一、單選題
1．若復(fù)數(shù)，則的虛部為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡得到，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念，即可求解.
【詳解】由復(fù)數(shù)，所以的虛部為.
故選：B.
2．若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，即可判斷.
【詳解】因?yàn)椋?
故選：B
3．某工廠為研究某種產(chǎn)品的產(chǎn)量（噸）與所需某種原材料的質(zhì)量（噸）的相關(guān)性，在生產(chǎn)過程中收集5組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，如下表所示.（殘差＝觀測值－預(yù)測值）
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為．據(jù)此計(jì)算出在樣本處的殘差為，則表中的值為（ ）
A．1.5B．1.2C．D．
【答案】A
【分析】由已知條件求出的值，再由回歸直線過樣本中心點(diǎn)即可求解.
【詳解】因?yàn)闃颖咎幍臍埐顬椋?，所以?br>所以回歸方程為：，
因?yàn)?，?br>因?yàn)闃颖局行狞c(diǎn)在回歸直線上，所以，解得：，
故選：A.
4．曲線在處切線的傾斜角為，則（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給定函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，再利用齊次式法計(jì)算作答.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，因此，
所以.
故選：D
5．在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，若點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，則它的極坐標(biāo)可能為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用，對(duì)選項(xiàng)逐一分析判斷即可.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)的直角坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)為，
則，
對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，故D正確.
故選：D.
6．元朝著名數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中有一首詩：“我有一壺酒，攜著游春走.遇店添一倍，逢友飲一斗.”基于此情景設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖，若輸入，輸出，則判斷框中可以填（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)框圖計(jì)算可得時(shí)，則，此時(shí)跳出循環(huán)輸出結(jié)果．
【詳解】根據(jù)框圖可得：
輸出，則，此時(shí)跳出循環(huán)
故選：B．
7．用火柴棒按下圖的方法搭三角形，前4個(gè)圖形分別如下，按圖示的規(guī)律搭下去，第10個(gè)圖形需要用多少根火柴（ ）
A．20B．21C．22D．23
【答案】B
【分析】根據(jù)圖形可知：第一個(gè)圖形需要3根火柴棒，后面每多一個(gè)圖形，則多用2根火柴棒，根據(jù)此規(guī)律即可計(jì)算求解.
【詳解】結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)：搭第個(gè)圖形，需要，
則搭第10個(gè)圖形需要根火柴棒，
故選：.
8．某班數(shù)學(xué)課代表給全班同學(xué)們出了一道證明題．甲和丁均說自己不會(huì)證明；乙說：丙會(huì)證明；丙說：丁會(huì)證明．已知四名同學(xué)中只有一人會(huì)證明此題，且只有一人說了真話．據(jù)此可以判定能證明此題的人是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】A
【分析】由丁和丙的說法矛盾，說明有一人說了真話，其它人都說假話，即可確定能證明此題的人.
【詳解】由題設(shè)知：丁和丙的說法矛盾，他們有一人說了真話，則甲、乙說了假話，又四名同學(xué)中只有一人會(huì)證明此題，
∴甲會(huì)證明，乙、丙、丁都不會(huì)證明，
故選：A.
9．已知函數(shù)的圖象與直線相切于點(diǎn)，則（ ）
A．2B．1C．0D．
【答案】B
【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義直接求解出的值，再根據(jù)點(diǎn)在直線上求解出的值，即可計(jì)算出結(jié)果.
【詳解】解：由題意，，
又，∴．
則．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求值，難度較易.求導(dǎo)數(shù)值看對(duì)應(yīng)切線的斜率，求函數(shù)值除了可以代入函數(shù)求值還可以代入切線方程求值.
10．參數(shù)方程為（為參數(shù)）的曲線必過點(diǎn)（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】把曲線的參數(shù)方程化為普通方程，利用驗(yàn)證法分別將選項(xiàng)中的點(diǎn)代入普通方程進(jìn)行驗(yàn)證，即可得出答案.
