一、單選題
1．從甲地出發(fā)前往乙地，一天中有4趟汽車、3趟火車和1趟航班可供選擇．某人某天要從甲地出發(fā)，去乙地旅游，則所有不同走法的種數(shù)是（ ）
A．16B．15C．12D．8
【答案】D
【分析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理即得.
【詳解】根據(jù)分類加法計數(shù)原理，可知共有4+3+1=8種不同的走法．
故選：D.
2．袋中裝有11個除顏色外質(zhì)地大小都相同的球，其中有9個紅球，2個黑球．若從中一次性抽取2個球，則恰好抽到1個紅球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由組合知識求得抽取2球的方法數(shù)，由分步計數(shù)原理求得抽取的2個球恰好1個紅球1個黑球的方法數(shù)，然后由概率公式計算．
【詳解】．
故選：D．
3．已知隨機變量，隨機變量，若，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)二項分布的期望和方差公式，結(jié)合期望和方差的性質(zhì)即可求解.
【詳解】因為，所以，，
因為，所以，解得，
又，即，解得.
故選：B
4．已知三個正態(tài)密度函數(shù)（，）的圖像如圖所示，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】由正態(tài)分布的圖像中對稱軸位置比較均值大小，圖像胖瘦判斷標準差的大小.
【詳解】由題圖中的對稱軸知：，
與(一樣)瘦高，而胖矮，
所以.
故選：C
5．回文聯(lián)是我國對聯(lián)中的一種，它是用回文形式寫成的對聯(lián)，既可順讀，也可倒讀，不僅意思不變，而且頗具趣味．相傳，清代北京城里有一家飯館叫“天然居”，曾有一副有名的回文聯(lián)：“客上天然居，居然天上客；人過大佛寺，寺佛大過人．”在數(shù)學中也有這樣一類順讀與倒讀都是同一個數(shù)的正整數(shù)，被稱為“回文數(shù)”，如22，575，1661等．那么用數(shù)字1，2，3，4，5可以組成4位“回文數(shù)”的個數(shù)為（ ）
A．25B．20C．30D．36
【答案】A
【分析】計算出由1個數(shù)字組成的4位回文數(shù)和由2個數(shù)字組成的4位回文數(shù)，相加后得到答案.
【詳解】1，2，3，4，5可以組成的4位“回文數(shù)”中，
由1個數(shù)字組成的4位回文數(shù)有5個，
由2個數(shù)字組成的4位回文數(shù)有個，
所以由數(shù)字1，2，3，4，5可以組成4位“回文數(shù)”的個數(shù)為20+5=25.
故選：A
6．某學校高一、高二、高三的學生人數(shù)之比為，這三個年級分別有20%，30%，20%的學生獲得過獎學金，現(xiàn)隨機選取一名學生，此學生恰好獲得過獎學金，則該學生是高二年級學生的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)條件概率公式計算．
【詳解】設(shè)事件A為被選到的學生獲得過獎學金，事件B為該學生是高二年級學生，則．
故選：B
7．若，則（ ）
A．366B．365C．364D．363
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，利用賦值法列式計算作答.
【詳解】令得：，
令得：，
兩式相加得：，當時，，
所以.
故選：C
8．已知10件產(chǎn)品中，有7件合格品，3件次品，若從中任意抽取5件產(chǎn)品進行檢查，則抽取的5件產(chǎn)品中恰好有2件次品的抽法有
A．種B．種C．種D．種
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，分2步進行分析，第一步從3件次品中抽取2件次品，第二步從7件正品中抽取3件正品，根據(jù)乘法原理計算求得結(jié)果．
【詳解】根據(jù)題意，分2步進行分析：
①.從3件次品中抽取2件次品，有種抽取方法，;
②.從7件正品中抽取3件正品，有種抽取方法， 則抽取的5件產(chǎn)品中恰好有2件次品的抽法有種； 故選：C．
【點睛】本題考查排列組合的實際應(yīng)用，注意是一次性抽取，抽出的5件產(chǎn)品步需要進行排列．
二、多選題
9．下列說法正確的有（ ）
A．若事件與事件互斥，則
B．若，，，則
C．若隨機變量服從正態(tài)分布，，則
D．這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為
【答案】BC
【分析】利用互斥事件的定義判斷A，利用條件概率公式和獨立事件的定義判斷B，利用正態(tài)分布曲線的對稱性判斷C，利用百分位數(shù)的定義判斷D.
【詳解】選項A，若事件與事件互斥，則，故A錯誤；
選項B，若，，，
則，即事件與事件相互獨立，
所以，故B正確；
選項C：若隨機變量服從正態(tài)分布，，
則，
所以，故C正確；
選項D：將數(shù)據(jù)進行排序得，共個，
，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，故D錯誤；
故選：BC
10．下列說法正確的有（ ）
A．數(shù)據(jù)4，7，6，5，3，8，9，10的第70百分位數(shù)為8
B．線性回歸模型中，相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，則這兩個變量線性相關(guān)性越強
C．回歸分析中常用殘差平方和來刻畫擬合效果好壞，殘差平方和越大，擬合效果越好
D．根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)計算得到，依據(jù)的獨立性檢驗（），沒有充分證據(jù)推斷原假設(shè)不成立，即可認為與獨立
【答案】ABD
【分析】將數(shù)據(jù)重排，再按照百分位數(shù)的計算規(guī)則計算即可判斷A，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義判斷B，根據(jù)相關(guān)指數(shù)的定義判斷C，根據(jù)獨立性檢驗的思想判斷D.
