一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．
1. 若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則和共軛復(fù)數(shù)的定義得到答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以．
故選：B
2. 在中，記，，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面向量的運(yùn)算，用表示出即可.
【詳解】因?yàn)樵谥?，若，所以點(diǎn)為中點(diǎn)，所以.
故選：D
3. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式求解.
【詳解】由題得.
故選：B.
4. 已知互不重合的直線，，互不重合的平面，，，下列命題錯(cuò)誤的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】C
【解析】
【分析】利用面面平行具有傳遞性的性質(zhì)，可判斷A 選項(xiàng)；利用面面平行與垂直的性質(zhì)，可判斷B選項(xiàng)；利用面面平行的性質(zhì)定理可判斷C、D選項(xiàng)；
詳解】對(duì)于選項(xiàng)，，則，故A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，，則，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)，，則或，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，，根據(jù)面面平行，可證得線面平行，即，故正確.
故選：C.
5. 已知，則的值是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用兩角和與差的正切公式即可得到答案.
【詳解】
.
故選：B.
6. 在中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，b＝2c，，則a=（ ）
A. 13B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由三角形的面積公式可求出，再由余弦定理即可求出答案.
【詳解】因?yàn)椋驗(yàn)?，所以?br>，解得：，
，由余弦定理可得：.
解得：.
故選：C.
7. 在三棱錐P－ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，PC＝4，M是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則PM的最小值為（ ）
A. 2B. 2C. 4D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)線面垂直得出PC⊥CM，利用勾股定理及正三角形的性質(zhì)可得答案.
【詳解】如圖，連接CM，因?yàn)镻C⊥平面ABC，平面ABC，所以PC⊥CM，
因?yàn)镻C＝4，所以，
要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，當(dāng)CM⊥AB時(shí)CM有最小值，
此時(shí)有，所以PM的最小值為.
故選：B.
8. 平行四邊形中，，，，點(diǎn)在邊上，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，把的取值范圍轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的值域問(wèn)題，即可求得本題答案.
【詳解】作，垂足為，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，軸建立如下圖的平面直角坐標(biāo)系.
因?yàn)椋?所以，
在直角中，因?yàn)椋?，所以，?br>則，設(shè)，
所以，
所以，
因?yàn)槎魏瘮?shù)開口向上，對(duì)稱軸為，且，
所以當(dāng)時(shí)，取最小值，當(dāng)時(shí)，取最大值，
所以的取值范圍是.
故選：C
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積、平行、垂直、模等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】，A選項(xiàng)正確.
，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤
，
所以，所以C選項(xiàng)正確.
，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AC
10. 如圖，用正方體ABCD一A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. MN與CC1垂直
B. MN與AC垂直
C. MN與BD平行
D. MN與A1B1平行
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)線線垂直、線線平行等知識(shí)確定正確答案.
【詳解】由于是的中點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，則是的中點(diǎn)，
由于是的中點(diǎn)，所以，C選項(xiàng)正確.
根據(jù)正方體的性質(zhì)可知平面，
由于平面，所以，所以，A選項(xiàng)正確.
由于，所以，B選項(xiàng)正確.
由于，與相交，所以與不平行，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：ABC
11. 下列選項(xiàng)中，與的值相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式可得，然后利用二倍角公式和兩角和與差的三角函數(shù)，逐項(xiàng)判斷即得.
【詳解】因?yàn)椋?br>A. ，故錯(cuò)誤；
B. ，故正確；
C. ，故正確；
D. ，故錯(cuò)誤；
故選：BC.
12. 在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則為等腰三角形
C. 若，則
D. 若，，符合條件的有兩個(gè)，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】A項(xiàng)，：表示角平分線的單位向量，由此判斷三角形；B，C利用正弦定理判斷即可；D利用三角形的邊與高線的關(guān)系判斷即可．
【詳解】A項(xiàng)：表示角平分線的單位向量，由已知可得的角平分線與直線垂直，
則為等腰三角形，則，A正確；
B項(xiàng)：中，，又，，所以或，
即或，可得的形狀為等腰三角形或直角三角形．故B錯(cuò)誤；
C項(xiàng)，因?yàn)?，由正弦定理，得，所以，C正確；
D項(xiàng)，符合條件的有兩個(gè)，，且，則由正弦定理得，故，所以，D正確．
故選：ACD．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，．若復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)位于第二象限，實(shí)數(shù)的取值范圍為________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，由條件列不等式求的取值范圍.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由已知可得，，
由可得，
由可得或，
所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，
故答案為：.
14. 如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形，且，，，則該平面圖形的高為________．
【答案】
【解析】
【分析】由直觀圖與平面圖形的關(guān)系還原即可.
【詳解】由直觀圖可得如圖所示的平面圖，
在直角梯形中，，
則該平面圖形的高為．
故答案為：.
15. 海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國(guó)擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A，B兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島_上取兩點(diǎn)C，D，測(cè)得，，，，則A、B兩點(diǎn)的距離為______m．

【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)已知的邊和角，在中，由正弦定理解得，在中，由余弦定理得.
【詳解】因?yàn)椋?，所以，，所以?br>又因?yàn)椋?，?br>
在中，由正弦定理得，即，解得，
中，由余弦定理得，
所以，解得．
故答案為：.