【詳解】由參數(shù)方程為（為參數(shù)）消去可得：
，
對(duì)于A，令，故A不正確；
對(duì)于B，令，故B不正確；
對(duì)于C，令，故C正確；
對(duì)于D，令，故D不正確；
故選：C.
11．曲線在處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求導(dǎo)，得到切線方程的斜率，進(jìn)而求出切線方程，求出與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積.
【詳解】由，可得，又，，
故在點(diǎn)處的切線方程為，即.
令得，令得，
所以切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為.
故選：A.
12．若函數(shù)在處取得極值，則（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題設(shè)可得，從而可求，注意檢驗(yàn).
【詳解】因?yàn)?，所以?br>又函數(shù)在處取得極值，
所以，即．
此時(shí)，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故是的極大值點(diǎn)，故符合題意．
故選：D．
二、填空題
13．記為虛數(shù)集，設(shè)，則下列類比所得的結(jié)論正確的是 ．
①由，類比得
②由，類比得
③由，類比得
④由，類比得
【答案】③
【詳解】分析：在數(shù)集的擴(kuò)展過程中，有些性質(zhì)是可以傳遞的，但有些性質(zhì)不能傳遞，因此，要判斷類比的結(jié)果是否正確，關(guān)鍵是要在新的數(shù)集里進(jìn)行論證，當(dāng)然要想證明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，也可直接舉一個(gè)反例，要想得到本題的正確答案，可對(duì)3個(gè)結(jié)論逐一進(jìn)行分析，不難解答．
詳解：A：由a?b∈R，不能類比得x?y∈I，如x=y=i，則xy=﹣1?I，故①不正確；
B：由a2≥0，不能類比得x2≥0．如x=i，則x2＜0，故②不正確；
C：由（a+b）2=a2+2ab+b2，可類比得（x+y）2=x2+2xy+y2．故③正確；
D：若x，y∈I，當(dāng)x=1+i，y=﹣i時(shí)，x+y＞0，但x，y 是兩個(gè)虛數(shù)，不能比較大?。盛苠e(cuò)誤
故4個(gè)結(jié)論中，C是正確的．
故答案為：③．
點(diǎn)睛：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）．但類比推理的結(jié)論不一定正確，還需要經(jīng)過證明．
14．用反證法證明命題“已知x、，且，求證：或”時(shí)，應(yīng)首先假設(shè)“ ”.
【答案】且
【分析】根據(jù)反證法的原理可知.
【詳解】根據(jù)反證法的原理可知，求證或時(shí)，應(yīng)首先假設(shè)且.
故答案為：且
15．下列說法正確的命題是 （填序號(hào)）.
①回歸直線過樣本點(diǎn)的中心；
②線性回歸方程對(duì)應(yīng)的直線至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)，，…，中的一個(gè)點(diǎn)；
③在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越寬，其模型擬合的精度越高；
④在回歸分析中，為0.98的模型比為0.80的模型擬合的效果好.
【答案】①④
【分析】根據(jù)回歸分析有關(guān)知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).
【詳解】解：回歸直線經(jīng)過樣本點(diǎn)中心，①正確.
線性回歸方程對(duì)應(yīng)的直線不一定經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)，②錯(cuò)誤.
在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的代狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高，③錯(cuò)誤.
在回歸分析中，越接近越好，④正確.
故答案為：①④
16．某校為研究該校學(xué)生性別與體育鍛煉的經(jīng)常性之間的聯(lián)系，隨機(jī)抽取100名學(xué)生（其中男生60名，女生40名），并繪制得到如圖所示的等高堆積條形圖，則這100名學(xué)生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)為 ．
【答案】68
【分析】根據(jù)等高堆積條形圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，即可得到答案.
【詳解】由等高堆積條形圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，這100名學(xué)生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)為：.
