào)遞增，由可得，，解得．故選：D． 二、多選題9．已知，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．C． D． 【答案】ABD【分析】由通項公式可判斷B，由特值法可判斷ACD【詳解】令得，，故A正確；因為的通項為，所以，故B正確；令，則，又，所以，故C錯誤；令，則，故D正確；故選：ABD10．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（    ）A．f(x)在上單調(diào)遞增B．f(x)有4個極值點C．f(x)在上單調(diào)遞減D．【答案】AC【分析】根據(jù)給定導(dǎo)函數(shù)圖象，確定導(dǎo)數(shù)值大于0、小于0的區(qū)間即可分析判斷作答.【詳解】觀察圖象知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則在上單調(diào)遞增，A正確；在上單調(diào)遞減，而，在上單調(diào)遞減，C正確；函數(shù)在處都取得極小值，在0處取得極大值，有3個極值點，B不正確；因當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，即在上單調(diào)遞減，而，則有，D不正確.故選：AC11．有3位男生和3位女生，要在某風(fēng)景點前站成一排照合影，則下列說法正確的是（    ）A．共有種不同的排法 B．男生不在兩端共有種排法C．男生甲、乙相鄰共有種排法 D．三位女生不相鄰共有種排法【答案】AC【分析】根據(jù)給定條件，利用無限制條件的排列判斷A；利用有位置條件的排列判斷B；利用相鄰、不相鄰問題的排列判斷C，D作答.【詳解】有3位男生和3位女生，要在某風(fēng)景點前站成一排照合影，共有種不同的排法，A正確；男生不在兩端，從3位女生中取2人站兩端，再排余下4人，共有種排法，B不正確；男生甲、乙相鄰，視甲乙為1人與其余4人全排列，再排甲乙，共有種排法，C正確；三位女生不相鄰，先排3位男生，再在2個間隙及兩端4個位置中插入3位女生，共有種排法，D不正確.故選：AC12．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項式系數(shù)表，數(shù)學(xué)愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究．則下列結(jié)論正確的是（    ）．A．B．第2022行的第1011個數(shù)最大C．第6行、第7行、第8行的第7個數(shù)之和為第9行的第8個數(shù)D．第34行中從左到右第14個數(shù)與第15個數(shù)之比為2∶3【答案】ACD【分析】按圖索驥，再加一點計算就可以了.【詳解】，，故A正確；由圖可知：第n行有n個數(shù)字，如果n是奇數(shù)，則第（最中間的）個數(shù)字最大；如果n是偶數(shù)，則第和第個數(shù)字最大，并且這兩個數(shù)字一樣大，故錯誤；第6行，第7行，第8行的第7個數(shù)字分別為：1，7，28，其和為36；第9行第8個數(shù)字就是36，故C正確；依題意：第34行第14個數(shù)字是，第34行第15個數(shù)字是，所以，故D正確；故答案為：ACD. 三、填空題13．在的展開式中，的系數(shù)為         . （用數(shù)字作答）【答案】【分析】由二項式展開式的通項即可求得答案.【詳解】因為展開式的通項為，當(dāng)時，，所以的系數(shù)為.故答案為：-10.14．已知5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出的題不再放回，在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為        .【答案】.【分析】設(shè)事件：第1次抽到代數(shù)題，事件：第2次抽到幾何題，求得,結(jié)合條件概率的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，從5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出不再放回，設(shè)事件：第1次抽到代數(shù)題，事件：第2次抽到幾何題，則，，所以在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為:.故答案為：.15．已知，則        ．【答案】-960【分析】將改為，利用二項式展開式的通項公式求出通項，令的指數(shù)為7即可.【詳解】，其展開式的通項為，令得故答案為：-96016．如圖所示，將一環(huán)形花壇分成A，B，C，D四塊，現(xiàn)有5種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為      .【答案】260【分析】首先分類，分相同和不同兩類，再按照分計數(shù)原理，計算結(jié)果.【詳解】第一種情況，當(dāng)相同時，有種方法，第二種情況，當(dāng)不同時，有種方法，綜上可知，共有種方法.故答案為： 四、解答題17．已知曲線.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求滿足斜率為1的曲線的切線方程.【答案】(1)(2)和. 【分析】（1）對曲線求導(dǎo),求出點處切線的斜率,再求出切線方程;（2）設(shè)切點為,由曲線的切線斜率為1,求出切點坐標(biāo),再求出切線方程.【詳解】（1）由,得，∴在點處切線的斜率.∴曲線在點處的切線方程為，即.（2）設(shè)切點為，則切線的斜率為.曲線的切線斜率為1,,解得，切點為，.切線方程為和，即和.18．已知在二項式的展開式中，含的項為.