16. 當(dāng)時(shí)，稱有序?qū)崝?shù)對(duì)為點(diǎn)P的廣義坐標(biāo)，若點(diǎn)A、B的廣義坐標(biāo)分別為、，對(duì)于下列命題：①線段AB的中點(diǎn)的廣義坐標(biāo)為；②向量平行于向量的充要條件為；③向量垂直于向量的充要條件為；其中真命題是______．
【答案】①②
【解析】
【分析】對(duì)于①：設(shè)為中點(diǎn)，利用向量的中線公式直接求解；對(duì)于②：利用向量平行直接求解；對(duì)于③：利用向量垂直計(jì)算后判斷.
【詳解】由題意：,.
對(duì)于①：設(shè)為中點(diǎn)，所以.
所以線段的中點(diǎn)的廣義坐標(biāo)為.故①正確；
對(duì)于②：向量平行于向量 ，其中，故②正確；
對(duì)于③：向量垂直于向量.
而.
故③不一定成立.
故答案為：①②.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是理解廣義坐標(biāo)的定義，再結(jié)合中線定理和向量共線定理以及向量垂直的充要條件一一判斷即可.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17. 已知向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求的夾角.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）將條件平方后，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算求得向量的數(shù)量積，進(jìn)而求得，從而得到的值；
（2）根據(jù)條件利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算求得，進(jìn)而得解.
【小問(wèn)1詳解】
由兩邊平方得，又，
代入得，所以，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
，∴，
又∵，∴.
18. 已知.
（1）求的值域；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)兩角和差正弦余弦公式化簡(jiǎn)解析式，再應(yīng)用三角函數(shù)值域求解即得；
（2）先用已知角表示未知角，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求函數(shù)值，再應(yīng)用兩角和差公式求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
，
所以的值域?yàn)?br>【小問(wèn)2詳解】
由（1）得，
因?yàn)椋?br>所以，
所以.
所以
.
19. 在斜三角形中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足．
（1）求角的大?。?br>（2）若，且上的中線長(zhǎng)為，求斜三角形的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理將已知式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用余弦定理即可求出角的大??；
（2）根據(jù)為為上的中線得，結(jié)合余弦定理求出，進(jìn)而求出面積.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?br>所以由正弦定理可得：，
即，
所以，
又，所以，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)闉樯系闹芯€，所以，
即，
所以，
即，
所以 ①，
由余弦定理可得：，
所以 ②
①-②得：，
所以.
20. 在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD垂直于底面ABCD，，E是PC的中點(diǎn)，作于點(diǎn)F．求證：
（1）平面EDB；
（2）平面EFD．
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，連接AC交BD于點(diǎn)G，連接EG，求得向量和，結(jié)合和線面平行的判定定理，即可證得平面．
（2）由（1）求得，得到，根據(jù)，結(jié)合線面垂直的判定定理，即可證得平面EFD．
【小問(wèn)1詳解】
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，連接AC交BD于點(diǎn)G，連接EG，
可得，，，，
因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以G是此正方形的中心，
故點(diǎn)G的坐標(biāo)為，所以，
又因?yàn)椋?，所以?br>而平面，且平面，所以平面．
【小問(wèn)2詳解】
解：由（1）得，所以，，
可得，所以，即．
又由，且，所以平面EFD．
21. 某公園有一塊三角形空地，如圖，在中，，，為了增加公園的觀賞性，公園管理人員擬在中間挖出一個(gè)池塘用來(lái)放養(yǎng)觀賞魚，、在邊上，且．
（1）若，求的長(zhǎng)；
（2）為節(jié)省投入資金，池塘的面積需要盡可能的小，記，試確定為何值時(shí)，池塘的面積最?。?br>【答案】（1）
（2）當(dāng)時(shí)，的面積最小
【解析】
【分析】（1）在中，利用余弦定理可求得的長(zhǎng)，分析可知為等邊三角形，即可得出的長(zhǎng)；
（2）分析可知，利用正弦定理求出、，利用三角形的面積公式以及三角恒等變換化簡(jiǎn)的面積關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的值.
【小問(wèn)1詳解】
解：在中，，，則為等腰三角形，
所以，，
在中，，，，
由余弦定理可得，
所以，，則等腰三角形，且，
所以，，
又因?yàn)?，所以，為等邊三角形，?
【小問(wèn)2詳解】
解：因?yàn)?，其中?br>在中，，，，所以，，
由正弦定理可得，
在中，，，，，
由正弦定理可得，
所以，
，
因?yàn)?，所以，，則，
所以，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，的面積取最小值.
22. 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的伴隨向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的伴隨函數(shù)．
（1）設(shè)函數(shù)，試求的伴隨向量；
（2）將（1）中函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把整個(gè)圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到的圖象，已知，，問(wèn)在的圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得．若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
【答案】（1）
（2）存點(diǎn)滿足題意.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件及兩角和的余弦公式，利用降冪公式及伴隨向量的定義即可求解；
（2）根據(jù)（1）及輔助角公式，利用三角函數(shù)的平移變換及伸縮變換，結(jié)合和向量垂直的條件、三角函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
所以的伴隨向量．
【小問(wèn)2詳解】
，
由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把整個(gè)圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到的圖象，得，
假設(shè)存在點(diǎn)，使得，則
．
即．
又因?yàn)?，?br>所以．
又因?yàn)椋?br>所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，和和同時(shí)等于．
此時(shí)，故在函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)P，使得．

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