2024屆安徽省高三上學(xué)期8月摸底大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)虛部為（    ）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法、除法運算求出復(fù)數(shù)，再利用共軛復(fù)數(shù)的意義求解作答.【詳解】依題意，，則，所以的共軛復(fù)數(shù)虛部為1.故選：C2．已知集合，則集合的真子集個數(shù)為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】求出后，由真子集的定義可得．【詳解】集合中元素滿足，即該數(shù)為大于1的奇數(shù)，而集合中大于1的奇數(shù)只有3和9. 所以，的真子集有3個，分別是：，，.故選：C.3．2023年7月28日第31屆成都大學(xué)生運動會在成都隆重開幕，將5名大運會志愿者分配到游泳、乒乓球、籃球和排球4個項目進行志愿者服務(wù)，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（    ）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種【答案】C【分析】將5名志愿者分成4組，再分配到4個項目作答.【詳解】依題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，將5名志愿者按分成4組，有種分法，將分得的4組安排到4個項目，有種方法，所以不同的分配方案共有.故選：C4．已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則（    ）A．6 B．3 C．0 D．【答案】A【分析】令，則函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)；由的最大值與最小值，得出的最大值與最小值，由此求出的值．【詳解】令，則所以是定義域上的奇函數(shù)，因此. 又的最大值為，最小值為，的最大值是，最小值是；，則．故選：A.5．已知雙曲線的左、右焦點分別為，一條漸近線為l，過點且與l平行的直線交雙曲線C于點M，若，則雙曲線C的離心率為（    ）A． B． C． D．3【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理、同角的三角函數(shù)關(guān)系式進行求解即可.【詳解】根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設(shè)一條漸近線l的方程為，因此直線的傾斜角的正切值為，即，所以有，設(shè)，由雙曲線定義可知：，由余弦定理可知：，故選：B6．已知向量，函數(shù). 若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用向量數(shù)量積運算將的解析式化簡得，函數(shù)恰有兩個零點，即恰有兩個根，可數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為與圖像有兩個交點，即可得解.【詳解】，由可得，令，則，令，其中，則直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，且，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，即當(dāng)時，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，此時函數(shù)在上有兩個零點，故實數(shù)的取值范圍是.   故選：A.7．英國物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點時，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列，如果，數(shù)列為牛頓數(shù)列，設(shè)且，，數(shù)列的前項和為，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得，然后等比數(shù)列的前項和公式求得，進而求得正確答案.【詳解】依題意，，，，依題意，即，則，（由于，所以），則，兩邊取對數(shù)得，即，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.所以，所以.故選：A8．已知函數(shù)，若存在使得關(guān)于的不等式成立，則實數(shù)的取值范圍（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】將不等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，分析可知該函數(shù)為增函數(shù)，可得出，求出函數(shù)的最小值，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，由可得，即函數(shù)的定義域為，可得，即，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，可得，則，即，其中，令，其中，則，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，解得.