2022-2023學(xué)年廣東省珠海市斗門區(qū)第一中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．某校選修乒乓球課程的學(xué)生中，高一年級有30名，高二年級有40名?，F(xiàn)用分層抽樣的方法在這70名學(xué)生中抽取一個(gè)樣本，已知在高一年級的學(xué)生中抽取了6名，則在高二年級的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為（    ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)在高二年級的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為，依題意可得，解得.故選：C.2．若直線與圓相切，則（    ）A． B．2 C．3 D．【答案】A【分析】利用圓心到直線的距離為半徑可求.【詳解】因?yàn)閳A心坐標(biāo)為，半徑為，所以該圓心到直線的距離，結(jié)合解得.故選：A.3．如圖，已知直線PM、QP、QM的斜率分別為、、，則、、的大小關(guān)系為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先判斷三條直線的傾斜角，進(jìn)而根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系即可得出結(jié)論..【詳解】由于直線PM的傾斜角為鈍角，QP、QM的傾斜角為銳角，當(dāng)傾斜角為銳角時(shí)，斜率為正，即，當(dāng)傾斜角為鈍角時(shí)，斜率為負(fù)，即，又因?yàn)閮A斜角為時(shí)，傾斜角越大，斜率越大，即；所以.故選：B.4．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則（    ）A． B． C．或 D．與斜交【答案】C【分析】利用直線的方向向量和平面的法向量垂直來判斷直線和平面的位置關(guān)系.【詳解】∵，， ∴即，∴∥或.故選：C.5．若點(diǎn)是圓上任一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離的最大值為（       ）A．5 B．6 C． D．【答案】C【分析】連接圓心和直線的定點(diǎn)，當(dāng)直線與此線段垂直時(shí)圓心到直線的距離最大，再加半徑即為圓上點(diǎn)到直線距離的最大值【詳解】由題知，直線過定點(diǎn)（0，-1），所以圓心到定點(diǎn)的距離為所以點(diǎn)到直線距離的最大值為故選：C.6．如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn).若，，，則下列向量中與相等的向量是（    ）.A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】，故選：A7．已知曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出曲線（上半圓），直線過定點(diǎn)，求出圖中兩條的斜率可得所求范圍．【詳解】解：曲線整理得，則該曲線表示圓心為，半徑為1的圓的上半部分，直線過定點(diǎn)，如圖，當(dāng)時(shí)，曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由，得或，所以，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查直線與曲線的位置關(guān)系，解題方法是數(shù)形結(jié)合思想，即作出曲線（半圓），而直線是過定點(diǎn)的動(dòng)直線，由直線與半圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可得直線的位置，求出臨界點(diǎn)直線的斜率后可得結(jié)論．8．如圖，已知正方體的棱長為2，M，N分別為，的中點(diǎn)．有下列結(jié)論：①三棱錐在平面上的正投影圖為等腰三角形；②直線平面；③在棱BC上存在一點(diǎn)E，使得平面平面；④若F為棱AB的中點(diǎn)，且三棱錐的各頂點(diǎn)均在同一求面上，則該球的體積為．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】對于①，根據(jù)正投影的特點(diǎn)，作出投影圖形，證明并判斷正投影圖形；對于②，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，得出法向量與不垂直，進(jìn)而得到結(jié)論錯(cuò)誤；對于③，運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示證明線面垂直，進(jìn)而得出面面垂直；對于④，根據(jù)三棱錐的幾何特征，找出外接球球心，進(jìn)而求出外接球半徑，得出外接球體積.【詳解】對于①，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，，如圖，為的中點(diǎn)，，又平面，平面，點(diǎn)，在平面上的正投影分別為，且點(diǎn)在平面上的正投影分別為其本身，三棱錐在平面上的正投影圖為，又，即為等腰三角形，①正確；對于②，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，即， ，，即，又，平面，平面，平面，即是平面的一個(gè)法向量，而，與不垂直，不與平面平行，②錯(cuò)誤；對于③，如圖設(shè)的中點(diǎn)為，連接，由②知，，，，，，即，，，即，又，平面，平面，平面，又平面，平面平面，③正確；對于④，如圖，若為棱AB的中點(diǎn)，又為棱的中點(diǎn)，，平面，平面，平面，，又，和有公共的斜邊，設(shè)的中點(diǎn)為，則點(diǎn)到的距離相等，為三棱錐外接球的球心，為該球的直徑，，，該球的體積為，④正確.