2022-2023學(xué)年黑龍江省雞西市虎林市高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知直線的方程為，則該直線的傾斜角為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)斜率公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)該直線的傾斜角為，直線的方程為，所以則該直線的斜率為，所以.故選：B.2．已知，則（    ）A．（-1，3，-1） B．（3，1，7）C．（1，3，1） D．（1，-3，1）【答案】D【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即向量坐標(biāo)等于終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以.故選：D.3．圓心為，且與x軸相切的圓的方程為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件得出圓的半徑，然后可得答案.【詳解】因?yàn)閳A心為，且與x軸相切，所以此圓的半徑為，所以圓的方程為，故選：B4．在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長，由向量法可得.【詳解】如圖，以AB、AD、分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，則則因?yàn)?/span>所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A5．圓與圓的位置關(guān)系為（    ）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離【答案】B【分析】首先求出圓心坐標(biāo)與半徑，再求出圓心距，即可判斷.【詳解】解：圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，所以，則，所以圓與圓相交.故選：B6．如圖.空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M在OA上，且滿足，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由M，N在線段OA，BC上的位置，用，，表示，，進(jìn)而表示出.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，所以，所以.故選：D.7．已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由漸近線判斷與的關(guān)系，進(jìn)而得到與的關(guān)系，從而得到離心率.【詳解】由雙曲線方程得知：雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，由漸近線方程知：即：，即：，又，∴，，∴.故選：B.8．已知拋物線，定點(diǎn)A(4，2)，F為焦點(diǎn)，P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（    ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的定義把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離即可得．【詳解】如圖，作與準(zhǔn)線垂直，垂足分別為，則，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線即到重合時(shí)等號(hào)成立．故選：B． 二、多選題9．已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（    ）．A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用向量線性關(guān)系、數(shù)量積、模長的坐標(biāo)運(yùn)算判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】由題設(shè)，，A錯(cuò)誤；，B正確；，C正確；，D錯(cuò)誤.故選：BC10．已知圓的一般方程為，則下列說法正確的是（    ）A．圓的圓心為B．圓的半徑為5C．點(diǎn)不在圓上D．圓關(guān)于對(duì)稱【答案】BD【分析】將圓的一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，求得圓心半徑，判斷出A錯(cuò)誤、 B正確；將點(diǎn)帶入圓的方程，滿足方程判斷點(diǎn)在圓上，故C錯(cuò)誤；在直線上，所以圓關(guān)于對(duì)稱.【詳解】可化為：，所以圓的圓心為，半徑為5，故A錯(cuò)誤、 B正確；因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)在圓上，故C錯(cuò)誤；因?yàn)閳A心為在直線上，所以圓關(guān)于對(duì)稱，故D正確；故選：BD.11．已知直線，其中，則（       ）A．若直線與直線平行，則B．當(dāng)時(shí)，直線與直線垂直C．直線過定點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等【答案】BC【分析】由兩直線平行可求得實(shí)數(shù)的值，可判斷A選項(xiàng)；利用直線垂直與斜率的關(guān)系可判斷B選項(xiàng)；求出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷C選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，求出直線的截距式方程，可判斷D選項(xiàng).【詳解】直線的斜率為.對(duì)于A選項(xiàng)，若直線與直線平行，且直線的斜率為，則，解得或，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線的斜率為，直線的斜率為，所以，當(dāng)時(shí)，直線與直線垂直，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)于直線，由，可得，則直線過定點(diǎn)，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即，所以，當(dāng)時(shí)，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相反，D錯(cuò).故選：BC.12．如圖，，是雙曲線：與橢圓的公共焦點(diǎn)，點(diǎn)是，在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn)，設(shè)方程為，則下列說法正確的是（    ）A．B．的內(nèi)切圓與軸相切于點(diǎn)C．若，則的離心率為D．若，則的方程為【答案】BCD【分析】對(duì)于A，根據(jù)題意可得，從而可進(jìn)行判斷，對(duì)于B，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)和內(nèi)切圓的性質(zhì)分析計(jì)算，對(duì)于C，由已知結(jié)合雙曲線的定義可求出，再利用橢圓的定義可求出，從而可求出離心率，對(duì)于D，利用勾股定理和雙曲線的性質(zhì)列方程可求出，從而可求出，進(jìn)而可求出橢圓方程.