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解本題的關(guān)鍵在于將不等式變形為，結(jié)合不等式的結(jié)果構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性以及參變量分離法求解. 二、多選題9．“世界雜交水稻之父”袁隆平發(fā)明了“三系法”秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級雜交稻技術(shù)體系．某水稻種植研究所調(diào)查某地雜交水稻的株高，得出株高（單位：cm）服從正態(tài)分布，其分布密度函數(shù)，，則（    ）A．該地雜交水稻的平均株高為100cmB．該地雜交水稻株高的方差為10C．該地雜交水稻株高在120cm以上的數(shù)量和株高在80cm以下的數(shù)量一樣多D．隨機測量該地的一株雜交水稻，其株高在和在的概率一樣大【答案】AC【分析】由正態(tài)分布密度函數(shù)可知，，則可判斷出AB選項，再由正態(tài)曲線的特征即可判斷出CD選項.【詳解】因為正態(tài)分布密度函數(shù)為，所以，，即均值為100，標(biāo)準(zhǔn)差為10，方差為100，故A正確，B錯誤；根據(jù)正態(tài)曲線的特征可知函數(shù)關(guān)于軸對稱，所以該地雜交水稻株高在120cm以上的數(shù)量和株高在80cm以下的數(shù)量一樣多，故C正確，隨機測量該地的一株雜交水稻，其株高在和在的概率一樣大.故D錯誤．故選：AC.10．下列說法中正確的是（    ）A．在中，，則B．已知，則C．已知與的夾角為鈍角，則的取值范圍是D．若，則三點共線【答案】BD【分析】A項，求出與的夾角，即可求出的值；B項，求出，即可求出的值；C項，寫出的表達式，利用兩向量夾角為鈍角，就可求出的取值范圍；D項，求出的表達式，得出與的關(guān)系，即可證明三點共線.【詳解】由題意，對于A，∵，∴與的夾角為，∴，故A錯誤；對于B，∵，∴，∴，故B正確；對于C，∵與的夾角為鈍角，∴與的數(shù)量積小于0且不平行，即且，∴，故C錯誤；對于D，∴，∴共線，∵它們有公共點，∴三點共線. 故D正確.故選：BD.11．已知拋物線的焦點為是拋物線上的兩點，則下列說法中正確的是：（      ）A．若線段的中點為，則直線的方程為B．若線段過焦點，且，則直線的斜率為C．已知為拋物線上在第一象限內(nèi)的一個動點，，若，則直線的斜率為D．拋物線上一動點到直線和的距離之和的最小值為【答案】ABD【分析】對于選項A，當(dāng)直線的斜率不存在時，線段的中點在軸上，不合題意. 當(dāng)直線的斜率存在時，由點差法可得，由此可得直線的斜率，進而可判斷A正確.對于選項B，，直線的斜率一定存在，設(shè)出直線的方程與拋物線聯(lián)立，可得，再由拋物線的定義可得，可求出的值，可判斷B正確.對于選項C，設(shè)點，利用，可求得，從而確定點的坐標(biāo)，可求出直線的斜率，進而判斷C錯誤.對于選項D，設(shè)點到的距離為，到直線的距離為，由拋物線定義，則，根據(jù)平面幾何知識，可得當(dāng)三點共線時，有最小值，進而可判斷D正確.【詳解】對于A，設(shè)，若，則直線，由拋物線的對稱性可知，線段的中點為，顯然不符合題意，故，      因為是拋物線上的兩點，所以，兩式相減得，，整理得，因為線段的中點為，所以，即，又，所以，所以直線的方程為，即. 故A正確；對于B，消去整理得∵直線與拋物線交于兩點，解得. 設(shè)，則，，，即.檢驗知滿足條件. 故B正確；    對于C，設(shè)，則，解得或，所以或，又，所以或，故C錯誤；      對于D，設(shè)到的距離為到直線的距離為，則，根據(jù)平面幾何知識，可得當(dāng)三點共線時，有最小值，因為拋物線焦點到直線的距離為，所以的最小值是，所以拋物線上一動點到直線和的距離之和的最小值為. 故D正確.     故選：ABD.12．一般地，若函數(shù)的定義域為，值域為，則稱為的“倍跟隨區(qū)間”；特別地，若函數(shù)的定義域為，值域也為，則稱為的“跟隨區(qū)間”．下列結(jié)論正確的是（    ）A．若為的跟隨區(qū)間，則B．函數(shù)不存在跟隨區(qū)間C．若函數(shù)存在跟隨區(qū)間，則D．二次函數(shù)存在“3倍跟隨區(qū)間”【答案】CD【分析】根據(jù)“跟隨區(qū)間”的定義對選項逐一分析，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、值域等知識確定正確答案.【詳解】對于A選項，若為的跟隨區(qū)間，因為在區(qū)間為增函數(shù)，故其值域為，根據(jù)題意有，解得或，因為故.故A錯誤．對于B選項，由題，因為函數(shù)在區(qū)間與上均為增函數(shù)，若存在跟隨區(qū)間則有，即為的兩根．即的根.故.故B錯誤．對于C選項，若函數(shù)存在跟隨區(qū)間，因為為減函數(shù)，故由跟隨區(qū)間的定義可知，即，因為，所以．易得．所以，令代入化簡可得，同理也滿足，即在區(qū)間上有兩不相等的實數(shù)根．故，解得，故C正確．對于D選項，若存在“3倍跟隨區(qū)間”，則可設(shè)定義域為，值域為.當(dāng)時，易得在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時易得為方程的兩根，求解得或.故定義域，則值域為．D正確．