2022-2023學年福建省寧德市高一上學期區(qū)域性學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測（期中）數(shù)學試題（C卷） 一、單選題1．已知全集，集合，集合，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)交集的定義直接求解即可.【詳解】因為集合，集合，所以，故選：D.2．命題“”的否定是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】將特稱命題否定為全稱命題即可.【詳解】命題“”的否定是“”，故選：C.3．函數(shù)的定義域為（    ）A． B．C．且 D．且【答案】D【分析】由二次根式的被開方數(shù)非負，分式的分母不為零，零次冪的底數(shù)不為零，列不等式組求解即可.【詳解】根據(jù)題意得，解得，且，所以函數(shù)的定義域為且，故選：D.4．，，，下列選項正確的是（    ）A． B． C． D．的大小無法確定【答案】B【分析】（分子有理化）化簡P，Q，比較分母大小.【詳解】，，顯然，則有，，兩邊同時乘以2，即得到，即，.故選：B.5．某學校對教室采用藥熏消毒，已知藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時間（分鐘）成正比例，藥物燃燒完后，與成反比例（如圖），現(xiàn)測得藥物15分鐘燃畢，此時室內(nèi)空氣中每立方米含藥量為12毫克.研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于6毫克才有效，那么此次消毒的有效時間是（    ）A．15分鐘 B．分鐘 C．18分鐘 D．分鐘【答案】D【分析】首先根據(jù)題意確定一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，然后代入y＝6確定兩個自變量的值，差即為有效時間．【詳解】設(shè)藥物燃燒時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為代入（15，12）為，；設(shè)藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為代入（15，12）為，∴，∴藥物燃燒時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為；藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為，把y＝6代入,得：x＝7.5，把y＝6代入，得：x＝30，∵30?7.5＝22.5，∴那么此次消毒的有效時間是22.5分鐘，故選：D．6．“不等式在上恒成立”的充要條件是（    ）A． B．C． D．或【答案】B【分析】分，兩種情況討論，結(jié)合韋達定理判斷即可.【詳解】當時，恒成立；當時，，即，解得；綜上：.故選：B7．函數(shù)的圖象大致形狀是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題為分段函數(shù)圖像判斷，寫出分段函數(shù)，可根據(jù)特殊點進行判斷.【詳解】函數(shù)的定義域為，，排除BC選項，，排除D選項.故選：A8．已知的定義域為為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且當時，，則的值等于（    ）A．1 B． C．5 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，利用為偶函數(shù)，得到，再利用為奇函數(shù)，得到，進而可化簡為，得到，最后根據(jù)題意，求出，即可得到答案.【詳解】為偶函數(shù)，，可得，又由為奇函數(shù)，，故有，，故有，可得，，，得故選：B 二、多選題9．已知，則下列不等式中一定成立的有（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由不等式性質(zhì)可判斷AD，結(jié)合在單調(diào)遞減可判斷C，取可判斷B.【詳解】由題意，，選項A，由不等式性質(zhì)，，故，正確；選項B，當時，，錯誤；選項C，由在單調(diào)遞減可判斷，正確；選項D，由等式性質(zhì)，可得，正確.故選：ACD10．下列四個命題中正確的是（    ）A．B．C．集合中只有一個元素D．集合是有限集【答案】CD【分析】根據(jù)集合的概念以及表示，判定命題的真假.【詳解】根據(jù)的定義知，A、B均不正確；只有一個元素，C正確；中只有兩個元素，D正確.故選：CD.11．已知函數(shù)，則（    ）A．的定義域為 B．為非奇非偶函數(shù)C．的最小值為0 D．的最大值為【答案】ABD【分析】先求得函數(shù)定義域為，AB對，對表達式同時平方，求得的范圍，進一步判斷范圍即可.【詳解】由題設(shè)可得函數(shù)的定義域為，定義域不關(guān)于原點對稱，則選項AB正確；f2(x)＝4＋2×＝4＋2×，而0≤≤2，即4≤f2(x)≤8，∵f(x)＞0，∴2≤f(x)≤2，∴f(x)的最大值為2，最小值為2，則選項C錯誤，D正確.故選：ABD．12．已知關(guān)于的不等式，下列結(jié)論正確的是（    ）A．當時，不等式的解集為B．當時，不等式的解集為的形式C．當時，不等式的解集為D．當時，不等式的解集為【答案】ACD【分析】由一元二次不等式的解的情況分別判斷四個選項即可.【詳解】記.對于A：因為，所以當時，不等式的解集為.故A正確；對于B：當時，在同一個坐標系內(nèi)作出和的圖像如圖示，所以不等式的解集為或的形式.故B錯誤；對于C：當時，不等式的解集為 令解得：或，所以不等式的解集為.故C正確；對于D: 當時，不等式可化為，解得：，所以原不等式的解集為.故D正確.故選：ACD 三、填空題13．已知命題“”為真命題，則的取值范圍為__________.【答案】【分析】分離參數(shù)，求的最小值即可.【詳解】，即對恒成立，設(shè)，則，所以.故答案為：.14．已知冪函數(shù)，經(jīng)過點，則__________.【答案】1或【分析】運用代入法進行求解即可.【詳解】因為函數(shù)的圖像過點，所以有，或，故答案為：或15．寫出一個值域為的奇函數(shù)__________.【答案】（答案不唯一）.【分析】根據(jù)基本函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】函數(shù)是奇函數(shù)，且值域為，故答案為：（答案不唯一）.16．已知關(guān)于的不等式的解集是，其中，則下列結(jié)論①；②；③；④.正確的有__________.（填上所有正確的序號）.