?2022-2023學(xué)年江蘇省宿遷市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題
1．已知，，則（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)條件概率公式計(jì)算可得答案.
【詳解】因?yàn)?，?br /> 代入得，解得.
故選：D.
2．下列圖中，能反映出相應(yīng)兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系的是（????）
A．?? B．?? C．?? D．??
【答案】B
【分析】對于A ，兩個(gè)變量是確定的函數(shù)關(guān)系，不正確；對于B，散點(diǎn)呈帶狀分布，正確；對于CD，散點(diǎn)不呈帶狀分布，不正確.
【詳解】對于A ，由圖象可知，兩個(gè)變量是確定的函數(shù)關(guān)系，不是相關(guān)關(guān)系，故A 不正確；
對于B，由散點(diǎn)圖可知，散點(diǎn)呈帶狀分布，所以兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，故B正確；
對于CD，由散點(diǎn)圖可知，散點(diǎn)不呈帶狀分布，所以兩個(gè)變量不具有線性相關(guān)關(guān)系，故CD不正確；
故選：B
3．若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，平均數(shù)為5，則下列說法正確的個(gè)數(shù)為（????）
①數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6；
②數(shù)據(jù)的方差為3；
③數(shù)據(jù)的平均數(shù)為15；
④數(shù)據(jù)的方差為19.
A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
【答案】D
【分析】利用平均數(shù)和方差的定義和性質(zhì)求解.
【詳解】因?yàn)闉?，所以的平均數(shù)為；
的平均數(shù)為；
因?yàn)榈姆讲顬?，所以；
所以的方差為；
的方差為.
所以正確的為①.
故選：D.
4．已知m，n是實(shí)數(shù)，若點(diǎn)，在同一直線上，則的值為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線列方程，化簡求得，進(jìn)而求得.
【詳解】，
依題意，三點(diǎn)共線，
所以，解得.
故選：A
5．某批麥種中，一等麥種占，二等麥種占，一、二等麥種種植后所結(jié)的麥穗含55粒以上麥粒的概率分別為0.5，0.25，則用這批種子種植后所結(jié)的麥穗含有55粒以上麥粒的概率是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)全概率公式求解.
【詳解】設(shè)從這批種子中任選一顆是一、二等種子的事件是, 則, 且兩兩互斥,
設(shè)“從這批種子中任選一顆,所結(jié)的穗含 55 顆以上麥?！?
則.
故選：B
6．已知平面，直線，，下列命題不正確的是（????）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】C
【分析】對于A， B，利用直線與平面垂直的判定定理，結(jié)合直線與平面垂直的性質(zhì)定理，即可得到直線與直線平行.對于C，利用平行六面體中的平面與直線舉出反例即可. 對于D，運(yùn)用如果兩個(gè)不重合平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線即可得出.
【詳解】對于A，，則，， ，所以，
因?yàn)?，則，，又，所以，同理可得，故A正確.
對于B，，，，，所以，同理可得，所以，故B正確.
對于C，如圖在平行六面體中，平面為，平面為，平面為，
底面平面為矩形，，
則滿足，，
如圖直線為，直線為，直線為，則與所成的角為，所以與不垂直，故C錯(cuò)誤.
??
因?yàn)?，則，又，則，又，所以，
又，，所以，故D正確.
故選：C.
7．如圖所示，正方體的棱長為，點(diǎn)分別是中點(diǎn)，則二面角的正切值為（????）
??
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，利用夾角公式求出余弦值，進(jìn)而可得答案.
【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，0，，，，，，2，，，0，，，2，，
則，2，，，2，，
設(shè)平面的法向量，，，
則，令，則，1，，
又因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量，
，
設(shè)的大小為，有圖可知為銳角，
則，
故選：A.
??
8．為了合理配置教育資源、優(yōu)化教師隊(duì)伍結(jié)構(gòu)、促進(jìn)城鄉(xiāng)教育優(yōu)質(zhì)均衡發(fā)展，科學(xué)編制校長教師交流輪崗3到5年規(guī)劃和學(xué)年度交流計(jì)劃，努力辦好人民群眾“家門口”的好學(xué)校．省委、省政府高度重視此項(xiàng)工作，省教育廳出臺《關(guān)于深入推進(jìn)義務(wù)教育學(xué)校校長教師交流輪崗的意見》，將義務(wù)教育教師交流輪崗工作納入了省委2023年度重點(diǎn)工作任務(wù)．某市教育局為切實(shí)落實(shí)此項(xiàng)政策，安排3名校長和3名教師到甲、乙、丙三所義務(wù)教育學(xué)校進(jìn)行輪崗交流，每所學(xué)校安排一名校長，則不同的安排方案種數(shù)是（????）
A．720 B．162 C．81 D．33
【答案】B
【分析】根據(jù)題意先安排校長，再安排教師，結(jié)合分步乘法計(jì)算原理運(yùn)算求解.
【詳解】先安排校長：則甲學(xué)校有3種可能，乙學(xué)校有2種可能，丙學(xué)校有1種可能，
所以不同的安排方案種數(shù)是；
再安排教師：每個(gè)教師均有三個(gè)學(xué)校可以選擇，
所以不同的安排方案種數(shù)是；
綜上所述：不同的安排方案種數(shù)是.
故選：B.

