2024屆江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期8月診斷測試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知，，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍（     ）A． B．C． D．【答案】B【分析】解不等式可得集合A，根據(jù)可得在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可求得答案.【詳解】解不等式，即，即，又，，故在上恒成立，即在上恒成立，而在上單調(diào)遞減，故，故，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為，故選：B2．一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的內(nèi)切球的表面積和圓錐的側(cè)面積的比為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，圓錐的高為，內(nèi)切球的半徑為，則由題意可得，從而可求得，作出軸截面如圖，利用與相似可求出，從而可求出圓錐的內(nèi)切球的表面積和圓錐的側(cè)面積的比【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，圓錐的高為，內(nèi)切球的半徑為，其軸截面如圖所示，設(shè)為內(nèi)切球球心，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，所以，得，即，所以，所以，因?yàn)?/span>∽，所以,所以，得，所以圓錐的內(nèi)切球的表面積和圓錐的側(cè)面積的比為，故選：A3．設(shè)為正實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足，若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)恰好在直線上，則（    ）A． B．1 C．2 D．4【答案】A【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出，得到在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)代入直線方程即可求解.【詳解】由題意可得，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，將點(diǎn)代入得，解得，故選：A4．已知圓上兩動(dòng)點(diǎn)A，B滿足為正三角形，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為（　?。?/span>A． B．C． D．【答案】D【分析】由條件可得，由此確定點(diǎn)的軌跡方程，再求的最大值可得結(jié)論.【詳解】由題可知是邊長為1的正三角形，設(shè)的中點(diǎn)為，則，又，所以點(diǎn)的軌跡方程為，且．因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)等號成立，所以的最大值為，所以的最大值為．故選：D．5．文化廣場原名地質(zhì)宮廣場，是長春市著名的城市廣場．現(xiàn)某興趣小組準(zhǔn)備在文化廣場上對中央太陽鳥雕塑塔的高度進(jìn)行測量，并繪制出測量方案示意圖，A為太陽鳥雕塑最頂端，B為太陽鳥雕塑塔的基座（即B在A的正下方），在廣場內(nèi)（與B在同一水平面內(nèi)）選取C、D兩點(diǎn)．測得CD的長為興趣小組成員利用測角儀可測得的角有、、、、，則根據(jù)下列各組中的測量數(shù)據(jù)，不能計(jì)算出太陽鳥雕塑塔高度AB的是（     ）  A．m、、、 B．m、、、C．m、、、 D．m、、、【答案】B【分析】依據(jù)解三角形的條件，逐項(xiàng)判斷可解三角形求出太陽鳥雕塑塔高度的選項(xiàng)即可．【詳解】對于A：由，、可以解，又，可求太陽鳥雕塑塔高度；對于B：在中，由，無法解三角形，在中，由，無法解三角形，在中，已知兩角，無法解三角形，所以無法解出任意三角形，故不能求太陽鳥雕塑塔高度；對于C：由，、可以解，可求，又，即可求太陽鳥雕塑塔高度；對于D：如圖，過作于，連接，由，，，知，故可知的大小，由、，可解，可求，又，可求太陽鳥雕塑塔高度；故選：B．  6．在中，點(diǎn)是的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)B），過點(diǎn)的直線分別交直線，于不同兩點(diǎn)，若，均為正數(shù)，則的最小值為（    ）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算表示出，利用三點(diǎn)共線可得，將該式與相乘，結(jié)合均值不等式即可求得答案.【詳解】由題意知，由于M、O、N三點(diǎn)共線，可知，由于均為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng) ，即時(shí)取得等號，故選：C7．設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為q，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則“”是“恒成立”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】充分性直接證明，必要性舉特值驗(yàn)證.【詳解】．當(dāng)時(shí)，，可知．所以“”是“，恒成立”的充分條件．又當(dāng)時(shí)，．若n為偶數(shù)，則；若m為奇數(shù)，則．所以，當(dāng)時(shí)，恒成立．綜上，“”是“恒成立”的充分不必要條件，故選：A．8．函數(shù)的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，易知，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；故在處取得極大值即最大值，所以.故選：B. 二、多選題9．