2022-2023學年廣西壯族自治區(qū)玉林市高二下學期7月期末數(shù)學試題 一、單選題1．已知R為實數(shù)集，集合或，，則圖中陰影部分表示的集合為（    ）  A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)即可求解.【詳解】由圖可知陰影部分表示,，故選：C2．下列說法正確的是（    ）A．殘差圖中殘差點所在的水平帶狀區(qū)域越寬，則回歸方程的預報精確度越高B．樣本相關系數(shù)r越大，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關性越強；反之，線性相關性越弱C．回歸直線就是散點圖中經過樣本數(shù)據(jù)點最多的那條直線D．甲、乙兩個模型的決定系數(shù)分別約為0.88和0.80，則模型甲的擬合效果更好【答案】D【分析】根據(jù)殘差的定義即可判斷A，根據(jù)相關系數(shù)以及決定系數(shù)的性質即可判斷BD,根據(jù)回歸直線方程的定義即可判斷C.【詳解】對應A，殘差圖中殘差點所在的水平帶狀區(qū)域越窄，則回歸方程的預報精確度越高，故A錯誤，對于B，樣本相關系數(shù)r的絕對值越大，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關性越強；反之，線性相關性越弱，故B錯誤，對于C，回歸直線就是散點圖中，從整體上看大致在一條直線的附近的那條直線，并不是經過數(shù)據(jù)點最多的直線，故C錯誤，對于D,決定系數(shù)越大則擬合效果越好，由于，則模型甲的擬合效果更好,故D正確，故選:D3．北京大學一個班級的6名同學準備去參加冬奧會志愿服務活動，其中甲和乙兩位同學要么都去，要么都不去，其他人根據(jù)個人情況可選擇去也可選擇不去，則這6名同學不同的去法種數(shù)有（    ）A．16 B．32 C．48 D．64【答案】B【分析】分甲和乙都去和甲和乙都不去兩類，利用分類計數(shù)原理求解.【詳解】解：第一類，甲和乙都去，去法種數(shù)為，第二類，甲和乙都不去，去法種數(shù)為，由分類計數(shù)原理知：這6名同學不同的去法種數(shù)有16+16=32，故選：B4．若函數(shù)滿足，且當時，，則（    ）A．10 B．4 C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)條件，得出是周期函數(shù)，從而得到，再根據(jù)條件即可求出結果.【詳解】因為，所以函數(shù)是周期函數(shù)，且它的一個周期為4，所以，又當時，，所以，故.故選：B.5．函數(shù)的大致圖象為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用函數(shù)的奇偶性排除選項C和D，再利用函數(shù)的特殊點排除選項B即可.【詳解】由，解得，所以函數(shù)定義域為關于原點對稱，又，所以函數(shù)在定義域上為偶函數(shù)，排除C和D，當時，，排除B.故選：A6．隨機變量X的分布列如表所示，若，則（    ）X01PabA．3 B． C．5 D．9【答案】C【分析】由，利用隨機變量X的分布列列出方程組，求出，，由此能求出，再由，能求出結果．【詳解】，由隨機變量X的分布列得：，解得，，.故選：C．7．在R上是增函數(shù)的充分不必要條件是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調性，可得a的范圍，再由充分必要條件的含義，得解.【詳解】在R上是增函數(shù)，則有，解得，所以在R上是增函數(shù)的充要條件是，則充分不必要條件要求是的真子集，只有D選項滿足，即?.故選：D8．已知，且，則的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正態(tài)密度曲線的對稱性求出的值，然后將與相乘，展開后可求得的最小值.【詳解】因為，且，則，解得，因為，則，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，故的最小值為.故選：C. 二、多選題9．下列命題為真命題的是（    ）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則【答案】BC【分析】根據(jù)不等式的性質，結合作差法即可結合選項逐一求解.