2022-2023學(xué)年江蘇省宿遷市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．設(shè)，化簡(jiǎn)（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理化簡(jiǎn)即可．【詳解】，故選：C．2．已知平面α的一個(gè)法向量為，則AB所在直線l與平面α的位置關(guān)系為（　?。?/span>.A． B．C． D．l與α相交但不垂直【答案】A【分析】由向量與平面法向量的關(guān)系判斷直線與平面的位置關(guān)系.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，即，所以.故選：A3．已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)投影向量的計(jì)算公式求解即可.【詳解】向量在向量上的投影向量為.故選:C.4．由0，1，2，3，5組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)共有（    ）．A．42個(gè) B．48個(gè) C．54個(gè) D．120個(gè)【答案】A【分析】分為五位數(shù)的個(gè)位數(shù)是,五位數(shù)的個(gè)位數(shù)是兩類(lèi)，依據(jù)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】若五位數(shù)的個(gè)位數(shù)是，則有種情形；若五位數(shù)的個(gè)位數(shù)是，由于不排首位，因此只有有種情形，中間的三個(gè)位置有種情形，依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，可得種情形．由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可得所有無(wú)重復(fù)五位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為.故選：A．5．已知空間四面體中，對(duì)空間內(nèi)任一點(diǎn)，滿(mǎn)足下列條件中能確定點(diǎn)共面的是（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空間中四點(diǎn)共面定理求解即可.【詳解】根據(jù)空間中四點(diǎn)共面可知，解得.故選：D6．如圖，提供4種不同的顏色給圖中，，，四塊區(qū)域涂色，若相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（     ）種．A．12 B．36 C．48 D．72【答案】C【分析】根據(jù)使用顏色的數(shù)量進(jìn)行分類(lèi)計(jì)算即可.【詳解】如果只用了3種顏色，則ABD三塊區(qū)域顏色必兩兩不同，C區(qū)域必與A相同，則涂法有種；如果用了全部4種顏色，則涂法有種；所以總共有種涂法.故選：C.7．當(dāng)時(shí)，將三項(xiàng)式展開(kāi)，可得到如圖所示的三項(xiàng)展開(kāi)式和“廣義楊輝三角形”：……第0行第1行第2行第3行第4行廣義楊輝三角形11   1   11   2   3   2   11   3   6   7   6   3   11   4   10   16   19   16   10   4   1若在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為75，則實(shí)數(shù)a的值為（    ）．A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)廣義楊輝三角形的信息找出第五行的規(guī)律，然后根據(jù)題意求得.【詳解】由題意可得廣義楊輝三角形第五行的前兩個(gè)數(shù)字為1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1，所以在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為解得.故答案為：C.8．如圖，在四棱錐中，平面，，，，已知Q是棱上靠近點(diǎn)P的四等分點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值為（    ）．  A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)、的坐標(biāo)，求出平面的法向量，最后求出與平面所成角的正弦值.【詳解】平面，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，..易知平面的法向量.設(shè)與平面所成角為，則.故選：C.   二、多選題9．若向量與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)x的值可能為（    ）.A．4 B．5 C．6 D．7【答案】CD【分析】依題意可得且與不同向，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到不等式，求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>與的夾角為銳角，所以，解得，當(dāng)與共線時(shí)，，解得，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是，經(jīng)檢驗(yàn)，選項(xiàng)C、D符合題意.故選：CD10．甲、乙、丙、丁、戊5人參加完某項(xiàng)活動(dòng)后合影留念，則（    ）．A．甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120種排法B．5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左邊，共有24種排法C．5人站成一排，甲不在兩端，共有72種排法D．5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78種排法【答案】BCD【分析】對(duì)A：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：先排前排，再排后排；對(duì)B：甲、乙看作一個(gè)元素排列即可；對(duì)C：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：先排兩端，再排中間；對(duì)D：利用間接法：先將5人排隊(duì)，再排除不符合題意的情況.【詳解】對(duì)A：甲、乙、丙站前排，有種排法，丁、戌站后排，有種排法，共有種排法，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：甲、乙看作一個(gè)元素，則5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左邊，共有種排法，故B正確；對(duì)C：5人站成一排，甲不在兩端，共有種排法，故C正確；對(duì)D：5人站成一排，有種排法，則甲在最左端，乙不在最右端，共有種排法；甲不在最左端，乙在最右端，共有種排法；甲在最左端，乙在最右端，共有種排法；則甲不在最左端，乙不在最右端，共有種排法，故D正確.故選：BCD.11．設(shè)，則下列結(jié)論中正確的是（    ）．A．B．C．，，，，中最大的是D．