【詳解】由雙曲線的方程，可知，所以，故A不正確；由雙曲線的定義，可知，設(shè)切點(diǎn)為，由內(nèi)切圓的性質(zhì)，可得，又，所以，故的內(nèi)切圓與軸相切于點(diǎn)，（雙曲線的焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓與軸相切于點(diǎn)）．故B正確；因?yàn)?/span>，，所以，所以，即，所以的離心率為，故C正確．因?yàn)?/span>，所以，又，所以，即，所以，所以，所以，又，所以，橢圓的方程為．故D正確．故選：BCD 三、填空題13．已知 =(3，2，－1)， (2，1，2)，則=___________．【答案】2【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積公式求解即可【詳解】因?yàn)?/span>，故答案為：214．已知直線則與的距離___________.【答案】##1.5【分析】根據(jù)平行線距離公式直接計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?/span>，則與的距離，故答案為：15．已知橢圓C：的左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在橢圓C上，的周長為16，則___________.【答案】5【分析】設(shè)焦距為2c，根據(jù)題意和橢圓的定義可得，結(jié)合計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)焦距為2c，因?yàn)?/span>的周長為16，所以，化簡得①.又，所以，可得②，由①②，解得.故答案為：516．已知雙曲線恰好滿足下列條件中的兩個(gè)：①過點(diǎn)；②漸近線方程為；③離心率．則雙曲線C方程為______．【答案】【分析】利用漸近線以及離心率的定義，列出方程求解即可.【詳解】若選②③，，得，又，化簡得，可得，不符題意，故選②③錯(cuò)；若選①③，，得，過點(diǎn)，得，又由，得到，無解，故選①③錯(cuò)；若選①②，，化簡得，又由且過點(diǎn)，得，解得，故此時(shí)，雙曲線C方程為故答案為： 四、解答題17．已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，.（1）求邊上中線所在直線的方程；（2）求邊上高所在直線的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求得中點(diǎn)坐標(biāo)后可得中線斜率，由點(diǎn)斜式可得直線方程；（2）根據(jù)垂直關(guān)系可求得，由點(diǎn)斜式可得直線方程.【詳解】（1）中點(diǎn)為，，直線方程為：，即；（2），，直線方程為：，即.18．求滿足下列條件的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)長軸在x軸上，長軸的長為12，離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)準(zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(3)焦點(diǎn)，，一個(gè)頂點(diǎn)為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由長軸長和離心率求出，進(jìn)而求出的值，得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由準(zhǔn)線方程得，得拋物線方程；（3）由頂點(diǎn)坐標(biāo)和焦點(diǎn)坐標(biāo)得，的值，求得，得雙曲線的方程.【詳解】（1）由已知，，，得：，，從而.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以拋物線的焦點(diǎn)在軸的正半軸，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（3）設(shè)雙曲線方程為，由題設(shè)可得，故，故雙曲線方程為.19．已知空間向量．(1)若，求(2)若，求實(shí)數(shù)k的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)向量的共線，列出比例式，可得答案；（2）求出向量的坐標(biāo)，根據(jù)可得數(shù)量積為0，即得關(guān)于k的方程，解得答案.【詳解】（1）由題意知，∵，∴，解得：，故，故．（2）因?yàn)?/span>，，由得即，解得．20．如圖，已知平面，底面為矩形，，分別為，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2) 【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，證明四邊形為平行四邊形，從而得，進(jìn)而可證明平面；（2）由題意，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)的平面向量，求出平面的法向量，由向量的夾角公式代入求解.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，，∵，分別為，的中點(diǎn)，∴且，又為的中點(diǎn)，底面為矩形，∴且，∴且，故四邊形為平行四邊形，∴，又∵平面，平面，∴平面（2）由題意，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∵，所以，故，設(shè)平面的法向量，則，得，設(shè)與平面所成角為，則，故與平面所成角的正弦值為.21．已知圓C：，直線l：.(1)當(dāng)a為何值時(shí)，直線l與圓C相切；(2)當(dāng)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=時(shí)，求直線l的方程.【答案】(1)；(2)或. 【分析】（1）由題設(shè)可得圓心為，半徑，根據(jù)直線與圓的相切關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)線距離公式列方程求參數(shù)a的值即可.（2）根據(jù)圓中弦長、半徑與弦心距的幾何關(guān)系列方程求參數(shù)a，即可得直線方程.【詳解】（1）由圓：，可得，其圓心為，半徑，若直線與圓相切，則圓心到直線距離，即，可得：.（2）由（1）知：圓心到直線的距離，因?yàn)?/span>，即，解得：， 所以，整理得：，解得：或， 則直線為或.22．橢圓：（），離心率為，過點(diǎn).(1)求橢圓方程；(2)若橢圓左頂點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于不與D重合的、兩點(diǎn)，求.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根據(jù)求得，然后可得方程.（2）設(shè)直線方程并按斜率是否存在進(jìn)行討論，結(jié)合韋達(dá)定理并表示，計(jì)算即可.【詳解】（1）由題可得，解得，∴橢圓方程為；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，，，∴，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，，由，得，，∴，， ∴綜上，的值為. 

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