【詳解】對于A：數(shù)據(jù)重排后如下：3，4，5，6，7，8，9，10共8個數(shù)，由可得第70百分位數(shù)為第6個數(shù)，即為8，故A正確；
對于B：線性回歸模型中，相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，則這兩個變量線性相關(guān)性越強，故B正確；
對于C：回歸分析中殘差平方和越小，決定系數(shù)越接近于1，擬合效果越好，故C錯誤；
對于D：由獨立性檢驗可知，沒有充分證據(jù)推斷原假設(shè)不成立，即認為與獨立，即D正確.
故選：ABD.
11．已知展開式中的二項式系數(shù)和為32，若，則（ ）
A．n＝5
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】由二項式系數(shù)的性質(zhì)求得，判斷A，然后根據(jù)二項式定理判斷BC，用賦值法求解判斷D．
【詳解】由，得n＝5，A正確．令x＝0，得，B正確．因為n＝5，所以，C錯誤．令x＝－1，得，D正確．
故選：ABD．
12．現(xiàn)分配甲、乙、丙三名臨床醫(yī)學檢驗專家到A，B，C，D，E五家醫(yī)院進行核酸檢測指導(dǎo)，每名專家只能選擇一家醫(yī)院，且允許多人選擇同一家醫(yī)院，則（ ）
A．所有可能的安排方法有125種
B．若A 醫(yī)院必須有專家去，則不同的安排方法有61種
C．若專家甲必須去A 醫(yī)院，則不同的安排方法有16種
D．若三名專家所選醫(yī)院各不相同，則不同的安排方法有10種
【答案】AB
【分析】利用分步計數(shù)原理及排列知識逐項分析即得.
【詳解】對于A，每名專家有5種選擇方法，則所有可能的安排方法有種，A正確；
對于B，由選項A知，所有可能的方法有種，A 醫(yī)院沒有專家去的方法有種，
所以A 醫(yī)院必須有專家去的不同的安排方法有種，B正確；
對于C，專家甲必須去A 醫(yī)院，則專家乙、丙的安排方法有種，C錯誤；
對于D，三名專家所選醫(yī)院各不相同的安排方法有種，D錯誤．
故選：AB.
三、填空題
13．二項式的展開式中的常數(shù)項為 .
【答案】
【解析】先求出二項式展開式的通項公式，再令x的冪指數(shù)等于0，求得r的值，即可求得展開式中的常數(shù)項．
【詳解】解：的展開式的通項公式為，
令，解得，
∴展開式的常數(shù)項為．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．
14．若，則n＝ ．
【答案】3
【分析】根據(jù)排列數(shù)組合數(shù)定義變形后解方程可得．
【詳解】由，得，化簡得n＝3．
故答案為：3．
15．已知隨機變量，若，則 ．
【答案】
【分析】由二項分布的均值和方差公式列方程求得，再由概率公式計算．
【詳解】因為，所以，解得或（舍去），所以．
故答案為：．
四、雙空題
16．某城市的電力供應(yīng)由1號和2號兩個負荷相同的核電機組并聯(lián)提供．當一個機組發(fā)生故障時，另一機組能在這段時間內(nèi)滿足城市全部供電需求的概率為．已知每個機組發(fā)生故障的概率均為，且相互獨立，則機組發(fā)生故障的概率是 ．如果機組發(fā)生故障，那么供電能滿足城市需求的概率是 ．
【答案】 /0.19
【分析】利用互斥事件和相互獨立事件的概率公式計算機組發(fā)生故障的概率，再利用條件概率公式計算作答.
【詳解】設(shè)供電能滿足城市需求為事件A，機組發(fā)生故障為事件B，
則，，所以．
故答案為：；
五、解答題
17．（1）書架上有3本不同的語文書，4本不同的數(shù)學書，2本不同的英語書，將這些書全部豎起排成一排，如果同類書不能分開，一共有多少種不同的排法？
（2）某學校要安排5位同學表演文藝節(jié)目的順序，要求甲既不能第一個出場，也不能最后一個出場，則共有多少種不同的安排方法？
【答案】（1）1728；（2）72.