二、多選題
9．下列說法正確的是（????）
A．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好
B．隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則的最大值為
C．?dāng)?shù)據(jù)23，2，15，13，22，20，9，17，5，18的百分位數(shù)為18
D．樣本相關(guān)系數(shù)越接近1，樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度也越強(qiáng)
【答案】ABD
【分析】根據(jù)殘差平方和的性質(zhì)可判斷A；求出服從兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量的方差，利用配方求最值可判斷B；計(jì)算出第百分位數(shù)可判斷C；根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可判斷D.
【詳解】對于A，殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好，故A正確；
對于B，隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，，

1
0



，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有最大值為，故B正確；
對于C，數(shù)據(jù)23，2，15，13，22，20，9，17，5，18由小到大排列后為
2，5，9，13，15，17，18，20，22，23的第百分位數(shù)為，故C錯(cuò)誤；
對于D，樣本相關(guān)系數(shù)越接近1，樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度也越強(qiáng)，故D正確.
故選：ABD.
10．下列各式正確的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用排列數(shù)與組合數(shù)公式計(jì)算可以判斷BC；特殊值法可以判斷AD.
【詳解】對于A，取，則，，
所以，故A錯(cuò)誤；
對于B，因?yàn)?，?br /> 所以，故B正確；
對于C，因?yàn)?，?br /> 所以，故C正確；
對于D，取，則，，
所以，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
11．以“遷馬，跑在水美酒鄉(xiāng)”為主題的2023宿遷馬拉松，于4月2日開跑，共有12000名跑者在“中國酒都”縱情奔跑，感受宿遷的水韻柔情．本次賽事設(shè)置全程馬拉松、半程馬拉松和歡樂跑（5.5公里）三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目均設(shè)置4000個(gè)參賽名額．在宿大學(xué)生踴躍參加志愿服務(wù)，現(xiàn)有甲、乙等5名大學(xué)生志愿者，通過培訓(xùn)后，擬安排在全程馬拉松、半程馬拉松和歡樂跑（5.5公里）三個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行志愿者活動(dòng)，則下列說法正確的是（????）
A．若全程馬拉松項(xiàng)目必須安排3人，其余兩項(xiàng)各安排1人，則有20種不同的分配方案
B．若每個(gè)比賽項(xiàng)目至少安排1人，則有150種不同的分配方案
C．安排這5人排成一排拍照，若甲、乙相鄰，則有42種不同的站法
D．已知這5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站中間，則有40種不同的站法
【答案】ABD
【分析】對于A，先從5人中選3安排到全程馬拉松項(xiàng)目，然后剩下2人到其它兩個(gè)各去一人即可，對于B，將5個(gè)人分成3組，且每組至少1人，然后分配到3個(gè)項(xiàng)目即可，對于C，利用捆綁法求解即可，對于D，先選2人站前排，然后剩下3人中身高最高的站后排的中間，剩下2人站后排兩邊即可.
【詳解】對于A，先從5人中選3安排到全程馬拉松項(xiàng)目有種方法，然后剩下2人到其它兩個(gè)各去一人有，
則由分步乘法原理可知共有種分配方案，所以A正確，
對于B，將5個(gè)人分成3組，且每組至少1人，有兩種分法，分別為1，1，3和1，2，2，
若為1，1，3，則不同的分配方案有種，
基為1，2，2，則不同的分配方案有種，
所以由分類加法原理可知共有種不同的分配方案，所以B正確，
對于C，先將甲、乙捆綁在一起看成一個(gè)整體，再與剩下的3人進(jìn)行全排列，
所以不同的站法有種，所以C錯(cuò)誤，
對于D，先選2人站前排有種，然后剩下3人中身高最高的站后排的中間，剩下2人站后排兩邊有種，
所以由分步乘法原理可知共有種不同的站法，所以D正確，
故選：ABD
12．如圖，在長方體中，點(diǎn)P是底面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，分別為中點(diǎn)，若，則下列說法正確的是（????）