已知F為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，A，B為該橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，若，則滿足條件的橢圓方程為（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)題意為該橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，且，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，分類討論，即可求解.【詳解】由題意，已知F為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，其中為該橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，且，當(dāng)為左右兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，可得，解得，所以，此時(shí)橢圓的方程為；當(dāng)為橢圓短軸的頂點(diǎn)，為長軸的頂點(diǎn)時(shí)，可得解得，則，此時(shí)橢圓的方程為；當(dāng)為橢圓長軸的頂點(diǎn)，為短軸的頂點(diǎn)時(shí)，可得，解得，則，此時(shí)橢圓的方程為.故選：BCD.10．函數(shù)，則（     ）A．為偶函數(shù) B．的最小正周期是C．在上單調(diào)遞增 D．的最小值為【答案】AD【分析】對于A，根據(jù)偶函數(shù)的定義即可判斷；對于B，根據(jù)周期性的定義即可判斷；對于C，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可判斷；對于D，通過去絕對值將原函數(shù)寫成分段函數(shù)，再去求函數(shù)的值域之后即可判斷.【詳解】對于A，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?/span>，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故選項(xiàng)A正確；對于B，因?yàn)?/span>，所以函數(shù)的最小正周期不是，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)時(shí)，，所以，令，解得，令，解得，當(dāng)時(shí)，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上不單調(diào)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)?/span>，所以是函數(shù)的周期，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，因?yàn)?/span>，，所以，所以，所以，綜上所述，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>，所以函數(shù)的值域?yàn)?/span>，即的最小值為，故選項(xiàng)D正確.故選：AD.11．已知函數(shù)的定義域，滿足，且當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（    ）A．是定義在上的偶函數(shù)B．在上單調(diào)遞增C．若，則D．當(dāng)是鈍角的兩個(gè)銳角時(shí)，【答案】BC【分析】利用賦值法及函數(shù)奇偶性的定義可判斷A；根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義結(jié)合條件可判斷B；由題可得，然后利用等比數(shù)列的定義可判斷C；根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件可判斷D.【詳解】對于A，令得，即得，在定義域范圍內(nèi)令得，即是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對于B，令，且，所以，又，且，所以，所以，所以是單調(diào)增函數(shù)，故B正確；對于C，由，可得，即，即，所以是等比數(shù)列，又，所以，故C正確；對于D，因?yàn)?/span>是鈍角的兩個(gè)銳角，則，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12．如果一個(gè)凸n面體共有m個(gè)面是直角三角形，那么我們稱這個(gè)凸n面體的直度為，則（     ）A．三棱錐的直度的最大值為1B．直度為的三棱錐只有一種C．四棱錐的直度的最大值為1D．四棱錐的直度的最大值為【答案】AD【分析】借助于正方體模型，一一判斷各選項(xiàng)，即得答案.【詳解】如圖，借助于正方體模型，圖1中三棱錐的四個(gè)面都是直角三角形，其直度為1，A正確；  圖1中三棱錐，三個(gè)面都是直角三角形，面為正三角形，其直度為；圖2中三棱錐，三個(gè)面都是直角三角形，面為正三角形，其直度為，故直度為的三棱錐不止一種，B錯(cuò)誤；四棱錐的共有5個(gè)面，底面為四邊形，故其直度不可能為1，C錯(cuò)誤；圖3中的四棱錐的四個(gè)側(cè)面都是直角三角形，底面為正方形，故四棱錐的直度的最大值為，D正確，故選：AD 三、填空題13．個(gè)人分乘三輛不同的汽車，每輛車最多坐人，則不同的乘車方法有      種（用數(shù)字作答）．【答案】【分析】先分好組，三組人數(shù)分別為、、或、、，再將三組分配給三輛車，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】先分好組，三組人數(shù)分別為、、或、、，再將三組分配給三輛車，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的乘車方法種數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決分配問題一般遵循先分組再分配的方法進(jìn)行，但要正確判斷是不是平均分組、有序分組，無序平均分組要除以組數(shù)的階乘，有序平均分組是在平均分組的基礎(chǔ)上乘以組數(shù)的階乘.14．