【答案】①②④【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集結(jié)合韋達定理判斷①④；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合判斷②③.【詳解】，即，∵的解集是，則的兩根為，且，∴，則，①、④正確；，即，∵的兩根為，則與的交點的橫坐標為，且的零點為，如圖所示：則，②正確；則，③錯誤；故答案為：①②④. 四、解答題17．已知.(1)求；(2)若全集，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）解分式不等式確定集合，然后由交集定義計算；（2）由補集、交集定義計算．【詳解】（1）由得，所以，即，由，所以；.（2）因為，所以.18．已知集合.(1)命題，命題，且是的必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍；(2)若為真命題，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)解一元二次不等式的方法，結(jié)合必要不充分條件對應(yīng)集合的之間的關(guān)系進行求解即可；（2）根據(jù)存在性的定義，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法，利用函數(shù)的單調(diào)性分類討論進行求解即可.【詳解】（1）解不等式，即，解得，所以，.由于是的必要不充分條件，則B是A的真子集，所以且不同時取等，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是；（2）若為真命題令，①若時，，任取且則因為，則，故，即.所以，函數(shù)在上是增函數(shù).所以所以.②，則，所以.③若時，同①可知函數(shù)在上是增函數(shù)所以所以.綜上，實數(shù)的取值范圍是.19．已知正數(shù)滿足，，求(1)的最小值；(2)的最小值.【答案】(1)5(2) 【分析】（1）變形利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．（2）正數(shù)，化簡得，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【詳解】（1）由，得，即，所以，當且僅當時取等號.所以的最小值為5.（2）由（1）因為正數(shù)滿足，，，解得：，當且僅當時取等號.所以的最小值為.20．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為200萬元，每生產(chǎn)千件，需另投入成本為.當年產(chǎn)量不足60千件時，（萬元）；當年產(chǎn)量不小于60千件時，（萬元）.通過市場分析，若每件售價為500元時，該廠年內(nèi)生產(chǎn)的商品能全部售完.（利潤銷售收入總成本）(1)寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；(2)年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？【答案】(1)(2)當生產(chǎn)量為79千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大為900萬元. 【分析】（1）由“利潤=銷售收入－總成本”寫出分段函數(shù)L(x)，（注意：單位一致性）（2）分別求出L(x)在各段區(qū)間上的最大值，再比較各段上的最大值可得L(x)的最大值.【詳解】（1）（1）①當時，②當時，所以（2）（2）①當時，，所以當時，取得最大值（萬元）.②當時，當且僅當，即時等號成立.即時，取得最大值（萬元）.又∵ ∴綜上，當生產(chǎn)量為79千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大為900萬元.21．已知定義在上的函數(shù).(1)若，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；(2)解關(guān)于的不等式.【答案】(1)單調(diào)遞減，證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)代入求出的值，即可得到函數(shù)解析式，再利用定義法證明，按照設(shè)元、作差、變形、判斷符號、下結(jié)論的步驟完成即可；（2）首先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)奇偶性、單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.【詳解】（1）解：因為且，即，則，即.函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明如下：任取且，則.因為，則，故，即.因此，函數(shù)在上是減函數(shù)..（2）解：因為，由，所以是上的偶函數(shù)，又因為，所以，由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得.因此，不等式的解集為22．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由；(2)當時.（i）寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不要說明過程）；（ii）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.【答案】(1)答案見解析(2)（i）答案見解析；（ii） 【分析】（1）利用定義法判斷奇偶性；（2）（i）對a分類討論，分為當時和當時，分別寫出單調(diào)區(qū)間；（ii）對a分類討論，分為當時和當時，分別由單調(diào)性求出最大值，列方程即可求解.【詳解】（1）已知.當時，，此時為奇函數(shù)；當時，，此時既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)（2）當時.（i）當時，，單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間；當時，單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（ii）當時，，在上單調(diào)遞增，無最大值，不合題意；當時，由.又由（i）知，在上單調(diào)遞增，則必在區(qū)間上取得最大值2.當，即當時在上單調(diào)遞減，由；當，即當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由（舍）.綜上： 

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