A．最大值為1
B．四棱錐的體積和表面積均不變
C．若面，則點(diǎn)P軌跡的長為
D．在棱上存在一點(diǎn)M，使得面面
【答案】ACD
【分析】，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，可得最大值為1可判斷A；利用棱錐的體積公式計(jì)算可得四棱錐的體積；
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合、為上底面的中心時(shí)，計(jì)算出表面積可判斷B；取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，利用面面平行的判定定理可得平面平面，可得點(diǎn)P軌跡為線段，求出可判斷C；以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面、平面的一個(gè)法向量，利用面面垂直的向量求法求出可判斷D.
【詳解】對于A，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，即，所以，
所以
，
所以最大值為1，故A正確；

對于B，因?yàn)辄c(diǎn)到底面的距離為，底面面積為，
所以四棱錐的體積為，是定值；
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，四個(gè)側(cè)面都為直角三角形，所以表面積為
，

當(dāng)點(diǎn)為上底面的中心時(shí)，連接，則，且，
，此時(shí)表面積為
，
所以，故C錯(cuò)誤；

對于C，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，分別連接，可得，
因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br /> 因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，且?br /> 平面，所以平面平面，當(dāng)時(shí)，平面，可得面，則點(diǎn)P軌跡為線段，此時(shí)，故C正確；

對于D， 以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
所以，設(shè)，則，
，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
所以，，令可得，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
所以，，令可得，
由，解得，滿足題意，故D正確.

故選：ACD.
【點(diǎn)睛】空間中面面角的解題步驟：
第一步 首先建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出相應(yīng)點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)；
第二步 然后求出兩個(gè)平面的法向量；
第三步 再利用向量的夾角公式即可得出結(jié)論.

三、填空題
13．若某種元件經(jīng)受住打擊測試的概率為，則4個(gè)此種元件中恰有2個(gè)經(jīng)受住打擊的概率為 .
【答案】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式即可求解.
【詳解】由題意可知經(jīng)受住打擊的零件個(gè)數(shù)服從二項(xiàng)分布,所以,
故答案為：
14．已知，則的值為 .
【答案】/
【分析】利用賦值法即可求解.
【詳解】令，令，則，所以，
令，所以，
由于，
所以.
故答案為：
15．空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)且法向量為的平面方程為．若平面的方程為，則平面的一個(gè)法向量為 .
【答案】 (答案不唯一)
【分析】根據(jù)若平面方程為，則為該平面的法向量，從而可得答案.
【詳解】因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)且法向量為的平面方程為
所以若平面方程為，
則為該平面的法向量，
可化為，
所以平面的一個(gè)法向量為，
故答案為：(答案不唯一)

