2022-2023學年江蘇省淮安市馬壩高級中學高二下學期期中數學試題 一、單選題1．已知離散型隨機變量的概率分布如表：則其數學期望等于（    ）135P0.5m0.2 A．1 B．0.6 C． D．2.4【答案】D【解析】根據所給的分布列，根據分布列中所有的概率之和是1，求出m的值，求期望即可．【詳解】∵分布列中出現的所有的概率之和等于1，∴0.5+m+0.2＝1，∴m＝0.3，∴隨機變量的數學期望E（ξ）＝1×0.5+3×0.3+5×0.2＝2.4．故選：D．【點睛】本題考查分布列的性質和方差，本題解題的關鍵是根據分布列的性質做出分布列中未知的字母，本題是一個基礎題．2．5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同報名方法有（    ）A．10種 B．20種 C．25種 D．32種【答案】D【分析】由分步乘法原理計算．【詳解】由題意，每個同學有2種選擇，故不同報名方式為.故選：D3．如圖，在正方體中，以為原點建立空間直角坐標系，為的中點，為的中點，則下列向量中，能作為平面的法向量的是（    ）．A．（1，，4） B．（，1，）C．（2，，1） D．（1，2，）【答案】B【分析】設正方體的棱長為2，依次求出各點坐標，設向量是平面的法向量，根據法向量的定義，逐一驗證各選項即可求出答案．【詳解】解：設正方體的棱長為2，則，，∴，設向量是平面的法向量，則取，得，則是平面的一個法向量，結合其他選項，只需和共線即可，檢驗可知，ACD選項均不與共線.所以能作為平面的法向量只有選項B故選：B．4．已知隨機變量，，且，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據隨機變量可知，再根據，，可求出，利用，建立方程，即可求出結果.【詳解】因為隨機變量，所以，因為，，所以，即，又所以，即.故選：B.5．從甲?乙?丙?丁四名同學中選出三名同學，分別參加三個不同科目的競賽，其中甲同學必須參賽，則不同的參賽方案共有（    ）A．24種 B．18種 C．21種 D．9種【答案】B【分析】參賽方案可分兩步完成，第一步從乙，丙，丁三人中選兩人，第二步將甲和所選兩人安排去參加三個不同科目的競賽，故這是一個分步完成的排列組合綜合問題.【詳解】參賽方案可分兩步完成，第一步從乙，丙，丁三人中選兩人，有種方法，第二步將甲和所選兩人安排去參加三個不同科目的競賽，有種方法，由分步乘法計數原理可得共有種方法.故選：B.6．的展開式的常數項是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】寫出的展開式的通項為，分別令，，即可求得常數項.【詳解】因為的展開式的通項為，所以令，，則，，所以的展開式為常數項的是故選：B7．甲和乙兩位同學準備在體育課上進行一場乒乓球比賽，假設甲對乙每局獲勝的概率都為，比賽采取三局兩勝制（當一方獲得兩局勝利時，該方獲勝，比賽結束），則甲獲勝的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】按照相互獨立事件的概率乘法法則，分類計算求和即可.【詳解】分三類：①甲直接獲得前兩局勝利，不進行第三局，此時甲獲勝的概率為：；②甲輸第一局，贏后兩局，此時甲獲勝的概率為：；③甲贏第一局和第三局，輸第二局，此時甲獲勝的概率為：.故甲獲勝的概率為：.故選：B.8．已知三棱柱的底面是邊長為2的等邊三角形，側棱長為3，在底面ABC上的射影D為BC的中點，則異面直線AB與所成的角的為（    ） A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，由，得到為異面直線與所成的角，結合余弦定理，即可求解.【詳解】連接，由，所以為異面直線與所成的角，因為三棱錐的底面是邊長為的等邊三角形，且側棱長為，在底面ABC上的射影D為BC的中點，可得,由余弦定理，可得，因為，所以，所以異面直線AB與所成的角的為.故選：C. 二、多選題9．下列有關排列數、組合數的等式中，正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】對于AC,根據組合數的公式即可;對于B，根據排列數的公式即可;對于D，根據二項式定理即可.【詳解】對于A, ,故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，組合數的性質，，故C正確；對于D，由二項式定理知，=，故D錯誤；故選：BC.10．一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球，給出下列4個結論，其中正確的有（    ）A．從中任取3球，恰有一個白球的概率是B．從中有放回的取球6次，每次任取一球，則取到紅球次數的方差為C．