當(dāng)時(shí)，除以16的余數(shù)是1【答案】ABD【分析】由二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)展開(kāi)式可解，觀察式子特點(diǎn)可進(jìn)行適合的賦值簡(jiǎn)化計(jì)算.【詳解】① ；對(duì)A，對(duì)題給式子進(jìn)行賦值，令，則，故A正確；對(duì)B，由①式知，故B正確；對(duì)C，，當(dāng)時(shí)，；，,最大的為，故C不正確；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，除以16的余數(shù)是1，故D正確.故選：ABD12．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P為側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，則（    ）．A．當(dāng)時(shí)，異面直線與所成角的正切值為B．當(dāng)時(shí)，四面體的體積為定值C．當(dāng)點(diǎn)P到平面的距離等于到直線的距離時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為拋物線的一部分D．當(dāng)時(shí)，四面體的外接球的表面積為【答案】BC【分析】A選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，得到異面直線與所成角的余弦值，進(jìn)而得到正切值；B選項(xiàng)，證明線面平行，得到四面體的體積為定值；C選項(xiàng)，作出輔助線，得到的長(zhǎng)即為點(diǎn)P到平面的距離，即為點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，，建立方程，得到答案；D選項(xiàng)，作出輔助線，找到球心位置，求出外接球半徑，進(jìn)而求出表面積.【詳解】A選項(xiàng)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，則異面直線與所成角的余弦值為，則異面直線與所成角的正弦值為，正切值為2，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，又，平面，平面，所以平面，故點(diǎn)到平面的距離為定值，故四面體的體積為定值，B正確；C選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，因?yàn)?/span>⊥平面，平面，所以⊥，因?yàn)?/span>平面，，則⊥平面，的長(zhǎng)即為點(diǎn)P到平面的距離，連接，則⊥，故即為點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，，則，故，兩邊平方后得到，為拋物線的一部分，故當(dāng)點(diǎn)P到平面的距離等于到直線的距離時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為拋物線的一部分，C正確；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，為的中點(diǎn)，取中點(diǎn)，則四面體的外接球的球心在平面的投影為，找到球心，連接，取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，設(shè)，則，，，，由勾股定理得，，故，解得，故外接球半徑為，故表面積為，D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問(wèn)題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對(duì)于外切的問(wèn)題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問(wèn)題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑 三、填空題13．在的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為          ．【答案】4【分析】利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，并合并同類(lèi)項(xiàng)即可.【詳解】由二項(xiàng)式定理展開(kāi)式得，所以展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為4.故答案為：4.14．若，則與向量同方向的單位向量的坐標(biāo)為            .【答案】【分析】由空間向量的模的計(jì)算求得向量的模，再由單位向量的定義求得答案.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，所以與向量同方向的單位向量的坐標(biāo)為，故答案為：.15．將3位教師分到6個(gè)班級(jí)任教，每位教師教2個(gè)班，共有          種不同的分法．【答案】90【分析】先將6個(gè)班分成3組，然后分配給3個(gè)教師，從而可求得結(jié)果.【詳解】由題意可得先將6個(gè)班分成3組，然后分配給3個(gè)教師，所以共有種不同的分法，故答案為：90 四、雙空題16．在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)且法向量的平面方程為，經(jīng)過(guò)且方向向量的直線方程為．閱讀上面材料，并解決下列問(wèn)題：給出平面的方程，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線l的方程為，則直線l的一個(gè)方向向量是          ，直線l與平面所成角的余弦值為          ．【答案】          /【分析】根據(jù)題意，結(jié)合已知條件求得平面的法向量，以及直線的方向向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】因?yàn)槠矫?/span>的方程，不妨令，可得，所以過(guò)點(diǎn)，設(shè)其法向量為，根據(jù)題意得，即，由平面的方程為，則，不妨取，可得，則平面的一個(gè)法向量為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線的方程為，不妨取，則，則該直線的一個(gè)方向向量為，則直線與平面所成的角為，則，由，所以.故答案為：；. 五、解答題17．（1）計(jì)算：；（2）解方程：．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用組合數(shù)和排列數(shù)公式和性質(zhì)直接求解即可；（2）利用組合數(shù)和排列數(shù)公式列方程求解即可.【詳解】（1）原式；（2）因?yàn)?/span>，所以化簡(jiǎn)得，解得或，又因?yàn)?/span>，所以18．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P是底面ABCD的中心，M是的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)到直線MP的距離；(2)求點(diǎn)C到平面的距離．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明，從而只需求線段的長(zhǎng)即可；（2）由（1）得為平面的一個(gè)法向量，利用向量法根據(jù)公式即可求出答案.