四、雙空題
16．現(xiàn)有編號為1，2，3，…，的n個(gè)相同的袋子，每個(gè)袋中均裝有n個(gè)形狀和大小都相同的小球，且編號為的袋中有k個(gè)紅球，個(gè)白球. 當(dāng)n=5時(shí)，從編號為3的袋中無放回依次摸出兩個(gè)球，則摸到的兩個(gè)球都是紅球的概率為 ；現(xiàn)隨機(jī)從個(gè)袋子中任選一個(gè)，再從袋中無放回依次摸出三個(gè)球，若第三次取出的球?yàn)榘浊虻母怕蕿椋瑒tn的值為 .
【答案】 /0.3 10
【分析】利用古典概率進(jìn)行求解，利用互斥事件概率加法公式解決即可.
【詳解】當(dāng)n=5時(shí)編號為3的袋中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球.則從編號為3的袋中無放回依次摸出兩個(gè)球，摸到的兩個(gè)球都是紅球的概率為.
現(xiàn)隨機(jī)從個(gè)袋子中任選一個(gè)，所以有n種選法；
假設(shè)袋子中有個(gè)紅球，個(gè)白球，從袋中無放回依次摸出三個(gè)球，有種方法；
若第三次取出的球?yàn)榘浊蛴兴姆N情況：紅紅白、紅白白，白紅白，白白白，取法數(shù)為
；
則若第三次取出的球?yàn)榘浊虻母怕蕿椋?br /> 因?yàn)椋?br /> 所以第三次取出的球?yàn)榘浊虻母怕蕿?br />

，
解得=10.
故答案為：.

五、解答題
17．在展開式中，前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列. 求：
(1)的值；
(2)二項(xiàng)展開式中的有理項(xiàng).
【答案】(1)8；
(2).

【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，結(jié)合等差中項(xiàng)的意義求出n作答.
（2）由（1）的信息，求出的冪指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)即可.
【詳解】（1）二項(xiàng)式展開式的第項(xiàng)為，
第一項(xiàng)系數(shù)為，第二項(xiàng)系數(shù)為，第三項(xiàng)系數(shù)為，
依題意，，顯然，解得，
所以的值為8.
（2）由（1）知，顯然展開式的有理項(xiàng)必滿足，則為4的倍數(shù)，即有，
因此，
所以二項(xiàng)展開式中的有理項(xiàng)為．
18．甲、乙進(jìn)行輪流擲骰子游戲，若出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)大于得3分，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)小于或等于4得1分，兩人得分之和大于或等于6分時(shí)游戲結(jié)束，且規(guī)定最后擲骰子的人獲勝，經(jīng)過抽簽，甲先擲骰子．
(1)求乙擲一次就獲勝的概率；
(2)求甲獲勝的概率．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）結(jié)合題意，可得投擲骰子一次得3分的概率為，得1分的概率為，進(jìn)而根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式求解即可；
（2）甲獲勝分三種情況：①甲得3分，乙得1分，甲再得3分；②甲得1分，乙得3分，甲再得3分；③甲得1分，乙得1分，甲得1分，乙得1分，甲再得3分.分別利用獨(dú)立事件的概率公式求解，進(jìn)而即可求解.
【詳解】（1）投擲骰子一次得3分的概率為，得1分的概率為；
乙擲一次就獲勝表示第一次甲得3分，乙也得3分，
即乙擲一次就獲勝的概率為.
（2）設(shè)甲獲勝為事件，根據(jù)他們輪流投擲的得分，分三種情況：
①甲得3分，乙得1分，甲再得3分，概率為；
②甲得1分，乙得3分，甲再得3分，概率為；
③甲得1分，乙得1分，甲得1分，乙得1分，甲再得3分，概率為；
所以甲獲勝的概率為.
19．在四棱柱中，，，，.
??
(1)當(dāng)時(shí)，試用表示；
(2)證明：四點(diǎn)共面；
(3)判斷直線能否是平面和平面的交線，并說明理由.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)答案見解析

【分析】（1）直接利用空間向量線性運(yùn)算可得，再根據(jù)已知關(guān)系，，進(jìn)行化簡可得出結(jié)果.
（2）可設(shè)，不為)，由題意可化簡得到，將代入并結(jié)合題意可化簡得出，即可證明出四點(diǎn)共面.
（3）先假設(shè)面面，根據(jù)棱柱的性質(zhì)，可得出平面，進(jìn)而得出，反之當(dāng)，可判斷出平面，平面，得出平面平面=，得出當(dāng)時(shí)，直線是面和面的交線，反之不行，從而得出結(jié)果.
【詳解】（1）=
==；
（2）設(shè)，不為)，