綜上所述，正確的結(jié)論為①③④.故選：D. 二、多選題9．新冠肺炎疫情防控期間，進(jìn)出小區(qū)?超市?學(xué)校等場所，我們都需要先進(jìn)行體溫檢測.某班級體溫檢測員對一周內(nèi)甲?乙兩名同學(xué)的體溫進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，其結(jié)果如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．甲同學(xué)體溫的極差為B．乙同學(xué)體溫的眾數(shù)為，中位數(shù)與平均數(shù)不相等C．乙同學(xué)的體溫比甲同學(xué)的體溫穩(wěn)定D．甲同學(xué)體溫的第60百分位數(shù)為【答案】ACD【分析】利用折線圖，對圖中數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，依次分析各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】對于A：甲同學(xué)體溫的極差為-=，故A選項(xiàng)正確；對于B：乙同學(xué)體溫為36.4，36.3，36.5，36.4，36.4，36.3，36.5，其眾數(shù)為，中位數(shù)、平均數(shù)均為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C：根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，甲同學(xué)的體溫平均數(shù)為，與乙同學(xué)的體溫平均數(shù)相同，但甲同學(xué)的體溫極差為，大于乙同學(xué)的體溫極差，故乙同學(xué)的體溫比甲同學(xué)的體溫穩(wěn)定，C選項(xiàng)正確；對于D：甲同學(xué)的體溫從小到大排序?yàn)?/span>36.2，36.2，36.4，36.4，36.5，36.5，36.6.7×60%=4.2，故甲同學(xué)體溫的第60百分位數(shù)為，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD10．盒子里有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中不放回地依次取出2個(gè)球，設(shè)事件“兩個(gè)球顏色相同”，=“第1次取出的是紅球”，=“第2次取出的是紅球”，=“兩個(gè)球顏色不同”．則下列說法正確的是（    ）A．A與相互獨(dú)立 B．A與互為對立C．與互斥 D．與相互獨(dú)立【答案】ABD【分析】設(shè)2個(gè)紅球?yàn)?/span>，2個(gè)白球?yàn)?/span>，運(yùn)用列舉法可得樣本空間，后由事件相互獨(dú)立，對立，互斥相關(guān)概念可得答案.【詳解】2個(gè)紅球?yàn)?/span>，2個(gè)白球?yàn)?/span>，則樣本空間為：，共12個(gè)基本事件.事件A，共4個(gè)基本事件.事件B，共6個(gè)基本事件.事件C，共6個(gè)基本事件.事件D，共8個(gè)基本事件.對于A選項(xiàng)，因，則，故A與相互獨(dú)立.故A正確；對于B選項(xiàng)，注意到，得A與互為對立.故B正確；對于C選項(xiàng)，注意到，則與不互斥.故C錯(cuò)誤.對于D選項(xiàng)，因，則，故D與相互獨(dú)立.故D正確.故選：ABD11．有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，由這組數(shù)據(jù)得到的另一組數(shù)據(jù)，，…，，滿足（為非零常數(shù)），則下列結(jié)論一定成立的是（    ）A．兩組數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)不同 B．兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同C．兩組數(shù)據(jù)的樣本方差相同 D．兩組數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差不同【答案】AC【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差的性質(zhì)判斷即可.【詳解】解：對于A，設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，則新樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)是，平均數(shù)不同，故A正確；對于B，設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，，的中位數(shù)為，則新樣本數(shù)據(jù)，，，的中位數(shù)是，中位數(shù)不同，故B錯(cuò)誤；對于C，樣本數(shù)據(jù)，，，，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，，，兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)性相同，所以方差、標(biāo)準(zhǔn)差相同，故C正確，D錯(cuò)誤；故選：AC．12．關(guān)于正方體，下列說法正確的是（    ）A．直線平面B．若平面與平面的交線為l，則l與所成角為C．棱與平面所成角的正切值為D．若正方體棱長為2，P，Q分別為棱的中點(diǎn)，則經(jīng)過A，P，Q的平面截此正方體所得截面圖形的周長為【答案】ABD【分析】對于A：利用空間向量可得∥，即直線平面；對于B：結(jié)合圖形可得交線為l即直線，利用空間向量求異面直線夾角；對于C：，利用空間向量處理線面夾角問題；對于D：通過平行分析可知經(jīng)過A，P，Q的平面截此正方體所得截面圖形為平行四邊形．