【詳解】（1）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，所以，所以，所以點(diǎn)到直線MP的距離為線段的長(zhǎng)，又因?yàn)?/span>是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，為中點(diǎn)，所以.即點(diǎn)到直線MP的距離.（2），所以，，，因?yàn)?/span>，所以，又由（1）知，所以為平面的一個(gè)法向量.所以點(diǎn)C到平面的距離.19．在下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并對(duì)其求解．條件①：第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等；條件②：只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；條件③：所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為256．問(wèn)題：在展開(kāi)式中，(1)求的值與展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和；(2)這個(gè)展開(kāi)式中是否存在有理項(xiàng)？若存在，將其一一列出；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)選三個(gè)中的任意一個(gè)，；展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1．(2)存在，展開(kāi)式中有理項(xiàng)分別為；；． 【分析】（1）利用二項(xiàng)展開(kāi)式的性質(zhì)列方程即可求得的值，利用賦值法即可求得展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和；（2）利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，由x的冪次為整數(shù)列方程即可求得展開(kāi)式中有理項(xiàng).【詳解】（1）選①，第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則，所以；令，則，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1．選②，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以，解得；令，則，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1．選③，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為256，則，解得：．令，則，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1．（2）二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：．依題意可知，當(dāng)，3，6時(shí)，二項(xiàng)展開(kāi)的項(xiàng)都是有理項(xiàng)．所以：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以展開(kāi)式中有理項(xiàng)分別為；；．20．如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱AA1的長(zhǎng)度為4，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°.用向量法求：(1)BD1的長(zhǎng)；(2)直線BD1與AC所成角的余弦值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用向量模的計(jì)算公式和向量的數(shù)量積的運(yùn)算即得出BD1的長(zhǎng)；（2）分別求出 的值，代入數(shù)量積求夾角公式，即可求得異面直線BD1與AC所成角的余弦值．【詳解】（1）∵，＝24，∴的長(zhǎng)為，（2）∵，∴，∴，∵，，∴＝，所以直線BD1與AC所成角的余弦值為．21．（1）5個(gè)不同的小球，放入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)盒子中，一共有多少種不同的放法？（結(jié)果以數(shù)字作答）（2）5個(gè)不同的小球，放入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)盒子中，至少有2個(gè)空盒的放法有多少種？（結(jié)果以數(shù)字作答）【答案】（1）1024；（2）184【分析】（1）根據(jù)每一個(gè)小球有4種放法，利用分步計(jì)數(shù)乘法原理求解即可；（2）分成2類(lèi)：2個(gè)空盒子，；3個(gè)空盒子；先分組再排列即可.【詳解】（1）有5個(gè)不同的小球，放入4個(gè)不同的盒子里，由于每一個(gè)小球有4種放法，故不同的放法共計(jì)種（2）有5個(gè)不同的小球，放入4個(gè)不同的盒子里，至少有2個(gè)空盒子，分成2類(lèi)：2個(gè)空盒子，；3個(gè)空盒子；．先分組再排列:第一類(lèi)：；第二類(lèi)：根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理共有種22．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，E為的中點(diǎn)，M在上，且．  (1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的正弦值；(3)點(diǎn)F是線段PD上異于兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若滿(mǎn)足異面直線與所成角為，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3) 【分析】（1）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可證明.（2）求出平面與平面的法向量，根據(jù)向量法并結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式即可求出.（3）設(shè)，其中，利用向量法求出異面直線所成角為，從而求出的值，解出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出的長(zhǎng).【詳解】（1）證明：因?yàn)?/span>平面，，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，                                           則，，，，，，，，，，又直線與直線不在同一條直線上， ，又平面，平面，平面（2）設(shè)平面與平面夾角為，設(shè)平面的法向量為，，，則，令，可得，又平面的一個(gè)法向量為，所以，.所以平面與平面夾角的正弦值為．（3）設(shè)，其中，則， ，，由題意可得，.整理可得，或，，（舍去），則，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)，所以．所以若異面直線與所成角為，則． 

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