=

則，，共面且有公共點(diǎn)，則四點(diǎn)共面；
（3）假設(shè)面面，在四棱柱中，
，面，面，則平面，
又面，面面，則；
反過來，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，則，
則確定平面
則平面，
又因?yàn)槠矫妫?br /> 所以平面平面=，
所以是直線是面和面的交線的充要條件；
所以，當(dāng)時(shí)，直線是面和面的交線；
當(dāng)不平行時(shí)，直線不是面和面的交線
????
20．據(jù)文化和旅游部數(shù)據(jù)中心測算，2023年“五一”假期，全國國內(nèi)旅游出游合計(jì)2.74億人次，同比增長．為迎接暑期旅游高峰的到來，某旅游公司對今年年初推出一項(xiàng)新的旅游產(chǎn)品1~5月份的營業(yè)收入（萬元）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：
月份x
1
2
3
4
5
月收入y（萬元）
94
98
105
115
123
(1)依據(jù)表中給出的數(shù)據(jù)，建立該項(xiàng)旅游產(chǎn)品月收入y萬元關(guān)于月份x的線性回歸方程，并預(yù)測該項(xiàng)旅游產(chǎn)品今年7月份的營業(yè)收入是多少萬元？
(2)觀察表中數(shù)據(jù)可以看出該產(chǎn)品很受游客歡迎，為了進(jìn)一步了解喜愛該旅游產(chǎn)品是否與性別有關(guān)，工作人員隨機(jī)調(diào)查了100名游客，被調(diào)查的女性游客人數(shù)占，其中喜愛的人數(shù)為25人，調(diào)查到的男性游客中喜愛的人數(shù)占．
①根據(jù)調(diào)查情況填寫列聯(lián)表；
②根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)能否有的把握認(rèn)為“游客喜愛該旅游產(chǎn)品與性別有關(guān)”？

喜愛
不喜愛
總計(jì)
女性人數(shù)



男性人數(shù)



總計(jì)



參考公式及數(shù)據(jù)： ．
，其中.

0.10
0.050
0.010
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828
【答案】(1)，137萬元
(2)①表格見解析；②沒有

【分析】（1）根據(jù)公式求出y關(guān)于x的線性回歸方程，再代入x值求出y.
（2）根據(jù)男女以及喜歡的比例列表，再由公式解出，得出結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)y關(guān)于x的線性回歸方程，易求得，，
，
則，
， 所以，
當(dāng)x=7時(shí)，y=137，
所以y關(guān)于x的線性回歸方程為，
預(yù)測該項(xiàng)旅游產(chǎn)品今年7月份的營業(yè)收入是137萬元.
（2）①調(diào)查情況2×2列聯(lián)表為：

喜愛
不喜愛
總計(jì)
女性人數(shù)
25
15
40
男性人數(shù)
45
15
60
總計(jì)
70
30
100
②提出假設(shè)：喜愛該旅游產(chǎn)品與性別沒有關(guān)系，
根據(jù)表中數(shù)據(jù)可以求得

因此根據(jù)表中數(shù)據(jù)沒有把握認(rèn)為“喜愛該旅游產(chǎn)品與性別有關(guān)”.
21．近些年天然氣使用逐漸普及，為了百姓能夠安全用氣，國務(wù)院辦公廳2022年6月印發(fā)《城市燃?xì)夤艿赖壤匣赂脑鞂?shí)施方案（2022－2025年）》，為了更具有針對性，某市在實(shí)施管道老化更新的過程中，從本市某社區(qū)500個(gè)家庭中隨機(jī)抽取了個(gè)家庭燃?xì)馐褂们闆r進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)這個(gè)家庭燃?xì)馐褂昧浚▎挝唬簃3），得到如下頻數(shù)分布表（第一行是燃?xì)馐褂昧?，第二行是頻數(shù)），并將這一個(gè)月燃?xì)馐褂昧砍^22 m3的家庭定為“超標(biāo)”家庭．







