2024屆山西省晉中市平遙縣第二中學(xué)校高三上學(xué)期第一次質(zhì)檢（8月）數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)型函數(shù)的定義域、一元二次不等式的解法，結(jié)合集合交集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，故選：C2．下列命題中為真命題的是（    ）A．所有的矩形都是正方形B．集合與集合表示同一集合C．是的必要不充分條件D．，【答案】C【分析】由正方形與矩形的概念可判定A項(xiàng)，由描述法的概念可判定B項(xiàng)，由平方的性質(zhì)結(jié)合充分必要條件的定義可判定C項(xiàng)，由配方法可判定D項(xiàng).【詳解】對于A項(xiàng)，所有長寬不等的矩形都不是正方形，故A錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)，由描述法的概念可知集合與集合分別表示點(diǎn)的集合與數(shù)的集合，顯然不表示同一集合，故B錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)，由，不滿足充分性，若則，滿足必要性，故C正確；對于D項(xiàng)，，故D錯(cuò)誤.故選：C3．已知，則的最大值為（    ）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】利用基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，因?yàn)?/span>，解得，故選：B4．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱判斷A；根據(jù)導(dǎo)數(shù)以及奇偶性定義判斷B；由指數(shù)和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷CD.【詳解】對于A，易知的定義域?yàn)?/span>，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故A錯(cuò)誤；對于B，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，令當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，所以是奇函數(shù)，故B正確；對于C，，易知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤；故選：B5．下列命題中，正確的是（    ）A．若a>b，c>d，則ac>bd B．若ac>bc，則a<bC．若a>b，c>d，則a﹣c>b﹣d D．若，則a<b【答案】D【分析】運(yùn)用不等式的性質(zhì)，結(jié)合特殊值法，對選項(xiàng)注逐一判斷正誤即可.【詳解】選項(xiàng)A中，若，時(shí)，則成立，否則，若，則，顯然錯(cuò)誤，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，若，，則能推出，否則，若，則，顯然錯(cuò)誤，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C中，若，則，顯然錯(cuò)誤，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中，若，顯然，由不等式性質(zhì)知不等式兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)，不等式不變號，即.故選：D6．已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是增函數(shù)，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合已知等式、增函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】，所以有，因此函數(shù)的周期是，，，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以，因?yàn)?/span>區(qū)間上是增函數(shù)，所以，所以，所以，故選：D7．已知是r的充分不必要條件，q是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，現(xiàn)有下列命題：①s是q的充要條件；②是q的充分不必要條件；③r是q的必要不充分條件；④r是s的充分不必要條件.正確的命題序號是（    ）A．①④ B．①② C．②③ D．③④【答案】B【分析】根據(jù)條件及充分條件和必要條件的的確定之間的關(guān)系，然后逐一判斷命題①②③④即可.【詳解】因?yàn)?/span>是的的充分不必要條件，所以，推不出， 因?yàn)?/span>是的的充分條件，所以， 因?yàn)?/span>是的必要條件，所以，因?yàn)?/span>是的必要條件，所以，因?yàn)?/span>，，所以，又，，所以是的充要條件，命題①正確，因?yàn)?/span>，，，所以，推不出，故是的充分不必要條件，②正確；因?yàn)?/span>，，所以，是的充分條件，命題③錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，，所以，又，所以是的充要條件，命題④錯(cuò)誤；故選：B.8．已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】易知為上的增函數(shù)，且為奇函數(shù)，將轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?