【詳解】如圖1，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，則設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有令，則，即∵，則，即∴∥，則直線平面，A正確；結(jié)合圖形可知為平面與平面的交點(diǎn)，則交線為l即為直線∴，則∴l與所成角為，B正確；∵，則∴棱與平面所成角的正切值為，C不正確；如圖2，取棱的中點(diǎn)，連接∵分別為的中點(diǎn)，則∥且又∵∥且，則∥且∴為平行四邊形，則∥∵分別為的中點(diǎn)，則∥且∴為平行四邊形，則∥∴∥同理可證：∥∴經(jīng)過A，P，Q的平面截此正方體所得截面圖形為平行四邊形∵，則其周長為，D正確；故選：ABD． 三、填空題13．若直線與直線平行，則__________.【答案】【分析】利用兩直線平行的充要條件即可.【詳解】由直線與直線平行，可得:，解得，所以，.故答案為：14．將寫有1，2，3，4的4張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是6的倍數(shù)的概率為______．【答案】【分析】利用列舉法寫出基本事件，再結(jié)合古典概型的計(jì)算公式即可求解.【詳解】從4張卡片中不放回地抽取2張，共有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）這6種情況，設(shè)抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是6的倍數(shù)的事件為,其中包含的基本事件有（2，3），（3，4）這2種情況，由古典概型的計(jì)算公式得故概率為．故答案為：.15．已知圓C關(guān)于直線對稱的圓的方程，則圓C的方程為_________.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出圓的圓心關(guān)于直線的對稱點(diǎn)即可作答.【詳解】圓的圓心，半徑，令點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為，于是得，解得，因此圓C的圓心為，半徑，所以圓C的方程為.故答案為：16．過直線上動(dòng)點(diǎn)P作圓的一條切線，切點(diǎn)為A，若使得的點(diǎn)P有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為___________．【答案】【分析】將使得的點(diǎn)P有兩個(gè)，轉(zhuǎn)換為圓心到直線的距離的不等關(guān)系式求解即可【詳解】由題，使得的點(diǎn)P有兩個(gè)，即使得的點(diǎn)P有兩個(gè)，即圓心到直線的距離小于半徑.又圓心到直線的距離，故，即，即故答案為： 四、解答題17．2022年，是中國共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年，為引導(dǎo)和帶動(dòng)青少年重溫共青團(tuán)百年光輝歷程，某校組織全體學(xué)生參加共青團(tuán)百年歷史知識(shí)競賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績組成樣本，并將得分分成以下6組：[40，50）、[50，60）、[60，70）、、[90，100]，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示：(1)試估計(jì)這100名學(xué)生得分的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表）；(2)試估計(jì)這100名學(xué)生得分的中位數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；(3)現(xiàn)在按分層抽樣的方法在[80，90）和[90，100]兩組中抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人參加這次競賽的交流會(huì)，試求兩組各有一人被抽取的概率.【答案】(1)70.5(2)71.67(3)0.6 【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)計(jì)算公式可得；（2）根據(jù)頻率分布直方圖中中位數(shù)計(jì)算公式可得；（3）先計(jì)算每個(gè)分組中的人數(shù)，再根據(jù)分層抽樣的方法選出[80，90）中3人和[90，100]中2人，再計(jì)算兩組各有一人被抽取的概率.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得這100名學(xué)生得分的平均數(shù)（2）因?yàn)槌煽冊?/span>[40，70)的頻率為0.45，成績在[70，80)的頻率為0.3，所以中位數(shù)為（3）在[80，90）和[90，100]兩組中的人數(shù)分別為和人，故在[80，90）分組中抽取的人數(shù)為人，故在[90，100]分組中抽取的人數(shù)為2人，兩組各有一人被抽取的概率為.18．在某社區(qū)舉辦的《“環(huán)保我參與”有獎(jiǎng)問答比賽》活動(dòng)中，甲、乙、丙三個(gè)家庭同時(shí)回答一道有關(guān)環(huán)保知識(shí)的問題．已知甲家庭回答正確這道題的概率是，甲、丙兩個(gè)家庭都回答錯(cuò)誤的概率是，乙、丙兩個(gè)家庭都回答正確的概率是．若各家庭回答是否正確互不影響．(1)求乙、丙兩個(gè)家庭各自回答正確這道題的概率；(2)求甲、乙、丙三個(gè)家庭中恰有2個(gè)家庭回答正確這道題的概率．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）記“甲家庭回答正確這道題”，“乙家庭回答正確這道題”，“丙家庭回答正確這道題”分別為事件，根據(jù)獨(dú)立事件概率的求法列方程組計(jì)算即可；（2）由（1）結(jié)合題意可知所求事件為，其概率利用互斥事件與獨(dú)立事件的概率求法計(jì)算即可.