8
14
16
30
16
12
4
(1)估計(jì)該社區(qū)這一個(gè)月燃?xì)馐褂昧康钠骄担?br /> (2)若該社區(qū)這一個(gè)月燃?xì)馐褂昧看笾路恼龖B(tài)分布，其中近似為個(gè)樣本家庭的平均值（精確到m3），估計(jì)該社區(qū)中“超標(biāo)”家庭的戶數(shù)；
(3)根據(jù)原始樣本數(shù)據(jù)，在抽取的個(gè)家庭中，這一個(gè)月共有個(gè)“超標(biāo)”家庭，市政府決定從這8個(gè)“超標(biāo)”家庭中任選個(gè)跟蹤調(diào)查其使用情況．設(shè)這一個(gè)月燃?xì)馐褂昧坎恍∮趍3的家庭個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：若服從正態(tài)分布，則，
，.
【答案】(1)
(2)79
(3)分布列見解析，

【分析】（1）利用組中值可求燃?xì)馐褂昧康钠骄担?br /> （2）利用正態(tài)分布的對稱性結(jié)合題設(shè)中給出的數(shù)據(jù)可求該社區(qū)中“超標(biāo)”家庭的戶數(shù)；
（3）利用超幾何分布可求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【詳解】（1）樣本數(shù)據(jù)各組的中點(diǎn)值分別為，
則，
估計(jì)該社區(qū)這一個(gè)月燃?xì)馐褂昧康钠骄?
（2）據(jù)題意，,
則，??
估計(jì)該社區(qū)500個(gè)家庭中“超標(biāo)家庭”有個(gè)
（3）由頻數(shù)分布表知8個(gè)“超標(biāo)家庭”有4個(gè)不小于24.5，有4個(gè)在內(nèi)，
則的可能取值有，
，，
，，
則的分布列為

1
2
3
4





則.
22．如圖（1）所示，在中，，，，垂直平分．現(xiàn)將沿折起，使得二面角大小為，得到如圖（2）所示的空間幾何體（折疊后點(diǎn)記作點(diǎn)）
??
(1)求點(diǎn)到面的距離；
(2)求四棱錐外接球的體積；
(3)點(diǎn)為一動(dòng)點(diǎn)，滿足，當(dāng)直線與平面所成角最大時(shí)，試確定點(diǎn)的位置．
【答案】(1)
(2)
(3)

【分析】（1）由已知可證得平面平面，取中點(diǎn) ，連接 ，則有兩兩垂直，所以以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解，
（2）連接，則四邊形的外接圓圓心在的中點(diǎn)，外接圓的圓心為的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)圓心分別作兩面垂線，則垂線交點(diǎn)即為球心，連接，求出其長度可得外接球的半徑，從而可求出外接球的體積，
（3）由，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用空間向量表示出直線與平面所成角的正弦值，求出其最大值可得答案.
【詳解】（1）由，，，得 ，，
因?yàn)榇怪逼椒郑?br /> 所以，
所以為平面與平面的二面角的平面角，
所以 ，，所以為等邊三角形，
取中點(diǎn) ，連接 ，所以，
因?yàn)?，平面?br /> 所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br /> 所以平面平面，
因?yàn)?br /> 所以為二面角的平面角，
所以，
以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
設(shè)的一個(gè)法向量為 ，則
，令，則
又，
所以點(diǎn)到面的距離；
（2）連接，由，則四邊形的外接圓圓心在的中點(diǎn)，
為正三角形，則外接圓的圓心為的三等分點(diǎn)，
過點(diǎn)圓心分別作兩面垂線，則垂線交點(diǎn)即為球心，
如圖所示，連接，則即球的半徑.
在中，，
則，
在中，，

所以由勾股定理得，
則球的體積 ；
??
（3）設(shè)，由得，
所以，得， ，
所以，
設(shè)直線與平面所成角為（），
則

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，
此時(shí)直線與平面所成角最大，
即當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角最大.
??

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