【詳解】對于A,由,若時，不一定，故A錯誤，對于B，若，所以故，所以，故B正確，對于C,由得，又，所以，故C正確，對于D，由于，無法確定的正負，所以的正負無法確定，故與的大小無法確定，故D錯誤，故選：BC10．下列說法中正確的是（    ）A．若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為B．若，則，C．函數(shù)的值域為D．在上單調遞減【答案】BC【分析】利用抽象函數(shù)定義域的求解原則可判斷A選項；利用換元法求函數(shù)的解析式，可判斷B選項；利用指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的基本性質求出函數(shù)的值域，可判斷C選項；利用反比例型函數(shù)的單調性可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為函數(shù)的定義域為，對于函數(shù)，則，解得，即函數(shù)的定義域為，A錯；對于B選項，若，令，可得，所以，，其中，所以，，，B對；對于C選項，因為，，即函數(shù)的值域為，C對；對于D選項，函數(shù)的減區(qū)間為、，但函數(shù)在上不單調，D錯.故選：BC.11．有甲、乙、丙等6名同學，則說法正確的是（    ）A．6人站成一排，甲、乙兩人不相鄰，則不同的排法種數(shù)為480B．6人站成一排，甲、乙、丙按從左到右的順序站位，則不同的站法種數(shù)為240C．6名同學平均分成三組到A、B、C工廠參觀（每個工廠都有人），則有90種不同的安排方法D．6名同學分成三組參加不同的活動，甲、乙、丙在一起，則不同的分組方法有6種【答案】ACD【分析】A選項，利用插空法求解甲、乙兩人不相鄰的排法；B選項，利用倍縮法求解；C選項，先進行平均分組，再進行全排列，得到答案；D選項，先將除甲、乙、丙外的剩余3人分組，再進行全排列，得到答案.【詳解】A選項，6人站成一排，甲、乙兩人不相鄰，先將除甲、乙外的4人進行全排列，有種排法，再將甲、乙兩人插空，有種排法，則共有種不同的排法，A正確；B選項，6人站成一排，甲、乙、丙按從左到右的順序站位，可用倍縮法進行求解，即種不同的站法，B錯誤；C選項，6名同學平均分成三組到A、B、C工廠參觀（每個工廠都有人），則有種不同的安排方法，C正確；D選項，6名同學分成三組參加不同的活動，甲、乙、丙在一起，若還有一位同學與他們一組，共有種分法；若三組同學分為3人一組，2人一組和1人一組，先將除甲、乙、丙外的剩余3人分為兩組，有種分法；共有種分組方法，D正確.故選：ACD12．已知函數(shù)，且.則下列結論一定正確的是（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BD【分析】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，結合選項及函數(shù)單調性逐項判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，因為，所以，令，則，所以函數(shù)在上單調遞增，又，所以當時，，即，所以在上單調遞減，當時，，即，所以在上單調遞增，所以.所以當，取，因為，所以，此時，A錯誤；當時，，由得，即，B正確；當時，取，，滿足，此時，C錯誤；當時，，由得，則，即，D正確.故選：BD. 三、填空題13．若，則      .【答案】4或7【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質，列式計算可得答案.【詳解】由可得或，解得或，故答案為：4或714．設隨機變量，若，則p的值為          .【答案】【分析】根據(jù)二項分布的概率公式，結合對立事件的概率即可求解.【詳解】，由于，所以，故答案為：15．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則          .【答案】/1.5【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義域關于原點對稱以及奇函數(shù)的性質即可求解.【詳解】由于函數(shù)的定義域滿足，故定義域為，根據(jù)奇函數(shù)的定義域關于原點對稱可知，所以，，所以，故，故答案為：16．已知函數(shù)，若不等式對任意恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是        .