在正方體中，為的中點(diǎn)，若該正方體的棱與球的球面有公共點(diǎn)，則球的半徑的取值范圍是        ．【答案】【分析】當(dāng)球是正方體的外接球時(shí)半徑最大，當(dāng)邊長為的正方形是球的大圓的內(nèi)接正方形時(shí)半徑達(dá)到最小.【詳解】設(shè)球的半徑為.當(dāng)球是正方體的外接球時(shí)，恰好經(jīng)過正方體的每個(gè)頂點(diǎn)，所求的球的半徑最大，若半徑變得更大，球會(huì)包含正方體，導(dǎo)致球面和棱沒有交點(diǎn)，正方體的外接球直徑為體對角線長，即，故；  分別取側(cè)棱的中點(diǎn)，顯然四邊形是邊長為的正方形，且為正方形的對角線交點(diǎn)，連接，則，當(dāng)球的一個(gè)大圓恰好是四邊形的外接圓，球的半徑達(dá)到最小，即的最小值為.綜上，.故答案為：15．過點(diǎn)能作雙曲線的兩條切線，則該雙曲線離心率的取值范圍為       .【答案】【分析】分析可知，切線的斜率存在，設(shè)切線方程為，將切線方程與雙曲線的方程聯(lián)立，由可得出關(guān)于的方程，可知方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求出的取值范圍，即可求得該雙曲線的離心率的取值范圍.【詳解】當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，由可得，故直線與雙曲線相交，不合乎題意；當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，聯(lián)立可得，因?yàn)檫^點(diǎn)能作雙曲線的兩條切線，則，可得，由題意可知，關(guān)于的二次方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，所以，，可得，又因?yàn)?/span>，即，因此，關(guān)于的方程沒有的實(shí)根，所以，且，解得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，該雙曲線的離心率的取值范圍是.故答案為：.16．若，，則        ．【答案】【解析】由，兩邊取以 為底的對數(shù)，得，由，令，則，從而可得，則，從而得出答案.【詳解】由，兩邊取以 為底的對數(shù)，得 由，令，則所以，即所以，設(shè)，則所以在上單調(diào)遞增，由以及，則 由即，則故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查對數(shù)的運(yùn)算和構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性得到相應(yīng)關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是由條件得到，利用換元令，進(jìn)一步得到，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到，屬于中檔題. 四、解答題17．如圖，在棱長為2的正方體中，E，F分別是，AB的中點(diǎn).(1)證明：直線平面.(2)求點(diǎn)B到平面的距離.【答案】(1)證明見解析；(2). 【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)三棱錐的體積公式，結(jié)合三棱錐的等積性進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）證明：如圖，連接EF，因?yàn)?/span>E，F分別是，AB的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形為平行四邊形，則.又平面，平面，所以直線平面.（2）連接EB.設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為h.，在中，，，.又因?yàn)?/span>，所以，解得.18．已知a，b，c為的內(nèi)角A，B，C所對的邊，向量，，且.(1)求；(2)若，的面積為，且，求線段的長.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先利用正弦定理化角為邊，再利用余弦定理求出；（2）先根據(jù)面積求出，利用向量運(yùn)算求解的長.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以.  由正弦定理，得，即，  由余弦定理，得.因?yàn)?/span>，所以.（2），解得. 因?yàn)?/span>，所以為的三等分點(diǎn)，，則， 所以，.19．已知函數(shù).(1)求的最大值;(2)證明：【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）利用多次求導(dǎo)的方法求得的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得的最大值.（2）利用導(dǎo)數(shù)，首先將要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證明，然后利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證得不等式成立.【詳解】（1），定義域?yàn)?/span>，則，令，因?yàn)?/span>恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時(shí)，，令，可得，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.（2）要證，即證，令令得，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， ，即，即欲證，只需證也就是證明設(shè)，則，令，得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取到最小值故式成立，從而成立.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值時(shí)，當(dāng)一次求導(dǎo)無法解決，可考慮利用多次求導(dǎo)的方法來進(jìn)行求解.