故選：CD【點睛】關(guān)于新定義函數(shù)類型問題的求解，主要的解題思路是理解新定義，并將新定義的知識轉(zhuǎn)化為學(xué)過的知識來進行求解，如本題中新定義的“跟隨區(qū)間”，根據(jù)它的定義，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的定義域和值域問題來進行求解. 三、填空題13．已知某圓錐的母線長為10，其側(cè)面展開圖的面積為，則該圓錐外接球的表面積為          .【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出圓錐軸截面等腰三角形底角的正弦，再利用正弦定理求出圓錐軸截面三角形外接圓半徑作答.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，則，解得，令圓錐軸截面等腰三角形底角為，則，，因此圓錐軸截面等腰三角形外接圓半徑，有，解得，顯然圓錐軸截面等腰三角形的外接圓是圓錐外接球的截面大圓，于是圓錐外接球半徑，所以該圓錐外接球的表面積為.故答案為：14．為了更好地了解早高峰車輛情況，某地交管部門在9個路口統(tǒng)計1分鐘的車流量，每個路口的車流量分別為，則這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為          .【答案】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義進行求解即可.【詳解】將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列得因為，所以這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為，故答案為：15．已知直線與圓相離，則整數(shù)的一個取值可以是      ．【答案】或或（注意：只需從中寫一個作答即可）【分析】利用直線與圓的位置關(guān)系列出不等式組，解出整數(shù)的范圍．【詳解】因為圓的圓心為，所以圓心到直線的距離，因為圓的方程可化簡為，即半徑為，所以，所以，故整數(shù)的取值可能是．故答案為：或或（注意：只需從中寫一個作答即可）16．已知，給出以下幾個結(jié)論：① 的最小正周期為；② 是偶函數(shù)；③ 的最小值為；④ 在上有4個零點；⑤在區(qū)間上單調(diào)遞減；其中正確結(jié)論的序號為                                   ．【答案】②④⑤【分析】對①②：根據(jù)周期性、奇偶性的定義分析判斷；對③④⑤：分類討論去絕對值，結(jié)合輔助角公式以及正弦函數(shù)的性質(zhì)逐項分析判斷.【詳解】對①：∵，即，故不是以為最小正周期的周期函數(shù)，①錯誤；對②：，故是偶函數(shù)，②正確；對③： 當(dāng)時，可得，∵，則，∴，故；當(dāng)時，可得，∵，則，∴，故；綜上所述：當(dāng)，的值域為.當(dāng)時，則，可得，故時，的值域為，又∵是偶函數(shù)，∴的值域為，即的最小值為，③錯誤；對④：由③可得：當(dāng)時，令，即，∵，則，∴當(dāng)，即時，；當(dāng)時，可得，即，∵，則，∴當(dāng)，即時，；綜上所述：在上有2個零點.∵是偶函數(shù)，∴在上有4個零點，④正確；對⑤：當(dāng)時，則，可得在區(qū)間上單調(diào)遞減，⑤正確.故答案為：②④⑤.【點睛】關(guān)鍵點定睛：根據(jù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，縮小需要研究的區(qū)間，再根據(jù)余弦函數(shù)值的符號分類討論去絕對值. 四、解答題17．在銳角中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知向量、滿足：，，且.(1)求角；(2)若，求周長的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)平行向量的坐標(biāo)表示得出邊與角的關(guān)系式，再利用正弦定理即可求出角A；（2）利用正弦定理將邊表示成角的形式，即，再根據(jù)三角形形狀和輔助角公式，即可求出的取值范圍，得解.【詳解】（1）因  ，且，于是有，即，在中，由正弦定理得：，而，于是得，又A為銳角，所以．（2）是銳角三角形，由（1）知，，于是有，且，從而得，而，由正弦定理得，則，，則有，而，則，即,所以的取值范圍．，即周長的取值范圍是.18．已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）利用公式，即可求數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果可知，再利用裂項相消法求和證明即可.【詳解】（1）因為，所以當(dāng)時，，兩式相減得：，即，    所以，且符合，所以的通項公式為（2）由（1）得：，，                .19．如圖，在直三棱柱中，側(cè)面是正方形，且平面平面.(1)求證：；(2)若直線與平面所成的角為，E為線段的中點，求平面與平面所成銳二面角的大小.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）通過證明平面來證得.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得平面與平面所成銳二面角的大小.