2022-2023學(xué)年福建省寧德市高二下學(xué)期區(qū)域性學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)（B卷）數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知物體的運(yùn)動(dòng)方程為（t是時(shí)間，s是位移），則物體在時(shí)刻時(shí)的速度為（    ）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】根據(jù)位移的導(dǎo)數(shù)是速度，求出的導(dǎo)函數(shù)即速度與時(shí)間的函數(shù)，將代入即可求出物體在時(shí)刻時(shí)的速度．【詳解】已知物體的運(yùn)動(dòng)方程為（是時(shí)間，是位移），故速度，所以物體在時(shí)刻時(shí)的速度.故選：B．2．已知，，且，則（    ）A． B．2 C．4 D．6【答案】A【分析】根據(jù)空間向量共線定理列式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以存在實(shí)數(shù)使得，即，所以,所以，得，所以.故選：A3．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（    ）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】求導(dǎo)后，令可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，得.故選：A4．已知，，，若，，三向量共面，則實(shí)數(shù)等于（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】根據(jù)題意，設(shè)，列出方程組即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，，，且，，三向量共面，設(shè)，則，即，解得.故選：D5．已知單位向量，，中，，，則（    ）A． B．5 C．6 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由空間向量的模長(zhǎng)公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，，且，，為單位向量，則.故選：D6．已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，則BC邊上的高等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量運(yùn)算以及向量的夾角公式進(jìn)行求解.【詳解】由題意，，，可得，，，即角B為銳角，所以，所以邊上的高.故選：B7．函數(shù)的圖象大致為（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】首先求出函數(shù)的定義域，判定函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性即可得解.【詳解】解：定義域?yàn)?/span>即函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由，為奇函數(shù)，排除B；又，排除C；當(dāng)時(shí)，，令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，排除A；故選：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，關(guān)鍵是函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A．  B． C． D．【答案】C【分析】方法1，由題意可得有兩根，則，，令，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而畫(huà)出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可求得結(jié)果； 方法2：由題意得有兩根，令，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出其單調(diào)區(qū)間，畫(huà)出圖象，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】方法1：，有兩個(gè)都零點(diǎn)，即有兩根，則，，設(shè)，則，令，則，，令，得，則在且；令，得，則在且；，圖象如圖所示，實(shí)數(shù)時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).  方法2：有兩個(gè)都零點(diǎn)，即有兩根，設(shè)，則，令，則，，令，得，則在單調(diào)遞增且；令，得，則在單調(diào)遞減且；，圖象如圖所示，設(shè)與相切于則，解得，所以實(shí)數(shù)時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).故選：C  【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間，畫(huà)出圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題. 二、多選題9．下列說(shuō)法正確的是（    ）A．空間向量與的長(zhǎng)度相等B．平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量C．若將所有空間單位向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，則終點(diǎn)圍成一個(gè)圓D．空間任意三個(gè)向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底【答案】AB【分析】利用空間向量的有關(guān)概念逐項(xiàng)判斷.【詳解】對(duì)于A，向量與是相反向量由相反向量的定義知，向量與的長(zhǎng)度相等，故A正確；對(duì)于B，平行于平面m的向量，均可平移至一個(gè)平行于m的平面，故它們?yōu)楣裁嫦蛄?，?/span>B正確；對(duì)于C，若將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，空間任意三個(gè)不共面的非零向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)題意，由求導(dǎo)的運(yùn)算法則，對(duì)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證，即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確；故選：BD11．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．的單調(diào)遞增區(qū)間是 B．的單調(diào)遞減區(qū)間是C．的最大值是 D．恒成立【答案】BD【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值可得答案.【詳解】的定義域?yàn)?/span>，，令，得，令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，故A不正確，B正確；所以，故C不正確，由C知，，故D正確；故選：BD12．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，M為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包括邊界），則下列說(shuō)法正確的有（    ）  A．存在點(diǎn)，使得B．過(guò)三點(diǎn)、、的正方體的截面面積為C．四面體的內(nèi)切球的表面積為D．點(diǎn)在棱上，且，若，則滿足條件的的軌跡是圓【答案】BC【分析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由可判斷A；過(guò)三點(diǎn)、、的正方體的截面為以為底的等腰梯形，求出截面面積可判斷B；設(shè)四面體的側(cè)面積為，其內(nèi)切球的半徑為，球心為，由即，求出可判斷C；由分析可得，的軌跡是被四邊形截得的4段圓弧，求解可判斷D.【詳解】對(duì)于A，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，  設(shè)，則，，，；若，則，即，與題意矛盾，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>，所以可得、、、四點(diǎn)共面，所以過(guò)三點(diǎn)、、的正方體的截面為以為底的等腰梯形，，過(guò)點(diǎn)作，所以，所以梯形的高為，所以，，故B正確；  對(duì)于C，如下圖知：四面體的體積為正方體體積減去四個(gè)三棱錐的體積，  可知四面體是棱長(zhǎng)為的正四面體，取的外心，連接，則平面，則，則，所以，    所以四面體的高，設(shè)四面體的側(cè)面積為，其內(nèi)切球的半徑為，球心為，，即，，所以C正確；對(duì)于D，，，∵，∴，即，可得軌跡為圓：，所以，圓心，，又，所以，軌跡為圓：被四邊形截得的4段圓弧，所以D錯(cuò)誤；故選：BC. 