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，可先將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為容易證明的形式，然后利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明.20．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，滿足.（1）求證：；（2）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（3）若，公差，問是否存在，，使得？如果存在，求出所有滿足條件的，，如果不在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）存在，或.【分析】（1）已知條件是時(shí)，，令可證結(jié)論；（2）已知條件變形，用累加的方法得，從而，把此式再寫一次：當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：時(shí)，，同時(shí)也適合此式，從而證明是等差數(shù)列；（3）由求得，讓從2開始一一檢驗(yàn)，看是否有，當(dāng)然時(shí)，有，.【詳解】（1）證明：∵時(shí)，，令得，，∴.（2）由，∴，各式相加得，，當(dāng)時(shí)，，由時(shí)，，而，，也滿足上式，∴為等差數(shù)列.（3）∵，公差為，∴，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，（舍），時(shí)，（舍），當(dāng)時(shí)，（舍），時(shí)，（舍），當(dāng)時(shí)，（舍），當(dāng)時(shí)，，∴，（舍），綜上或.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的證明，由的遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列，由于已知式較復(fù)雜，因此關(guān)鍵是第一步的變形：，這樣可用累加法求得，再由得（），然后說明前3項(xiàng)也適合此表示法，完成證明.這里涉及到與的關(guān)系，要注意在推理過程中的取值范圍.21．一只口袋裝有形狀、大小完全相同的5只小球，其中紅球、黃球、綠球、黑球、白球各1只．現(xiàn)從口袋中先后有放回地取球2n次，且每次取1只球．(1)當(dāng)時(shí)，求恰好取到3次紅球的概率；(2)X表示2n次取球中取到紅球的次數(shù)，，求Y的數(shù)學(xué)期望（用n表示）.【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出從裝有5只小球的口袋中有放回的取球6次，共包含幾種情況，再求出恰好取到3次紅球的取法種數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式即可求得答案.（2）確定隨機(jī)變量Y的所有可能取值，求得的表達(dá)式，繼而計(jì)算，并結(jié)合二項(xiàng)式定理化簡計(jì)算，即可求得答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，從裝有5只小球的口袋中有放回的取球6次，共包含種情況．記“恰好取到3次紅球”為事件A，事件A包含種情況，故即當(dāng)時(shí)，恰好取到3次紅球的概率為（2）由題意知，隨機(jī)變量Y的所有可能取值為0，1，3，5，…，，則，則所以，令，，則，，所以，所以 ，故Y的數(shù)學(xué)期望為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求解隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望時(shí)，按照期望的計(jì)算公式可得的表達(dá)式，關(guān)鍵在于根據(jù)該表達(dá)式化簡求值時(shí)，要令，，從而可結(jié)合二項(xiàng)式定理求出結(jié)果.22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓與拋物線交于點(diǎn)M，N（異于原點(diǎn)O），MN恰為該圓的直徑，過點(diǎn)E（0，2）作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線交于點(diǎn)P．(1)求證：點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為定值；(2)若F是拋物線C的焦點(diǎn)，證明：．【答案】(1)證明過程見解析；(2)證明過程見解析. 【分析】（1）根據(jù)圓和拋物線的對稱性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解證明即可.（2）轉(zhuǎn)化為證明向量分別與向量的夾角相等,應(yīng)用向量夾角余弦公式，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由對稱性可知交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，(-1，1)，代入拋物線方程可得2p=1，所以拋物線的方程為x2=y，設(shè)A，B，所以，所以直線AB的方程為，即，因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)C(0，2)，所以，所以①.因?yàn)?/span>，所以直線PA的斜率為，直線PB的斜率為，直線PA的方程為，即，同理直線PB的方程為，聯(lián)立兩直線方程，可得P由①可知點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為定值-2.（2），，注意到兩角都在內(nèi)，可知要證， 即證，，，所以，又，所以，同理式得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程是解題的關(guān)鍵. 

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