【答案】【解析】由題意可得對任意恒成立， 轉化為則對任意恒成立，再證明即得解.【詳解】函數(shù)，若不等式對任意恒成立，即為對任意恒成立，即有對任意恒成立，設，，時，，函數(shù)遞減，可得，則對任意恒成立，下面證明因為，所以只需證明只需證明當m=2時，只需證明，因為，所以函數(shù)f(x)在單調遞增，在單調遞減.因為x>0，所以x+1>1,,所以只需證明因為恒成立，所以.則，即的范圍是，．故答案為：，．【點睛】本題考查利用導數(shù)研究不等式恒成立問題，意在考查學生對這些問題的理解掌握水平和分析推理能力，屬于難題． 四、解答題17．在的展開式中只有第7項的二項式系數(shù)最大.(1)求n的值；(2)若其展開式中的常數(shù)項為，求其展開式中所有項的系數(shù)的和.【答案】(1)12(2)0 【分析】（1）根據(jù)二項式系數(shù)的增減性即可求解，（2）利用通項的特征，根據(jù)常數(shù)項可得，進而得，由賦值法即可求解.【詳解】（1）因為只有第7項的二項式系數(shù)最大，所以最大，故，則.（2）根據(jù)（1）可知，二項式為，故的展開式的通項公式為， 令，解得，所以展開式的常數(shù)項為， 解得，所以， 令可得展開式的所有項的系數(shù)和為.18．已知關于的不等式.(1)若不等式的解集為，求、的值；(2)若，解不等式.【答案】(1)(2)答案見解析 【分析】（1）分析可知、是方程的兩根，利用韋達定理可求得、的值；（2）將所求不等式變形為，對、的大小進行分類討論，結合二次不等式的解法可得出原不等式的解集.【詳解】（1）解：原不等式可化為，由題知，、是方程的兩根，由根與系數(shù)的關系得，解得.（2）解：當時，所以原不等式化為， 當時，即時，解原不等式可得；當時，即時，原不等式即為，解得； 當時，即時，解得， 綜上所述，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.19．數(shù)獨是源自18世紀瑞士的一種數(shù)學游戲，玩家需要根據(jù)盤面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行?每一列?每一個粗線宮()內的數(shù)字均含1﹣9，不重復.數(shù)獨愛好者小明打算報名參加“絲路杯”全國數(shù)獨大賽初級組的比賽.（1）賽前小明在某數(shù)獨APP上進行一段時間的訓練，每天的解題平均速度(秒)與訓練天數(shù)(天)有關，經統(tǒng)計得到如表的數(shù)據(jù)：(天)1234567(秒)990990450320300240210現(xiàn)用作為回歸方程模型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，并預測小明經過100天訓練后，每天解題的平均速度約為多少秒？參考數(shù)據(jù)(其中)18450.370.55參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.（2）小明和小紅在數(shù)獨APP上玩“對戰(zhàn)賽”，每局兩人同時開始解一道數(shù)獨題，先解出題的人獲勝，兩人約定先勝4局者贏得比賽.若小明每局獲勝的概率為，已知在前3局中小明勝2局，小紅勝1局.若不存在平局，請你估計小明最終贏得比賽的概率.【答案】（1）回歸方程為，經過100天訓練后，每天解題的平均速度約為140秒；（2）.【分析】（1）（1）令，設關于的線性回歸方程為，結合所給數(shù)據(jù)求出對應的系數(shù)即可得結果，將代入到所求回歸方程即可；（2）由題意求出小明獲勝所需局數(shù)可能取值，分別計算概率，求和即可.【詳解】（1）由題意，，令，設關于的線性回歸方程為，則，則.∴，又，∴關于的回歸方程為，故時，.∴經過100天訓練后，每天解題的平均速度約為140秒；（2）設比賽再繼續(xù)進行局小明最終獲得比賽，則最后一局一定是小明獲勝，由題意知，最多再進行4局就有勝負.當時，小明勝，∴；當時，小明勝，∴；當時，小明勝，∴.∴小明最終贏得比賽的概率為.【點睛】關鍵點點睛：求型的回歸方程，關鍵在于令換元后，轉化為設關于的線性回歸方程為，屬于中檔題.20．已知函數(shù)在處有極值0.(1)討論函數(shù)的單調性；(2)記，若函數(shù)有三個零點，求實數(shù)k的取值范圍.