【詳解】（1）設(shè)，則中點為M，且∵平面平面且交線為，平面，∴平面，∵平面，∴，又直三棱柱，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴.（2）由（1）知平面，所以直線與平面所成的角為，不妨設(shè)以B為原點，分別為x，y，z軸正向建立坐標(biāo)系，，設(shè)平面的法向量為，故可設(shè)， 設(shè)平面的法向量為，，故可設(shè)，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，∴.20．習(xí)近平總書記在黨的十九大報告中指出，保障和改善人民最關(guān)心最直接最現(xiàn)實的利益問題要從“讓人民群眾滿意的事情”做起.2021年底某市城市公園建設(shè)基本完成，為了解市民對該項目的滿意度，從該市隨機抽取若干市民對該項目進行評分(滿分100分)，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，并將分數(shù)從低到高分為四個等級：滿意度評分低于60分60分到79分80分到89分不低于90分滿意度等級不滿意基本滿意滿意非常滿意(1)若市民的滿意度評分相互獨立，以滿意度樣本估計全市民滿意度，現(xiàn)從全市民中隨機抽取5人，求至少2人非常滿意的概率；(2)相關(guān)部門對該項目進行驗收，驗收的硬性指標(biāo)是：全民對該項目的滿意指數(shù)不低于0.8，否則該項目需要進行整改，根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計知識，判斷該項目能否通過驗收，并說明理由；(注：滿意指數(shù)=)(3)在等級為不滿意的市民中，老人占，現(xiàn)從該等級市民中按年齡分層抽取9人了解不滿意的原因，并從中選取3人擔(dān)任督導(dǎo)員.記X為老年督導(dǎo)員的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).【答案】(1)；(2)能通過驗收，理由見解析；(3)的分布列見解析，. 【分析】（1）根據(jù)矩形面積之和為1求出a，然后通過對立事件求概率的方法與二項分布求概率的方法求出答案；（2）算出滿意度的平均分即可判斷答案；（3）根據(jù)超幾何分布求概率方法求出概率，然后列出分布列，求出期望.【詳解】（1），解得，設(shè)至少2人非常滿意的概率為事件A，由題意知5人中非常滿意的人數(shù)，.（2）由頻率分布直方圖得：滿意度平均分為，滿意指數(shù)，因此，能通過驗收.（3）分層抽取9人中老人有3人，由題意知服從超幾何分布，的可能取值為，，，，，則分布列為：0123所以，.21．已知橢圓經(jīng)過點，且橢圓的長軸長為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)經(jīng)過點的直線與橢圓相交于、兩點，點關(guān)于軸的對稱點為，直線與軸相交于點，求的面積的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出的值，將點的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得出，即可得出橢圓的方程；（2）分析可知直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，寫出直線的方程，可求得點的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式以及對勾函數(shù)的單調(diào)性可求得的取值范圍.【詳解】（1）解：因為橢圓的長軸長為，則，將點的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，可得，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：若與軸重合，則不存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，若，則點與點重合，不合乎題意，所以，，聯(lián)立可得，，由韋達定理可得，，易知點，，直線的方程為，將代入直線的方程可得，即點，，所以，，令，則函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，，所以，.故的面積的取值范圍是.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.22．設(shè)函數(shù).(1)若曲線在點處的切線斜率為，求的值；(2)若存在兩個極值點，且對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)或. 【分析】（1）求出，令，求解可得答案；（2）令得，，當(dāng)由可得，令，求導(dǎo)利用單調(diào)性可得答案； 當(dāng)根據(jù)，令可得求解可得答案.【詳解】（1），所以，解得；（2），令得，解得，或時且，當(dāng)即時，，對任意恒成立，得可得，，時成立，時，有在恒成立，令，，所以在單調(diào)遞減，有，所以；當(dāng)即時，，對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍，即在上恒成立，因為，可得，解得，當(dāng)即時，重合，不符合題意，綜上所述，或. 

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