【分析】（1）用“捆綁法”將同類的書“捆綁在一起”進行排列；
（2）先排兩端的節(jié)目，再安排中間三個節(jié)目．由分步計數(shù)原理計算．
【詳解】解：（1）用“捆綁法”將同類的書“捆綁在一起”進行排列，有種不同的排法，
再將同類書進行排列，有種不同的排法，
所以一共有6×288＝1728種不同的排法．
（2）先排兩端的節(jié)目有種順序，
再排其余3個位置的節(jié)目，有種順序，
所以一共有12×6＝72種不同的安排方法．
18．設(shè)進入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為0.5，購買乙種商品的概率為0.7，且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨立，各顧客之間購買商品也是相互獨立的．
(1)求進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；
(2)求進入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種的概率．
【答案】(1)0.5
(2)0.85
【分析】（1）先把事件“進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種”分成兩個互斥事件，
然后根據(jù)互斥事件概率加法求解即可；
（2）先求事件“進入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種”對立事件概率，
再根據(jù)對立事件概率公式求解即可.
【詳解】（1）解：設(shè)事件A為“進入商場的1位顧客購買甲種商品”，
事件B為“進入商場的1位顧客購買乙種商品”
（1）設(shè)事件C為“進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種”，
則，
所以．
（2）設(shè)事件D為“進入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種”，
則，
所以，
所以．
19．某產(chǎn)品的廣告費用支出x（單位：萬元）與銷售額y（單位：萬元）的數(shù)據(jù)如下表．
(1)在給出的坐標系中畫出散點圖；
(2)建立銷售額關(guān)于廣告費用支出的一元線性回歸模型；
(3)利用所建立的模型，預(yù)測當廣告費用支出為12萬元時，銷售額為多少．
（參考公式：線性回歸方程中的系數(shù)，）
【答案】(1)見解析
(2)
(3)107萬元
【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)直接描點即可；
（2）根據(jù)公式求出所要求的數(shù)據(jù)，分別求出，即可得出答案；
（2）根據(jù)回歸方程，將代入即可得解.
【詳解】（1）解：如圖所示，
（2）解：，，
則，
，
所以，
則，
所以銷售額關(guān)于廣告費用支出的一元線性回歸為；
（3）解：由（2）得，當時，，
所以當廣告費用支出為12萬元時，銷售額為萬元.
20．為了研究高三年級學生的性別與體重是否超過55kg的關(guān)聯(lián)性，某機構(gòu)調(diào)查了某中學所有高三年級的學生，整理得到如下列聯(lián)表．
單位：人
(1)依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為該中學高三年級學生的性別與體重有關(guān)聯(lián)？
(2)按性別采用分層隨機抽樣的方式在該中學高三年級體重超過55kg的學生中抽取9人，再從這9人中任意選取3人，記選中的女生數(shù)為X，求X的分布列與期望．
參考公式和數(shù)據(jù)：，n＝a＋b＋c＋d．
【答案】(1)可以認為該中學高三年級學生的性別與體重有關(guān)聯(lián)；
(2)分布列見解析，1.
【分析】（1）根據(jù)給定數(shù)表，求出的觀測值，再與臨界值表比對即可作答.
（2）求出抽取的9人中男女生人數(shù)，再求出X的可能值及對應(yīng)的概率，列出分布列、計算期望作答.
【詳解】（1）零假設(shè)為：該中學高三年級學生的性別與體重無關(guān)聯(lián)，
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到
，
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為該中學高三年級學生的性別與體重有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001．
（2）依題意，抽取的9人中，男生有人，女生有人，
從中任意選取3人，X的取值可能為0，1，2，3，
且，，，．
則X的分布列為
故．
21．已知．
(1)求展開式中含的項的系數(shù)；
(2)設(shè)的展開式中前三項的二項式系數(shù)的和為，的展開式中各項系數(shù)的和為，若，求實數(shù)的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）求出展開式的通項公式，令的指數(shù)為，可求出值，從而得解；
（2）求出的展開式中前三項的二項式系數(shù)和，再令，求出的展開式中各項系數(shù)的和，然后建立方程即可求解.
【詳解】（1）的展開式的通項為（，1，2，3，4，5）．
令，則，
∴展開式中含的項為，
∴展開式中含的項的系數(shù)為．
（2）由題意可知，，
∵，
∴，解得或．
22．某地區(qū)為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山”的理念，鼓勵農(nóng)戶利用荒坡種植果樹．某農(nóng)戶考察三種不同的果樹苗A，B，C，經(jīng)引種試驗后發(fā)現(xiàn)，引種樹苗A的自然成活率為，引種樹苗B，C的自然成活率均為．
(1)若，任取樹苗A，B，C各一棵，求只有一棵樹苗自然成活的概率；
(2)任取樹苗A，B，C各一棵，記自然成活的棵數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望，若，求的最大值．
【答案】(1)；
(2)分布列見解析，，的最大值為.
【分析】（1）利用互斥事件及獨立事件概率公式即得；
（2）由題可知X的可取0，1，2，3，分別計算概率的分布列，然后利用期望公式即得.
【詳解】（1）依題意，記只有一棵樹苗自然成活為事件M，
則．
（2）依題意，X的所有可能取值為0，1，2，3，
則，
，
，
，
所以的分布列為
，
因為，
當時，取得最大值．
廣告費用支出
3
5
6
7
9
銷售額
20
40
60
50
80
性別
體重
合計
超過55kg
不超過55kg
男
180
120
300
女
90
110
200
合計
270
230
500
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P

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