三、填空題13．已知在標(biāo)準(zhǔn)正交基下，向量，，，則向量在上的投影為         .【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的線性運(yùn)算用基底表示，再求出在上的投影作答.【詳解】因?yàn)橄蛄?/span>，，，因此，，所以向量在上的投影為.故答案為：14．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是         .【答案】【分析】求導(dǎo)，解不等式可得結(jié)果.【詳解】,由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故答案為：.15．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，E、F分別是BC、DC的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為         .  【答案】【分析】,可得與EF所成角,在三角形中可計(jì)算得出.【詳解】  由E，F分別是BC，DC的中點(diǎn)，則.在長(zhǎng)方體中有，所以 ，所以為與EF所成角.在三角形中，,.所以 .故答案為： .16．設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，，若，則的取值范圍為         .【答案】【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性解不等式即可.【詳解】設(shè)函數(shù)，∴，∴在上單調(diào)遞減，又∵，∴則，即，∴，即.故答案為： 四、解答題17．已知向量，.(1)求與的夾角余弦值；(2)若，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用向量坐標(biāo)夾角公式計(jì)算可得答案；（2）利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，，所以，，，所以；（2），因?yàn)?/span>，所以，解得.18．已知函數(shù).(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)求函數(shù)在的最大值與最小值.【答案】(1)(2)最大值為10，最小值為 【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得出在的單調(diào)性和極值，比較極值點(diǎn)和端點(diǎn)函數(shù)值大小即可得出答案.【詳解】（1）∵，函數(shù)在處的切線方程的斜率為，又，切點(diǎn)為，切線方程為：即.（2）因?yàn)?/span>令，得或；令，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以在處取得極大值，在處取得極小值.又，，，，由（1）知，在區(qū)間上的最大值為10，最小值為19．如圖所示，四棱錐的底面是正方形，底面，為的中點(diǎn)，.  (1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）利用空間向量與平面的法向量垂直可證結(jié)論正確；（2）根據(jù)點(diǎn)面距的向量公式可求出結(jié)果.【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)?/span>軸，軸，軸的正方向，并均以1為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系.  則，，，，，所以，，.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，得，，所以.因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>平面，所以平面.（2）因?yàn)?/span>，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，得，所以.所以點(diǎn)到平面的距離.20．現(xiàn)有一批貨物從A港運(yùn)往B港，已知該船的最大航行速度為35海里/小時(shí)，全程的航行距離約為600海里，每小時(shí)的運(yùn)輸成本由燃料費(fèi)用和其余費(fèi)用組成.輪船每小時(shí)使用的燃料費(fèi)用（元）與輪船速度（海里/小時(shí)）的平方成正比.已知當(dāng)輪船速度為20海里/小時(shí)，輪船每小時(shí)使用的燃料費(fèi)用320元，其余費(fèi)用為每小時(shí)720元.(1)把全程的運(yùn)輸成本元表示為速度（海里/小時(shí)）的函數(shù)；(2)為了使全程的運(yùn)輸成本最小，輪船的航行速度是多少？【答案】(1)，(2)30海里/時(shí) 【分析】（1）根據(jù)題意，由條件即可得到函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，從而得到當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值即為最小值.【詳解】（1）設(shè)每小時(shí)燃料費(fèi)（元）與速度（海里/時(shí)）函數(shù)關(guān)系為，又當(dāng)時(shí)，，所以得，所以輪船每小時(shí)的燃料費(fèi)元，總共行駛小時(shí)，所以全程運(yùn)輸成本，定義域?yàn)?/span>，即全程運(yùn)輸成本（元）表示為速度（海里/時(shí)）的函數(shù)為；，（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值即為最小值.故當(dāng)輪船應(yīng)以30海里/時(shí)的速度行駛時(shí)，全程運(yùn)輸成本最?。?/span>21．如圖，四棱錐中，四邊形為梯形，其中，，，.  (1)證明：平面平面；(2)若，且與平面所成角的正弦值為，點(diǎn)E在線段上滿足，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）根據(jù)題意，在中，由余弦定理求得，得到，證得，再由，證得平面，即可證得平面平面；（2）若O為中點(diǎn)，證得，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由平面的一個(gè)法向量為，列出方程求得，進(jìn)而得到，求得平面的一個(gè)法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：由題知且，所以為等邊三角形，則，又由四邊形為梯形，，則，在中，，所以，即，因?yàn)?/span>，且，平面，所以平面，又因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.（2）解：若O為中點(diǎn)，，則，由（1）得平面平面，平面平面，平面，則平面，連接，則，且平面，所以，，所以，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，分別為為軸、軸和軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，，，，設(shè)且，則，由平面的一個(gè)法向量為，可得，解得，因?yàn)?/span>，所以，可得，所以，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取，可得，所以則，由圖形可得的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.  22．已知函數(shù)，；(1)求函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)，對(duì)于任意的都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，分類討論和，判斷與得大小，即可得出答案.（2）將題意轉(zhuǎn)化為得對(duì)于任意的恒成立，令即在恒成立，即在恒成立，轉(zhuǎn)化為求得最大值.【詳解】（1）的定義域?yàn)?/span>，則，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，則即，令得，令得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）依題得因?yàn)閷?duì)于任意的總有成立，不妨設(shè)由，得設(shè)，可得在單調(diào)遞增；在恒成立；∴在恒成立；設(shè)，令，得，因?yàn)?/span>，所以在單調(diào)遞增；同理，在單調(diào)遞減，所以的最大值為，所以. 

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