現從中不放回的取球2次，每次任取1球，則在第一次取到紅球后，第二次再次取到紅球的概率為D．從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到紅球的概率為【答案】ABD【解析】A.由古典概型的概率求解判斷；B.根據取到紅球次數X～B，再利用方差公式求解判斷；C．設A＝{第一次取到紅球}，B＝{第二次取到紅球}．由P(B|A)＝求解判斷；D．易得每次取到紅球的概率P＝，然后再利用對立事件求解判斷.【詳解】A.恰有一個白球的概率，故A正確；B.每次任取一球，取到紅球次數X～B，其方差為，故B正確；C．設A＝{第一次取到紅球}，B＝{第二次取到紅球}．則P(A)＝，P(A∩B)＝，所以P(B|A)＝，故C錯誤；D．每次取到紅球的概率P＝，所以至少有一次取到紅球的概率為，故D正確．故選：ABD.11．4名男生和3名女生排隊（排成一排）照相，下列說法正確的是（    ）A．若女生必須站在一起，那么一共有種排法B．若女生互不相鄰，那么一共有種排法C．若甲不站最中間，那么一共有種排法D．若甲不站最左邊，乙不站最右邊，那么一共有種排法【答案】AC【分析】分別利用捆綁法、插空法、優(yōu)先安排特殊元素法、間接法依次求解.【詳解】選項,利用捆綁法，將3名女生看成一個整體，其排列方式有種，加上4名男生一共有5個個體，則有種排列方式，則由乘法原理可知一共有種排法，故正確；選項,利用插空法，4名男生排成一排形成5個空，其排列方式有種，再將3名女生插入空中，有種排列方式，則由乘法原理可知一共有種排法，故不正確；選項,利用優(yōu)先安排特殊元素法，甲不站最中間,甲先從除中間之外的6個位置選一個，其選擇方式有種，再將剩余的6人全排列，有種排列方式，則由乘法原理可知一共有種排法，故正確； 選項,利用間接法，3人站成一排共有種排法，若甲站最左邊有種排法，乙站最右邊有種排法，甲站最左邊且乙站最右邊有種排法，所以甲不站最左邊，乙不站最右邊，那么一共有種排法，故不正確；故選：AC.12．如圖所示，在棱長為2的正方形中，點，分別是，的中點，則（　　）A．B．與平面所成角的正弦值為C．二面角的余弦值為D．平面截正方體所得的截面周長為【答案】BD【分析】利用坐標法，對A，由向量數量積與垂直的關系即可判斷；對B，由向量法求線面角；對C，由向量法求面面角；對D，分析得，則平面AEF截正方體所得的截面為四邊形，即可根據幾何關系求周長，【詳解】以D為原點建立如圖所示空間直角坐標系，則，對A， ，，故與不垂直，A錯；對B，，設平面AEF的法向量為，則，令，則有，設與平面AEF所成角為，則，B對；對C，平面EFC的一個法向量為，則，∴二面角的余弦值為，C錯；對D，由，，可得，平面AEF截正方體所得的截面為四邊形，則有，故平面AEF截正方體所得的截面周長為，D對.故選：BD. 三、填空題13．現從某校2022年高三上學期某次測試成績中隨機抽取部分學生的物理成績作為樣本進行分析，成績近似服從正態(tài)分布，且，則__________．【答案】/【分析】根據題意結合正態(tài)分布的對稱性運算求解.【詳解】由題意可得：，則，故.故答案為：.14．“楊輝三角”是中國古代數學文化的瑰寶之一，最早出現在中國南宋數學家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中，歐洲數學家帕斯卡在1654年才發(fā)現這一規(guī)律，比楊輝要晚近四百年.如圖，在由二項式系數所構成的“楊輝三角”中，記第2行的第3個數字為，第3行的第3個數字為，…，第行的第3個數字為，則___________.【答案】220【分析】先利用二項式定理，得，再進行組合數計算即可.【詳解】由題意，得，所以.故答案為：220.15．在長方體中，，，若E為的中點，則點E到面的距離是______.【答案】【分析】以D為原點，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點E到面的距離.【詳解】以D為原點，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，如下圖所示：，，，，，，，設平面的法向量，則，取，得，∴點E到面的距離為.故答案為：.【點睛】本題考查點到平面距離的向量求法，屬于基礎題.16．經檢測有一批產品合格率為，現從這批產品中任取5件，設取得合格產品的件數為，則取得最大值時的值為__________.【答案】【分析】由已知可得，，根據二項分布的分布列公式求出時的概率，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，.則，，，，，，所以，當時，取得最大值.故答案為：. 四、解答題17．已知的展開式中，其前三項的二項式系數的和等于56.