2022-2023學年廣東省珠海市廣東實驗中學金灣學校高二下學期6月月考數(shù)學試題 一、單選題1．函數(shù)的導函數(shù)為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)直接求解即可.【詳解】.故選：D.2．已知，則（    ）A． B．0 C．1 D．【答案】D【分析】根據(jù)賦值法，分別令可解.【詳解】令得：,令得：，所以.故選：D3．在數(shù)列中，，，則的值為（    ）A．5 B． C． D．以上都不對【答案】C【分析】由數(shù)列的遞推公式可先求數(shù)列的前幾項，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列的周期性的特點，進而可求.【詳解】，，，，，數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，，故選：C．4．2013年華人數(shù)學家張益唐證明了孿生素數(shù)(注：素數(shù)也叫做質數(shù))猜想的一個弱化形式，孿生素數(shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個問題之一，可以這樣描述：存在無窮多個素數(shù)p使得p＋2是素數(shù)，素數(shù)對(p，p＋2)稱為孿生素數(shù)，從10以內的素數(shù)中任取兩個，其中能構成孿生素數(shù)的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】以內的素數(shù)有四個，而以內的孿生素數(shù)有，根據(jù)古典概型的概率公式計算即可.【詳解】由題知，以內的素數(shù)有，，，，則是，，，，符合孿生素數(shù)的有，則所求概率為.故選：C5．已知數(shù)列的前n項和滿足，記數(shù)列的前n項和為．則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出數(shù)列的通項公式為，利用裂項相消法求出.【詳解】數(shù)列的前n項和滿足，所以，當n=1時，；當時，.經檢驗，對n=1也成立.所以.所以所以.故選：C6．已知函數(shù)在上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（    ）．A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意參變分離得到，求出的最小值，進而求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】由題意得：在上恒成立，即，其中在處取得最小值，，所以，解得：，故選：D7．電子設備中電平信號用電壓的高與低來表示，高電壓信號記為數(shù)字1，低電壓信號記為數(shù)字0，一串由0和1組成的不同排列代表不同的電平信號，所用數(shù)字只有0和1，例如001100就是一個信息．某電平信號由6個數(shù)字構成，已知其中至少有四個0，則滿足條件的電平信號種數(shù)為（    ）A．42 B．22 C．20 D．15【答案】B【分析】根據(jù)給定的信息，利用組合知識分類列式求解作答.【詳解】依題意，求電平信號種數(shù)可以有3類辦法，電平信號的6個數(shù)字中有4個0，有種，電平信號的6個數(shù)字中有5個0，有種，電平信號的6個數(shù)字中有6個0，有種，由分類加法計數(shù)原理得滿足條件的電平信號種數(shù)為.故選：B8．已知，，，則下列判斷正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，然后利用函數(shù)的單調性即可比較大小.【詳解】設，則，當時，，則為增函數(shù)；當時，，則為減函數(shù)．所以，，又，，，且在上單調遞減，所以，所以．故選：C． 二、多選題9．某學校一同學研究溫差與本校當天新增感冒人數(shù)（人）的關系，該同學記錄了5天的數(shù)據(jù)：x568912y1720252835經過擬合，發(fā)現(xiàn)基本符合經驗回歸方程，則（    ）A．樣本中心點為 B．C．，殘差為 D．若去掉樣本點，則樣本的相關系數(shù)r增大【答案】ABC【分析】由回歸直線必過樣本中心可判斷A項、B項，由殘差公式可判斷C項，由相關系數(shù)公式可判斷D項.【詳解】對于A項，因為，，所以樣本中心點為，故A項正確；對于B項，由回歸直線必過樣本中心可得：解得：，故B項正確；對于C項，由B項知，，令，則，所以殘差為，故C項正確；對于D項，由相關系數(shù)公式可知，去掉樣本點后，x與y的樣本相關系數(shù)r不變，故D項錯誤.故選：ABC.10．下列結論正確的是（    ）A．若隨機變量的方差，則B．若隨機變量服從二項分布，且，則C．若隨機變量服從正態(tài)分布，，則D．擲一枚均勻的硬幣兩次，記事件“第一次出現(xiàn)正面”，“第二次出現(xiàn)反面”，則【答案】BC【分析】對于A：直接利用方差的性質進行計算；對于B：根據(jù)二項分布中數(shù)學期望的計算公式列方程，解出；對于C：由正態(tài)分布的性質，直接求得；對于D：由事件A、B不互斥，即可判斷.【詳解】對于A：若隨機變量的方差，則.故A錯誤；對于B：因為隨機變量服從二項分布，且，所以，解得：.故B正確；對于C：由正態(tài)分布的性質，由，則，所以.故C正確；對于D：擲一枚均勻的硬幣兩次，記事件“第一次出現(xiàn)正面”，“第二次出現(xiàn)反面”，因為事件A、B不互斥，所以.故D錯誤.故選：BC11．對于數(shù)列，定義為的“優(yōu)值”.現(xiàn)已知數(shù)列的“優(yōu)值”，記數(shù)列的前項和為，則下列說法正確的是（    ）A． B．C． D．