2022-2023學(xué)年江西省宜春市宜豐縣宜豐中學(xué)高二創(chuàng)新部上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若函數(shù)，則=（    ）A．- B． C．1 D．0【答案】D【分析】求導(dǎo)后代入求解即可【詳解】由題意，，故故選：D2．若曲線在點處的切線方程為，則（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義有，且，即可求出參數(shù)a.【詳解】由題設(shè)，則，又，所以，故.故選：B3．等差數(shù)列的首項為1，公差不為0，若成等比數(shù)列，則前6項的和為（    ）A．    B．    C．3     D．8【答案】A【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差，由成等比數(shù)列求出，代入可得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差，∵等差數(shù)列的首項為1， 成等比數(shù)列，∴，∴，且，，解得，∴前6項的和為.故選：A.4．已知函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則的圖像大致是（    ）A．   B．  C．   D．    【答案】C【分析】對函數(shù)求導(dǎo)得，易知為奇函數(shù)，排除B、D選項；再對求導(dǎo)，易得在是遞減，即可求解.【詳解】，為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，排除選項B、D，令，，當(dāng)，，也就是在遞減，排除A，故C正確.故選：C．5．已知等比數(shù)列的前n項和為，若，，則（　?。?/span>A．9 B．10 C．12 D．17【答案】B【解析】利用已知條件求得，由此求得所求表達(dá)式的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因為.所以，則.故選：B6．如圖是一個由圓柱和圓錐組成的幾何體，若圓錐的母線長為6，且圓錐的高是圓柱高的，則當(dāng)該幾何體的體積最大時，該幾何體的高為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)圓錐的高為，則底面半徑為，，進(jìn)而得，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解最值即可得答案.【詳解】解：設(shè)圓錐的高為，則底面半徑為，，所以，該幾何體的體積為，所以，令得，所以，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，此時，該幾何體的高為 故選：D7．設(shè)函數(shù)f(x)＝ln x＋在內(nèi)有極值，求實數(shù)a的取值范圍（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，結(jié)合常變量分離法，導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由，因為函數(shù)f(x)＝ln x＋在內(nèi)有極值，所以在內(nèi)有解，即在內(nèi)有解，，設(shè)，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，要想方程在時有解，只需，故選：A8．已知函數(shù)，若對任意的，都有，則實數(shù)a的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而結(jié)合題意得函數(shù)在上單調(diào)遞減，進(jìn)而得在上恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，求解函數(shù)的最大值即可得答案.【詳解】解：令根據(jù)題意，不妨設(shè)且，則不等式等價于，即，所以， 函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，在上恒成立，因為，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，則，所以，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.所以，所以，即.所以，實數(shù)a的最小值為.故選：A 二、多選題9．已知，下列說法正確的是（    ）A．在處的切線方程為 B．單調(diào)遞減區(qū)間為C．的極小值為 D．方程有兩個不同的解【答案】AB【分析】對于A，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；對于B，求導(dǎo)后，由導(dǎo)數(shù)小于零求解；對于C，求導(dǎo)后求極值；對于D，函數(shù)與的交點個數(shù)判斷.【詳解】解：對于A，由（），得，所以， ，所以在處的切線方程為，所以A正確；對于B，由，得，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以B正確；對于C，由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得極大值，所以C不正確；對于D，由C選項可知的最大值為，且當(dāng)時，，當(dāng)時，， 所以函數(shù)與的交點個數(shù)為1，所以有1個解，所以D不正確，故選：AB.10．已知數(shù)列的前項和為，，則下列選項中正確的是（    ）A．B． C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列的前項和為【答案】ACD【分析】根據(jù)轉(zhuǎn)化到，進(jìn)而可知數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，并寫出通項公式及求和公式，即可判斷選項正誤.【詳解】解：，①，②兩式作差得：，，，，即，，.數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，則，.由上述內(nèi)容可知，選項A，C正確.當(dāng)時，，則選項B錯誤.，，，數(shù)列是首項為的等比數(shù)列.則數(shù)列的前項和為，則選項D正確.故選：ACD.11．已知函數(shù)，若對恒成立，則實數(shù)的可能取值為（    ）A．0 B．1 C．2 D．【答案】BC【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性可得在上恒成立，參變分離可得恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最大值，從而求出參數(shù)的取值范圍，即可得解；【詳解】解：因為的定義域為，且，又，所以為在上單調(diào)遞增的奇函數(shù).所以等價于，即在上恒成立，則設(shè)，則當(dāng)時，；當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故.故選：BC12．已知，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)可比較a，c大小，構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性可比較b，c，然后可得答案.【詳解】令函數(shù)，則.當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，則，即，故，B正確.令函數(shù)，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，則，故，A，C正確，D不正確.故選：ABC 三、填空題13．已知等差數(shù)列的前n項和為，，則      .【答案】168【分析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及前n項和公式即可得到結(jié)果.【詳解】因為，所以.故答案為：16814．已知函數(shù)，當(dāng)時，有極大值.寫出符合上述要求的一個的值為         .【答案】4（答案不唯一，滿足即可）【分析】由極大值的概念及求導(dǎo)法則即可求解【詳解】由題意得，，令,解得或，當(dāng)即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取極大值，所以的一個取值可取，故答案為：4（答案不唯一，滿足即可）.15．已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項公式為      ．【答案】【分析】利用取倒數(shù)及等差數(shù)列通項公式即可求解.【詳解】由兩邊取倒數(shù)可得，即．所以數(shù)列是首項為2，公差為3等差數(shù)列.所以，所以．故答案為：.16．