(1)求展開式中所有二項式系數的和；(2)求展開式中的常數項.【答案】(1)1024(2)180 【分析】（1）根據前三項的二項式系數之和列出方程，求出，進而求出所有二項式系數的和；（2）利用展開式的通項公式，令的次數為0，求出，得到答案.【詳解】（1）前三項的二項式系數和為，解得或-11（舍去），中，展開式中所有二項式系數的和為；（2）的展開式通項公式為，令得，故.18．已知向量，(1)求與的夾角；(2)若與垂直，求實數t的值．【答案】(1)(2) 【分析】(1)結合向量數量積性質夾角公式的坐標表示即可求解；(2)由向量垂直的坐標表示即可求解.【詳解】（1），，，，，令與的夾角為，則，則與的夾角為.（2），，又與垂直，，即，解得.19．有5個男生和3個女生，從中選出5人擔任5門不同學科的科代表，求分別符合下列條件的選法數.(1)有女生但人數必須少于男生；(2)某女生一定擔任語文科代表；(3)某男生必須包括在內，但不擔任語文科代表.【答案】(1)5400（種）(2)840（種）(3)3360（種） 【分析】（1）先選后排，分類討論列式求解；（2）除去一定擔任語文科代表的女生后先選后排，，先選后排計算可得；（3）先安排不擔任語文科代表的該男生，先選后排計算可得.【詳解】（1）先選后排，5人可以是2女3男，也可以是1女4男，所以先選有種，后排有種，所以共有不同選法（種）.（2）除去一定擔任語文科代表的女生后，先選后排，共有不同選法（種）.（3）先選后排，但先安排不擔任語文科代表的該男生，所以共有不同選法（種）.20．盒中有大小形狀完全相同的8個紅球和2個黑球．(1)現隨機從中取出一球，觀察顏色后放回，并加上與取出的球同色的球2個，再從盒中第二次取出一球，求第二次取出黑球的概率；(2)從中抽取3個球進行檢測，隨機變量表示取出黑球的個數，求的分布列及期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，期望為. 【分析】（1）根據全概率公式即可求解，（2）根據超幾何分布求解概率，進而可求分布列以及期望.【詳解】（1）記第二次取出黑球為事件A,第一次取出紅球記為事件,第一次取出黑球記為事件，所以.（2）可能為0，1，2, .的分布列為：012.21．某市為了更好的了解全體中小學生感染新冠感冒后的情況，以便及時補充醫(yī)療資源.從全市中小學生中隨機抽取了100名抗原檢測為陽性的中小學生監(jiān)測其健康狀況，100名中小學生感染奧密克戎后的疼痛指數為，并以此為樣本得到了如下圖所示的表格：疼痛指數人數（人）10819名稱無癥狀感染者輕癥感染者重癥感染者其中輕癥感染者和重癥感染者統(tǒng)稱為有癥狀感染者.(1)統(tǒng)計學中常用表示在事件A發(fā)生的條件下事件發(fā)生的似然比.現從樣本中隨機抽取1名學生，記事件：該名學生為有癥狀感染者，事件：該名學生為重癥感染者，求似然比的值；(2)若該市所有抗原檢測為陽性的中小學生的疼痛指數近似的服從正態(tài)分布，且.若從該市眾多抗原檢測為陽性的中小學生中隨機抽取3名，設這3名學生中輕癥感染者人數為，求的分布列及數學期望.【答案】(1)(2)分布列見解析， 【分析】（1）應用條件概率公式計算求解即可；（2）應用，由二項分布分別寫出求分布列及計算數學期望.【詳解】（1）由題意得：，，，.（2），，則，可能的取值為，的分布列為：0123數學期望.22．如圖，在四棱錐P?ABCD中，AB//CD，且.（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A?PB?C的余弦值.【答案】（1）見解析；（2）.【詳解】（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD．由于AB//CD ，故AB⊥PD ，從而AB⊥平面PAD．又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．（2）在平面內作，垂足為，由（1）可知，平面，故，可得平面.以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系.由（1）及已知可得，，，.所以，，，.設是平面的法向量，則即可取.設是平面的法向量，則即可取.則，所以二面角的余弦值為.【名師點睛】高考對空間向量與立體幾何的考查主要體現在以下幾個方面：①求異面直線所成的角，關鍵是轉化為兩直線的方向向量的夾角；②求直線與平面所成的角，關鍵是轉化為直線的方向向量和平面的法向量的夾角；③求二面角，關鍵是轉化為兩平面的法向量的夾角.建立空間直角坐標系和表示出所需點的坐標是解題的關鍵. 

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