的最小值為【答案】ACD【分析】根據(jù)所給，可得當時，，利用作差的方法求出判斷A，再由等差數(shù)列求和公式求出判斷B，由分析數(shù)列的項的符號變化情況判斷C，求出判斷D.【詳解】由題意可知，，則①，當時，，當時，②，①-②得，，解得，當時也成立，，A正確；，B錯誤；，當時，即，且，故當或9時，的前項和取最小值，最小值為，CD正確.故選：ACD.12．定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且恒成立，則（   ）A． B．C． D．【答案】AB【分析】令，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，再根據(jù)函數(shù)的單調性逐一判斷即可.【詳解】令，則，因為恒成立，所以恒成立，所以在上遞減，所以，即，所以，故A正確；，故B正確；，故C錯誤；故D錯誤.故選：AB.【點睛】關鍵點點睛：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，構造函數(shù)是解決本題的關鍵. 三、填空題13．若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a10a11+a9a12=2e5，則lna1+lna2+…+lna20=           .【答案】50【分析】根據(jù)等比數(shù)列的下標性質，結合對數(shù)的運算性質進行求解即可.【詳解】根據(jù)等比數(shù)列的性質可得，所以.令，則，于是，所以.故答案為：5014．函數(shù)的零點個數(shù)是          ．【答案】2【分析】結合的圖象以及導數(shù)確定正確選項.【詳解】，畫出與的圖象如下圖所示，當時，，，所以在曲線圖象上點的切線方程為，即.由圖可知與有兩個公共點，即有兩個零點.故答案為：15．每年的6月6日是全國愛眼日，某位志愿者跟蹤調查電子產品對視力的影響，據(jù)調查，某高校大約有45%的學生近視，而該校大約有20%的學生每天操作電子產品超過1h，這些人的近視率約為50%，現(xiàn)從每天操作電子產品不超過1h的學生中任意調查一名學生，則他近視的概率為          .【答案】【分析】利用全概率公式列方程求解即可.【詳解】從某高校中任意調查一名學生，記該學生近視為事件A，記該學生每天操作電子產品超過1h為事件B，則從每天操作電子產品不超過1h的學生中任意調查一名學生，則他近視的概率為.由題可知，，.由全概率公式得即解得，即從每天操作電子產品不超過1h的學生中任意調查一名學生，則他近視的概率為.故答案為：.16．已知的展開式中含項的系數(shù)為，則      .【答案】/【分析】求出的展開式通項，然后利用含項的系數(shù)為列方程求解.【詳解】，又的展開式通項為，的展開式通項為，，解得.故答案為：. 四、解答題17．的展開式一共有7項．（1）求展開式中二項式系數(shù)之和；（2）求展開式中的常數(shù)項【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由展開式項數(shù)得，從而由二項式系數(shù)的性質得結論；（2）寫出展開式通項公式，得常數(shù)項所在項數(shù)后可得結論．【詳解】解：（1）由的展開式一共有7項得，所以，的展開式中二項式系數(shù)之和為；（2）由得：展開式的通項為，令，得，所以展開式中的常數(shù)項為．18．已知數(shù)列的前項和為，且滿足.為等差數(shù)列，其前項和為，如圖________，的圖象經過兩個點.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.從圖1，圖2，圖3中選擇一個適當?shù)臈l件，補充在上面問題中并作答【答案】（1）；（2）選圖1：；選圖2：；選圖3：.【分析】（1）由，再根據(jù)直接求解；（2）由為等差數(shù)列，再由圖知與的值，可得的通項公式，進而求得，再利用錯位相減法求得其前項和.【詳解】（1）由，得當時，；當時，，綜上所述，；（2）設等差數(shù)列的公差為，選圖1：可得，，即，解得，則，，①②①②得：，化簡得；選圖2：可得，，即，解得，則，，①②①②得：，化簡得；選圖3：可得，，即，解得，則，，①②①②得：，化簡得.19．某商場為了回饋廣大顧客，設計了一個抽獎活動，在抽獎箱中放10個大小相同的小球，其中5個為紅色，5個為白色.抽獎方式為：每名顧客進行兩次抽獎，每次抽獎從抽獎箱中一次性摸出兩個小球.如果每次抽獎摸出的兩個小球顏色相同即為中獎，兩個小球顏色不同即為不中獎.(1)若規(guī)定第一次抽獎后將球放回抽獎箱，再進行第二次抽獎，求中獎次數(shù)的分布列和數(shù)學期望.(2)若規(guī)定第一次抽獎后不將球放回抽獎箱，直接進行第二次抽獎，求中獎次數(shù)的分布列和數(shù)學期望.(3)如果你是商場老板，如何在上述問兩種抽獎方式中進行選擇？請寫出你的選擇及簡要理由.【答案】(1)分布列答案見解析，數(shù)學期望：(2)分布列答案見解析，數(shù)學期望：(3)答案見解析 【分析】（1）根據(jù)古典概型的運算公式，結合二項分布的性質進行求解即可；（2）根據(jù)古典概型的運算公式，結合數(shù)學期望公式進行求解即可；（3）根據(jù)數(shù)學期望的性質，結合商場老板希望進行判斷即可.【詳解】（1）若第一次抽獎后將球放回抽獎箱，再進行第二次抽獎，則每次中獎的概率為，因為兩次抽獎相互獨立，所以中獎次數(shù)服從二項分布，即，所以的所有可能取值為，則，所以的分布列為012所以的數(shù)學期望為.（2）若第一次抽獎后不將球放回抽獎箱，直接進行第二次抽獎，中獎次數(shù)的所有可能取值為，則，，，所以的分布列為012所以的數(shù)學期望為.（3）因為（1）（2）兩問的數(shù)學期望相等，第（1）問中兩次獎的概率比第（2）問的小，即，第（1）不中獎的概率比第問小，即，回答一：若商場老板希望中兩次獎的顧客多，產生宣傳效應，則選擇按第（2）問方式進行抽.