/span>R，且，所以為奇函數(shù)，又為上的增函數(shù)，所以，即，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D. 二、多選題9．(多選)已知都是非零實(shí)數(shù)， 可能的取值組成的集合為A，則下列判斷錯(cuò)誤的是（    ）A．  B．C． D．【答案】ACD【分析】分類討論的正負(fù)情況，從而得到集合的表達(dá)式，由此得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故，所以，故B正確.故選：ACD．10．下列說法正確的是（    ）A．“”是“”的充分不必要條件B．已知a，b為實(shí)數(shù)，則“”是“”的充要條件C．命題p：，，則：，D．已知，，則“”是“”的必要不充分條件【答案】AC【分析】根據(jù)充分性、必要性的定義，結(jié)合對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、存在命題的否定性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A：，或，顯然“”是“”的充分不必要條件，所以該選項(xiàng)正確；B：當(dāng)時(shí)，顯然成立，但是不成立，因此本選項(xiàng)不正確；C： 因?yàn)榇嬖诿}的否定是全稱命題，所以本選項(xiàng)正確；D：因?yàn)?/span>，，所以，，顯然由，當(dāng)時(shí)，顯然成立，但是不成立，所以本選項(xiàng)不正確，故選：AC11．下列函數(shù)中，最小值是4的函數(shù)有（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】根據(jù)基本不等式，對各項(xiàng)逐個(gè)分析判斷，經(jīng)過計(jì)算即可得解.【詳解】對A，，可得 ，當(dāng)時(shí)取等，故A正確，對B，，，故B錯(cuò)誤，對C，， ，當(dāng)取等，故C正確，對D，，，當(dāng)時(shí)取等，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式，在利用基本不等式求最值時(shí)，注意變量的取值范圍，關(guān)鍵是考查能否取等號，屬于基礎(chǔ)題.12．已知函數(shù)對都有，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且對，，當(dāng)時(shí)，都有，則下列結(jié)論正確的是（   ）A． B．是偶函數(shù)C．是周期為4的周期函數(shù) D．【答案】ABC【分析】由的圖象關(guān)于直線對稱，得到關(guān)于軸對稱，賦值后得到，進(jìn)而得到，判斷出ABC均正確；根據(jù)，，當(dāng)時(shí)，都有，得到在上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)的周期及奇偶性得到，，判斷出.【詳解】的圖象關(guān)于直線對稱，故關(guān)于軸對稱，是偶函數(shù)，B正確；中，令得：，因?yàn)?/span>，所以，解得：，A正確；故，是周期為4的周期函數(shù)，C正確；對，，當(dāng)時(shí)，都有，故在上單調(diào)遞增，又是周期為4的周期函數(shù)，且是偶函數(shù)，故，，因?yàn)?/span>，所以，D錯(cuò)誤.故選：ABC 三、填空題13．已知，關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為       .【答案】【分析】根據(jù)“三個(gè)二次關(guān)系”確定參數(shù)值，進(jìn)而解二次不等式即可.【詳解】∵關(guān)于的不等式的解集為，∴，即，∴關(guān)于的不等式可化為，即∴解集為，故答案為：14．已知函數(shù)，則的值為          .【答案】8【分析】利用分段函數(shù)的性質(zhì)，已知時(shí)函數(shù)，利用所給性質(zhì)轉(zhuǎn)化到該區(qū)間上，然后代入求值．【詳解】解：由題意得故答案為【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)求函數(shù)值，關(guān)鍵利用所給性質(zhì)轉(zhuǎn)化到已知函數(shù)解析式的區(qū)間上，屬于基礎(chǔ)題．15．已知函數(shù)，若，則      ．【答案】【分析】本題首先可根據(jù)得出，然后根據(jù)即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，，則，故答案為：.16．若函數(shù)滿足，則        ．【答案】/【分析】根據(jù)的倒數(shù)關(guān)系，利用代入法構(gòu)造方程組進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以有，，得，所以，故答案為： 四、解答題17．已知，試比較與的大小.【答案】【分析】利用兩個(gè)數(shù)都大于0,直接利用作商比較其大小即可.【詳解】，，.兩數(shù)作商，.18．已知集合A={x2﹣3x﹣10≤0}，B={x|m﹣1＜x＜2m+1}（Ⅰ）當(dāng)m=3時(shí)，求A∩B．（Ⅱ）若B?A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2，5]； （2）{m|m≤﹣2或﹣1≤m≤2}.【分析】（Ⅰ）當(dāng)m＝3時(shí)，求得集合B，解不等式求得集合A,進(jìn)而可得交集；（Ⅱ）分B≠?和B＝?兩種情況，列出不等式組求解即可．【詳解】（Ⅰ）當(dāng)m=3時(shí)，A={x2﹣3x﹣10≤0}=[﹣2，5]，B=（2，7）；則A∩B=（2，5]．（Ⅱ）∵B?A，當(dāng)B≠?時(shí)，；解得，﹣1≤m≤2；當(dāng)B=?