若關(guān)于的不等式有且只有3個正整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是      ．【答案】【分析】由原不等式變形為不等式，引入新函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性做出函數(shù)大致圖象，數(shù)形結(jié)合求解即可．【詳解】由，不等式可化為，設(shè)，則，當(dāng)時，，遞增，當(dāng)或時，，遞減，當(dāng)時，，當(dāng)時，，為過定點的動直線，在同一坐標(biāo)系內(nèi)做出函數(shù)的大致圖象，如圖，不等式有且只有3個正整數(shù)解，結(jié)合圖象可知，只需滿足，解得.即當(dāng)時，有且只有3個正整數(shù)解1,2,3.故答案為: ． 四、解答題17．已知等差數(shù)列的前項和為，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，進(jìn)而列方程求解即可；（2）由題知，進(jìn)而根據(jù)分組求和法求解即可.【詳解】（1）解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知得解得，所以數(shù)列的通項公式為；（2）解：由（1）得，所以18．已知函數(shù)(1)若函數(shù)的一個極值點為，求函數(shù)的極值(2)討論的單調(diào)性.【答案】（1）的極小值為，沒有極大值（2）見解析【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)是函數(shù)的一個極值點求出，然后再討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得極值．（2）求出導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)實數(shù)的取值情況討論函數(shù)的單調(diào)性．【詳解】（1）∵，∴，∵是函數(shù)的一個極值點，∴，解得．∴， ∴當(dāng)時，；當(dāng)時，．∴的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，∴的極小值為，沒有極大值．（2）由題意得，①當(dāng)時，對恒成立，所以在上單調(diào)遞減．②當(dāng)時，由，即，得，顯然，且當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，， 單調(diào)遞增．綜上可得，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【點睛】在判斷函數(shù)的單調(diào)性時，可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號進(jìn)行求解，解答涉及含參數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的問題時，一定要弄清參數(shù)對導(dǎo)數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)的符號是否有影響，若有影響，則必須對參數(shù)進(jìn)行分類討論．19．如圖，點為某沿海城市的高速公路出入口，直線為海岸線，，，是以為圓心，半徑為的圓弧型小路.該市擬修建一條從通往海岸的觀光專線，其中為上異于的一點，與平行，設(shè).（1）證明：觀光專線的總長度隨的增大而減??；（2）已知新建道路的單位成本是翻新道路的單位成本的倍.當(dāng)取何值時，觀光專線的修建總成本最低？請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）時，觀光專線的修建總成本最低，理由見解析.【解析】（1）先由題意得到，所以，得出觀光專線的總長度，再由導(dǎo)數(shù)的方法判定其單調(diào)性，即可證明結(jié)論成立；（2）設(shè)翻新道路的單位成本為，總成本為，由（1），根據(jù)題中條件，得到，，對其求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出最值，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由題意，，所以，又，所以觀光專線的總長度，因為當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，即觀光專線的總長度隨的增大而減小.（2）設(shè)翻新道路的單位成本為，總成本為，由題意可得，，，，令，得，因為，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，.所以，當(dāng)時，最小.故當(dāng)時，觀光專線的修建總成本最低.【點睛】思路點睛：導(dǎo)數(shù)的方法求函數(shù)最值的一般思路：（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法判定函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性；（2）由函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性，即可求出最值.20．已知數(shù)列滿足：．(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式．(2)若，證明：．【答案】(1)證明見解析，(2)證明見解析 【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義證得數(shù)列是以2為首項，公差為2的等差數(shù)列，進(jìn)而結(jié)合累加法即可求出數(shù)列的通項公式；（2）裂項相消法求出，即可證出結(jié)論.【詳解】（1）由，故數(shù)列是以2為首項，公差為2的等差數(shù)列，∴，∴，當(dāng)時，滿足，故對．（2）證明：，故，故21．已知函數(shù).(1)若函數(shù)的圖像與直線相切，求實數(shù)a的值；(2)若函數(shù)有且只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)（0，） 【分析】(1)設(shè)切點坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進(jìn)而列出關(guān)于a的方程組，解之即可；(2)由二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知當(dāng)時不符合題意，故，利用分離參數(shù)法可得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖形即可得出結(jié)果.【詳解】（1），設(shè)切點為，則∴時，顯然不成立，∴消去a得∴；（2）令，即有且只有一個解，當(dāng)時，顯然不成立，∴，令，∴與有且只有一個交點，∵，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，又當(dāng)時，→0，當(dāng)當(dāng)時，，當(dāng)時，如圖所示，綜上，a的取值范圍是.【點睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．22．已知函數(shù)，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)判斷函數(shù)的零點的個數(shù)，并說明理由；(2)當(dāng)時，恒成立，求整數(shù)的最大值.【答案】(1)答案見解析(2) 【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，易知當(dāng)時，單調(diào)遞增，在根據(jù)零點存在定理，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意可知當(dāng)時， ，令，對求導(dǎo)可得，再，利用導(dǎo)數(shù)可知的單調(diào)性，根據(jù)零點存在定理，可知存在，使得，由此可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故可求出，再由，可知，可得，再根據(jù)可知的范圍，由此即可求出結(jié)果.【詳解】（1）解：函數(shù)有且只有一個零點.理由如下: 因為當(dāng)時，，所以，在上遞增.所以函數(shù)至多有一個零點， 又時，；時， 所以函數(shù)有且只有一個零點.（2）(2)當(dāng)時，，即，令，所以， 當(dāng)時，，設(shè)，在(0，1]上單調(diào)遞增，且，所以存在，使得，即， 當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. ∴，又在上單調(diào)遞減，又，所以， 所以整數(shù)的最大值是. 

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