回答二：若商場老板希望中獎的顧客多，則選擇按第（1）問方式進行抽獎.20．已知函數(shù)在處有極值2．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）證明：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.【分析】（Ⅰ）求出導函數(shù)，由且求得，并檢驗0是極值點；（Ⅱ）不等式化為，引入函數(shù)，由導數(shù)求得的最小值，最小值大于0，從而證得不等式成立．【詳解】（Ⅰ）解：由已知，，則  解得，  經檢驗，符合題意.     （Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知，．要證，只需證．即．         令，則．   令，解得．                 ，的變化情況如下表所示．1－0+單調遞減1單調遞增所以，時，有最小值．故成立21．為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進行動物與人體試驗．研究人員將疫苗注射到200只小白鼠體內，一段時間后測量小白鼠的某項指標值，按分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示，實驗發(fā)現(xiàn)小白鼠體內產生抗體的共有160只，其中該項指標值不小于60的有110只，假設小白鼠注射疫苗后是否產生抗體相互獨立．抗體指標值合計小于60不小于60有抗體   沒有抗體   合計   (1)填寫下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表及的獨立性檢驗，判斷能否認為注射疫苗后小白鼠產生抗體與指標值不小于60有關．（單位：只）(2)為檢驗疫苗二次接種的免疫抗體性，對第一次注射疫苗后沒有產生抗體的40只小白鼠進行第二次注射疫苗，結果又有20只小自鼠產生抗體．（i）用頻率估計概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后產生抗體的概率p；（ii）以（i）中確定的概率p作為人體注射2次疫苗后產生抗體的概率，進行人體接種試驗，記n個人注射2次疫苗后產生抗體的數(shù)量為隨機變量X．試驗后統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，當X =99時，P（X）取最大值，求參加人體接種試驗的人數(shù)n．參考公式：（其中為樣本容量）0.500.400.250.150.1000.0500.0250.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024【答案】(1)表格見解析，可以認為(2)（i）；（ii）109或110． 【分析】(1)根據(jù)獨立性檢驗的方法求解即可；(2)根據(jù)二項分布的概率公式列出不等式即可求解.【詳解】（1）由頻率分布直方圖，知200只小白鼠按指標值分布為：在內有（只）；在內有（只）；在內有（只）；在內有（只），在內有（只）．由題意，有抗體且指標值小于60的有50只；而指標值小于60的小白鼠共有只，所以指標值小于60且沒有抗體的小白鼠有20只，同理，指標值不小于60且沒有抗體的小白鼠有20只，故列聯(lián)表如下：單位：只抗體指標值合計小于60不小于60有抗體50110160沒有抗體202040合計70130200零假設為:注射疫苗后小白鼠產生抗體與指標值不小于60無關聯(lián)．根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得，根據(jù)的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為注射疫苗后小白鼠產生抗體與指標值不小于60有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.（2）（i）令事件A=“小白鼠第一次注射疫苗產生抗體”，事件B=“小白鼠第二次注射疫苗產生抗體’’，事件C=“小白鼠注射2次疫苗后產生抗體”，記事件A，B，C發(fā)生的概率分別為，則，，，所以一只小白鼠注射2次疫苗后產生抗體的概率，（ii）由題意，知隨機變量，，因為最大，所以，解得 是整數(shù)，所以或，接受接種試驗的人數(shù)為109或110．22．設函數(shù).(1)若曲線在點處的切線與直線垂直，求的單調區(qū)間（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；(2)若對任意恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為.(2) 【分析】（1）由導數(shù)的幾何意義結合題意先求出，再用導數(shù)法研究函數(shù)的單調性即可；（2）令，由題意可知在上單調遞減，則在上恒成立，即可轉化為求二次函數(shù)的最值問題，即可求解【詳解】（1）由，知，且，因為曲線在點處的切線與直線垂直，所以，所以，得，                                   所以，令，得，在上單調遞減；令，得，在上單調遞增；綜上，的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為.（2）因為，恒成立，則有，對恒成立，令，則對恒成立，所以在上單調遞減，所以在上恒成立，故恒成立，           令，則.所以的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查了化歸轉化的思想，屬于難題.不等式恒成立，可以變量集中后構造新函數(shù)，則此函數(shù)在上單調遞減，進而轉化為在上恒成立，最終變量分離求最值即可． 

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