【答案】(1)增區(qū)間，，減區(qū)間上單調遞減(2) 【分析】（1）求得，根據(jù)題意列出方程組，求得的值，進而求得函數(shù)的單調區(qū)間；（2）根據(jù)題意得到，求得，由（1）中函數(shù)的單調性，求得函數(shù)極值，結合題意 列出不等式組，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得， 因為在處有極值0，可得，即，解得或，當時，，此時函數(shù)在R上單調遞增，不滿足在時有極值，故舍去，故，，所以， 可得，∴當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以函數(shù)在，上單調遞增，在上單調遞減.（2）解：由（1），可得，則，由（1）知在和上單調遞增，在上單調遞減，所以的極大值為，的極小值為， 要使函數(shù)有三個零點，則須滿足， 解得，故實數(shù)k的取值范圍為.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的方法求解21．2023年5月10日長征七號火箭劍指蒼穹，搭載天舟六號貨運飛船為中國空間站運送補給物資，為中國空間站的航天員們長時間探索宇宙奧秘提供強有力的后援支持.5月30日，再問蒼穹，神州十六號發(fā)射成功.在“神箭”“神舟”的護送下，景海鵬、朱楊柱、桂海潮3名中國航天員順利進入太空，開啟為期約5個月的巡天之旅.某校部分學生十分關注中國空間站的發(fā)展，若將累計關注中國空間站發(fā)展的消息達到6次及以上者稱為“航天達人”，未達到6次者稱為“非航天達人”.現(xiàn)從該校隨機抽取200人進行分析，得到數(shù)據(jù)如表所示： 航天達人非航天達人合計男8040120女305080合計11090200(1)依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為“航天達人”與性別有關聯(lián)？(2)①從隨機抽取的這200名學生中采用比例分配的分層抽樣的方法抽取20人，再從這20人中隨機抽取3人.記事件A＝“至少有2名是男生”，事件B＝“至少有2名是航天達人的男生”，事件C＝“至多有1名是航天達人的女生”.試計算和的值，并比較它們的大小.②由①中與的大小關系能否推廣到更一般的情形？請寫出結論，并說明理由.參考公式及數(shù)據(jù)，.0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】(1)認為“航天達人”與性別有關聯(lián)(2)①，；；②答案見解析 【分析】（1）根據(jù)卡方的計算即可求解，（2）根據(jù)條件概率的計算公式即可求解.【詳解】（1）零假設：假設“航天達人”與性別無關， 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算得到， 所以根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為“航天達人”與性別有關聯(lián).該推斷犯錯誤的概率不大于0.01.（2）由題意可知：抽取的20人中，男航天達人有8人，非航天達人4人，女航天達人3人，非航天達人5人，①由已知事件表示：“抽取的3人為2男生1女生，男生都是航天達人”和“抽取的3人為3男生，至少兩人是航天達人”， D＝“抽取的3人中為2男生1女生，男生都是航天達人”，E＝“抽取的3人中為3男生且至少兩人是航天達人”，， ， 所以， ，所以.②由①得與相等的關系可以推廣到更一般的情形，即對于一般的三個事件A，B，C，有， 證明過程如下：，得證.22．已知函數(shù)在處的切線方程為(1)求實數(shù)，的值；(2)設函數(shù)，當時，的值域為區(qū)間的子集，求的最小值．【答案】(1)，(2)1 【分析】（1）對函數(shù)求導數(shù)，由切線斜率及切點坐標，列出方程組，解出a，b的值；（2）利用導數(shù)研究的單調性，得函數(shù)的最值的取值范圍，求得m，n的取值范圍.【詳解】（1）定義域為，．由題意知，解得，．（2），則．令，其中，則，所以函數(shù)在上單調遞增．因為，，所以存在唯一，使得，即，可得．當時，，此時函數(shù)單調遞增，當時，，此時函數(shù)單調遞減．所以，當時，因為，，所以，即，因為，．所以當時，，即，．所以，即的最小值為1．【點睛】計算的單調性和最值過程中，利用隱零點的思想表示出函數(shù)的最大值，求出最大值得取值范圍. 

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