【詳解】（1）記“甲家庭回答正確這道題”，“乙家庭回答正確這道題”，“丙家庭回答正確這道題”，由于相互獨(dú)立，所以和相互獨(dú)立，則，解得，所以乙、丙兩個(gè)家庭各自回答正確這道題的概率分別為.（2）因?yàn)?/span>相互獨(dú)立，且相互互斥，所以，所以恰有2個(gè)家庭回答正確這道題的概率為．19．已知圓過點(diǎn)，，，直線過點(diǎn)且與直線相互平行．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求直線與圓相交所得的弦長．【答案】（1）；（2）8.【分析】（1）設(shè)出圓的一般方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，解方程組可得圓的一般式方程，再化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（2）設(shè)出直線，求出，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離和勾股定理可得弦長.【詳解】（1）設(shè)圓的方程為，,則解得則圓的一般方程為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)直線，代入可得，，直線的方程為：，故圓心到直線的距離,故直線與圓形成的弦長為．20．已知四面體的各棱長均為1，D是棱OA的中點(diǎn)，E是棱AB的中點(diǎn)．設(shè)，，．(1)用向量、、表示、；(2)判斷與是否垂直；(3)求異面直線BD與AC所成角的余弦值．【答案】(1)，；(2)與不垂直；(3)﹒ 【分析】(1)根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解；(2)判斷是否為零即可判斷與是否垂直；(3)根據(jù)向量數(shù)量積公式即可求解.【詳解】（1），；（2），∴與不垂直；（3），，，且，于是，∴異面直線BD與AC所成角的余弦值為． 21．如圖，等腰直角△ACD的斜邊AC為直角△ABC的直角邊，E是AC的中點(diǎn)，F在BC上．將三角形ACD沿AC翻折，分別連接DE，DF，EF，使得平面平面ABC．已知，，(1)證明：平面ABD；(2)若，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2). 【分析】（1）過D作，垂足為G，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定可得平面DEF，進(jìn)而證明即可；（2）先根據(jù)（1）結(jié)合可得，，，再以E為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面CDF的法向量，再根據(jù)面面垂直的向量求法求解即可【詳解】（1）證明：過D作，垂足為G，∵平面平面ABC，平面平面，平面DEF，∴平面ABC，∵平面ABC，∴，∵E是等腰直角三角形ADC斜邊AC的中點(diǎn)，∴，又，DE，平面DEF，∴平面DEF，∵平面DEF，∴，∵，∴，∵平面ABD，平面ABD，∴平面ABD．（2）由題意可知，在等腰直角三角形ADC中，∵，∴，由（1）可知，EF為直角三角形BAC的中位線，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，．以E為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面CDF的法向量，則，，，，，由得，令，則，顯然，平面ABC的法向量，．二面角的余弦值．22．如圖，已知圓，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，．(1)求直線的方程，并判斷直線是否過定點(diǎn)若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不是，請說明理由；(2)求線段中點(diǎn)的軌跡方程；(3)若兩條切線，與軸分別交于，兩點(diǎn)，求的最小值．【答案】(1)，過定點(diǎn)，(2)(3) 【分析】（1）求出以為圓心，為半徑的圓的方程，再根據(jù)線段為圓和圓的公共弦，將兩圓的方程相減可得直線的方程，再令直線中參數(shù)項(xiàng)的自變量為0求解定點(diǎn)即可；（2）設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，直線過的定點(diǎn)為點(diǎn)，根據(jù)幾何性質(zhì)可得始終垂直于，進(jìn)而求得方程即可；（3）設(shè)切線方程為，根據(jù)直線與圓相切化簡可得，設(shè)，的斜率分別為，，則，為的兩根，表達(dá)出，再代入韋達(dá)定理，結(jié)合函數(shù)的范圍求解即可.【詳解】（1），，，故以為圓心，為半徑的圓的方程為，顯然線段為圓和圓的公共弦，則直線的方程為，即，經(jīng)判斷直線過定點(diǎn)，即所以直線過定點(diǎn)（2）因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，的中點(diǎn)為直線與直線的交點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，直線過的定點(diǎn)為點(diǎn)，易知始終垂直于，所以點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，又，，故該圓圓點(diǎn)，半徑，且不經(jīng)過.點(diǎn)的軌跡方程為（3）設(shè)切線方程為，即，故到直線的距離，即，設(shè)，的斜率分別為，，則，，把代入，得，則，故當(dāng)時(shí)，取得最小值為． 

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