(1)求實數(shù)a的值；(2)求展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項.【答案】(1)(2)，，1 【分析】（1）求出二項式展開式的通項公式，再利用指定項列式計算作答.（2）利用（1）的結(jié)論及通項公式，分析的指數(shù)即可作答.【詳解】（1）的展開式的通項公式為：，當(dāng)時，展開式中含的項為，即，解得，所以實數(shù)a的值為1.（2）由（1）知，的展開式的通項公式為：，依題意，為整數(shù)，因此，3，5，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項為，，1.19．已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時，若函數(shù)在上的最小值為，求實數(shù)a的值．【答案】(1)的極小值為，極大值為11；(2). 【分析】（1）把代入，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值作答.（3）利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在的單調(diào)性，求出最小值即可求解作答.【詳解】（1）當(dāng)時，函數(shù)定義域為R，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在，上遞減，在上遞增，因此當(dāng)時，取得極小值，當(dāng)時，取得極大值，所以的極小值為，極大值為11．（2）函數(shù)，，求導(dǎo)得，因為，則由得，顯然，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，則函數(shù)在上的最小值為，解得，所以實數(shù)a的值為1.20．已知函數(shù)(1)若函數(shù)存在兩個極值點，求的取值范圍；(2)若在恒成立，求的最小值.【答案】(1)或(2) 【分析】（1）函數(shù)存在兩個極值點，等價于有兩個不同的解，利用判別式大于零求解即可；（2）在恒成立，即，轉(zhuǎn)化為求的最大值，利用導(dǎo)數(shù)即可得答案.【詳解】（1）因為，所以因為函數(shù)存在兩個極值點，所以有兩個不同的解，所以，解得或（2）在恒成立，即恒成立，令，則 因為，設(shè)，在上都遞減，所以在上遞減，所以，當(dāng)時，，此時，在上遞增，當(dāng)時，，此時，在上遞減，所以，所以， 即21．已知某電器市場由甲、乙、丙三家企業(yè)占有，其中甲廠產(chǎn)品的市場占有率為40％，乙廠產(chǎn)品的市場占有率為36％，丙廠產(chǎn)品的市場占有率為24％，甲、乙、丙三廠產(chǎn)品的合格率分別為，，．(1)現(xiàn)從三家企業(yè)的產(chǎn)品中各取一件抽檢，求這三件產(chǎn)品中恰有兩件合格的概率；(2)現(xiàn)從市場中隨機購買一臺該電器，則買到的是合格品的概率為多少？【答案】(1)(2) 【分析】（1）由相互獨立事件的概率可得；（2）根據(jù)各產(chǎn)品的市場占有率和合格率，由條件概率公式計算可得.【詳解】（1）記隨機抽取甲乙丙三家企業(yè)的一件產(chǎn)品，產(chǎn)品合格分別為事件，，，則三個事件相互獨立，恰有兩件產(chǎn)品合格為事件D，則．故從三家企業(yè)的產(chǎn)品中各取一件抽檢，則這三件產(chǎn)品中恰有兩件合格的概率是．（2）記事件B為購買的電器合格，記隨機買一件產(chǎn)品，買到的產(chǎn)品為甲乙丙三個品牌分別為事件，，，，，，，，，．故在市場中隨機購買一臺電器，買到的是合格品的概率為．22．已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.【答案】（1）見解析；（2）.【詳解】試題分析：（1）討論單調(diào)性，首先進(jìn)行求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)式子特點后要及時進(jìn)行因式分解，再對按，進(jìn)行討論，寫出單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)第（1）問，若，至多有一個零點.若，當(dāng)時，取得最小值，求出最小值，根據(jù)，，進(jìn)行討論，可知當(dāng)時有2個零點.易知在有一個零點；設(shè)正整數(shù)滿足，則.由于，因此在有一個零點.從而可得的取值范圍為.試題解析：（1）的定義域為，，（ⅰ）若，則，所以在單調(diào)遞減.（ⅱ）若，則由得.當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一個零點.（ⅱ）若，由（1）知，當(dāng)時，取得最小值，最小值為.①當(dāng)時，由于，故只有一個零點；②當(dāng)時，由于，即，故沒有零點；③當(dāng)時，，即.又，故在有一個零點.設(shè)正整數(shù)滿足，則.由于，因此在有一個零點.綜上，的取值范圍為.點睛:研究函數(shù)零點問題常常與研究對應(yīng)方程的實根問題相互轉(zhuǎn)化.已知函數(shù)有2個零點求參數(shù)a的取值范圍，第一種方法是分離參數(shù)，構(gòu)造不含參數(shù)的函數(shù)，研究其單調(diào)性、極值、最值，判斷與其交點的個數(shù)，從而求出a的取值范圍；第二種方法是直接對含參函數(shù)進(jìn)行研究，研究其單調(diào)性、極值、最值，注意點是若有2個零點，且函數(shù)先減后增，則只需其最小值小于0，且后面還需驗證最小值兩邊存在大于0的點. 

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