故答案為：68
三、解答題
17．已知，求證：．
【答案】證明見解析
【分析】利用分析法即可證明結(jié)論
【詳解】要證，
只要證，
只要證，
只要證，
只要證明，顯然成立，
所以當(dāng)時(shí)．
18．某公司對(duì)其產(chǎn)品研發(fā)的年投資額（單位：百萬元）與其年銷售量（單位：千件）的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，整理后得到如下統(tǒng)計(jì)表；
(1)求變量和的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并推斷變量和的線性相關(guān)程度；（參考；若，則線性相關(guān)性程度很強(qiáng)；若，則線性相關(guān)性程度一般，若，則線性相關(guān)性程度很弱.）
(2)求年銷售量關(guān)于年投資額的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.
參考公式：樣本相關(guān)系數(shù)；經(jīng)驗(yàn)回歸方程中；參考數(shù)據(jù)
【答案】(1)，變量和線性相關(guān)性程度很強(qiáng)
(2)
【分析】（1）根據(jù)公式求出相關(guān)系數(shù)約等于，從而得到答案；
（2）根據(jù)公式計(jì)算出，，得到答案.
【詳解】（1）由題意，，
因?yàn)椋?br>所以
因?yàn)?，所以變量和線性相關(guān)性程度很強(qiáng).
（2）
根據(jù)得，
所以年銷售量關(guān)于年投資額的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.
19．大學(xué)就業(yè)指導(dǎo)中心對(duì)該校畢業(yè)生就業(yè)情況進(jìn)行跟蹤調(diào)查，發(fā)現(xiàn)不同的學(xué)歷對(duì)就業(yè)專業(yè)是否為畢業(yè)所學(xué)專業(yè)有影響，就業(yè)指導(dǎo)中心從屆的畢業(yè)生中，抽取了本科和研究生畢業(yè)生各名，得到下表中的數(shù)據(jù).
（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)概率不超過的前提下認(rèn)為就業(yè)專業(yè)是否為畢業(yè)所學(xué)專業(yè)與畢業(yè)生學(xué)歷有關(guān)；
（2）為了進(jìn)一步分析和了解本科畢業(yè)生就業(yè)的問題，按分層抽樣的原則從本科畢業(yè)生中抽取一個(gè)容量為的樣本，要從人中任取人參加座談，求被選取的人中至少有人就業(yè)非畢業(yè)所學(xué)專業(yè)的概率.
附：,
【答案】（1）能在犯錯(cuò)概率不超過的前提下認(rèn)為就業(yè)專業(yè)是否為畢業(yè)生所學(xué)專業(yè)與畢業(yè)生學(xué)歷有關(guān)，詳見解析（2）
【分析】（1）計(jì)算，與臨界值表作比較，得到答案.
（2）所取樣本中，就業(yè)為所學(xué)專業(yè)為人，設(shè)為，，，非所學(xué)專業(yè)為人，設(shè)為，，排列出所有情況共10種，滿足條件的7種，得到答案.
【詳解】（1）由題知：，
故能在犯錯(cuò)概率不超過的前提下認(rèn)為就業(yè)專業(yè)是否為畢業(yè)生所學(xué)專業(yè)與畢業(yè)生學(xué)歷有關(guān).
（2）由題知，所取樣本中，就業(yè)為所學(xué)專業(yè)為人，設(shè)為，，，非所學(xué)專業(yè)為人，設(shè)為，.從人中任取人，其結(jié)果有，，，，，，，，，共種情形.
其中事件至少有人就業(yè)非所學(xué)專業(yè)為時(shí)事件，共有種情形，，即所求概率為.
【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，分層抽樣，概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.
20．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再解不等式，即可得解；
（2）參變分離可得恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可求出參數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>則，
由得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）不等式，即，即.
所以問題可轉(zhuǎn)化為恒成立，
令，
則，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得極小值即最小值，即，
所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
21．
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為
(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程;
(2)求直線l與曲線C交點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ>0,0≤θ

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