時(shí)，由m﹣1≥2m+1得，m≤﹣2；故實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|m≤﹣2或﹣1≤m≤2}．【點(diǎn)睛】本題考查了集合的化簡與運(yùn)算，考查了集合間的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．19．已知命題p：對于任意，都有：命題q：存在，使得．若p與q中至少有一個(gè)是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】且【分析】先根據(jù)命題p為真和命題q為真，求得a的范圍，再求得命題p和命題q同時(shí)為真的a的范圍，再求補(bǔ)集即可.【詳解】解：由題意知：命題p：對于任意，都有，若命題p為真，則對于任意，都有，即：命題q：存在，使得．若命題q為真，則方程有解．則有，即 ，解得 或，若p與q都是真命題，則或，所以若p與q中至少有一個(gè)是假命題，實(shí)數(shù)a的取值范圍是且.20．已知定義域?yàn)?/span>R的函數(shù)是奇函數(shù).（1）求a，b的值；（2）解關(guān)于的不等式.【答案】（1）a＝2；b＝1；（2）或.【分析】（1）由是定義在R上的奇函數(shù)，可得f(0)＝0，再由奇函數(shù)的定義可得f（1）＝－f(－1)，從而可求出a，b的值；（2）對函數(shù)變形判斷函數(shù)的增減性，由于函數(shù)為奇函數(shù)，所以可轉(zhuǎn)化為f(t2－2t)<f(－2t2＋1)，再利用單調(diào)性可求得結(jié)果【詳解】（1）因?yàn)?/span>是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即，解得b＝1，所以.又由題意得f（1）＝－f(－1)，知，解得a＝2.（2）由（1）知.由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)(此處可用定義或?qū)?shù)法證明函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)).又因?yàn)?/span>f(x)是奇函數(shù)，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0等價(jià)于f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(－2t2＋1).所以t2－2t>－2t2＋1，即3t2－2t－1>0，解得t>1或t<－，所以該不等式的解集為或.【點(diǎn)睛】此題考查奇函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式，屬于中檔題21．已知二次函數(shù)的最小值為1，且．(1)求的解析式；(2)若在區(qū)間上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)在區(qū)間上，的圖象恒在的圖象上方，試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)，結(jié)合，求得，即可求解；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題意，得到不等式，即可求解；（3）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，設(shè)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得的最小值為，即可求解.【詳解】（1）解：根據(jù)題意，二次函數(shù)滿足，可得函數(shù)的對稱軸為，因?yàn)楹瘮?shù)的最小值為，可設(shè)，又因?yàn)?/span>，可得，解得，所以函數(shù)的解析式為.（2）解：由函數(shù)，其對稱軸為，要使得函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則滿足，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.（3）解：由函數(shù)，若在區(qū)間上，的圖象恒在的圖象上方，則由在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，設(shè)，其對稱軸為，則在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最小值為，則有，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為．22．設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x，恒有，當(dāng)時(shí)，．(1)求證：是周期函數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，求的解析式；(3)計(jì)算．【答案】(1)證明過程見解析(2)(3) 【分析】（1）根據(jù)已知等式，利用賦值法進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)函數(shù)的周期性，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)函數(shù)的周期性進(jìn)行求解即可.【詳解】（1），所以：是以為周期的周期函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，；（3），因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，所以. 

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