?2023屆重慶市北碚區(qū)高三上學期10月月度質(zhì)量檢測數(shù)學試題

一、單選題
1．復數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復數(shù)（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算及共軛復數(shù)的概念求解.
【詳解】因為，所以.
故選：B.
2．若命題“”是假命題，則實數(shù)a的范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由命題p為假命題，所以非p為真命題，結(jié)合全稱命題為真命題，列出不等式，即可求解.
【詳解】由題意，命題p為假命題，所以非p為真命題，即，可得，
所以，解得.
故選：D.
3．設(shè)函數(shù)，則方程的解為（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由知，，，，解方程即可得出答案.
【詳解】因為，由知，
，，，
解得.
故選：A．
4．的值落在區(qū)間（????）中．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)，分析可知，利用導數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可得出結(jié)論.
【詳解】因為，
即
，
設(shè)，則，
對任意的恒成立，
所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，且，
因為，，
由零點存在定理可知.
故選：B.
5．大磨灘瀑布位于重慶市北碚區(qū)，其為懸?guī)r瀑布，白練千條，五光十色，氣勢磅礴，吼聲如雷.在懸瀑正中，有一人工開鑿的洞穴，用石板封閉，人不能入.右側(cè)有石屋兩間，人工鑿巖而成，各長6米，寬3米，高2.5米，一上一下，兩屋相通，下屋內(nèi)有石窗，可觀瀑布.為了測量大磨灘瀑布的某一處實際高度，李華同學設(shè)計了如下測量方案：有一段水平山道，且山道與瀑布不在同一平面內(nèi)，瀑布底端與山道在同一平面內(nèi)，可粗略認為瀑布與該水平山道所在平面垂直，在水平山道上A點位置測得瀑布頂端仰角的正切值為，沿山道繼續(xù)走 ，抵達B點位置測得瀑布頂端的仰角為;已知該同學沿山道行進的方向與他第一次望向瀑布底端的方向所成角為，則該瀑布的高度約為（????）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分別在兩個三角形求邊長，再列式解方程即可.
【詳解】根據(jù)題意作出示意圖：其中，

過點B作于C，設(shè)，則，
在中，，，
在中， ，即，
即，解得，所以該瀑布的高度約為.
故選：A.
6．某干燥塔的底面是半徑為1的圓面，圓面有一個內(nèi)接正方形框架，在圓的劣弧上有一點，現(xiàn)在從點出發(fā)，安裝三根熱管，則三根熱管的長度和的最大值為（????）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)，利用輔助角公式表達出，從而求出三根熱管的長度和的最大值.
【詳解】如圖，連接，設(shè)，則，
可得:
，其中，所以，
由的范圍可以取到最大值.

故選：B
7．現(xiàn)有天平及重量為1，2，4，8的砝碼各一個，每一步，我們選取任意一個砝碼，將其放入天平的左邊或者右邊，直至所有砝碼全放到天平兩邊，但在放的過程中、發(fā)現(xiàn)天平的指針不會偏向分度盤的右邊，則這樣的放法共有（????）種．
A．105 B．72 C．60 D．48
【答案】A
【分析】由題意，按照從大到小的順序，逐一分情況討論，結(jié)合排列組合以及分類加法原理，可得答案.
【詳解】根據(jù)每次放的砝碼重量分類討論，結(jié)合兩個基本計數(shù)原理求解，
依題可知8只能在左邊，
①第一步先排8，8只能在左邊，接下來重量為1,2,4的砝碼順序隨意有種，左右邊隨意，則種，共有種；
②第一步先排4，4只能在左邊，8可以在第2,3,4步中任選一步放，有種，重量為1,2的砝碼順序隨意左右邊隨意，共有種；
③第一步先排2，2只能在左邊，
若第二步放8，則重量為去1,4的砝碼順序隨意左右邊隨意，有中，
若第二步放4，則8可以在第3,4步匯總?cè)芜x一步放，砝碼1左右邊隨意放，由種，
若第二步放1，有2種放法，接下第3步有2種情形：
（）若第三步放8，那第四步放4可以在左右都行，有2種，
（）若第三步放4，那4只能放左邊，第四步放8只能放左邊，由1種，
共有種；
④第一步先排1，1只能在左邊，接下來第二步：
若第二步放8，則重量為2,4的砝碼順序隨意左右邊隨意放，有種，
若第二步放4，則8可以在第3,4步中任選一步放，砝碼2左右邊隨意放，有種，
若第二步放2，2只能在左邊，接下來第三步有2種情形：
（）若第三步放8，那第四步放4可以在左右邊都行，有2種，
（）若第三步放4，那4只能在左邊，第四步放8只能放左邊，有1種，
共有種，
綜上有種.
故選：A.
8．將曲線()與曲線()合成的曲線記作．設(shè)為實數(shù)，斜率為的直線與交于兩點，為線段的中點，有下列兩個結(jié)論：①存在，使得點的軌跡總落在某個橢圓上；②存在，使得點的軌跡總落在某條直線上，那么（????）．
A．①②均正確 B．①②均錯誤
C．①正確，②錯誤 D．①錯誤，②正確
【答案】C
【分析】對①，分析當時點的軌跡總落在某個橢圓上即可；
對②，設(shè)，，，則，利用點差法，化簡可得，故若存在，使得點的軌跡總落在某條直線上則為常數(shù)，再化簡分析推出無解即可
【詳解】設(shè)，，，則.
對①，當時，，，易得，故兩式相減有，易得此時，故，所以，即.代入可得，所以，故存在，使得點的軌跡總落在橢圓上.故①正確；
對②，， .由題意，若存在，使得點的軌跡總落在某條直線上，則，，
兩式相減有，即，又，故，即，又，故若存在，使得點的軌跡總落在某條直線上，則為常數(shù).即為定值，因為分子分母次數(shù)不同，故若為定值則恒成立，即，無解.即不存在，使得點的軌跡總落在某條直線上
故選：C

二、多選題
9．已知正四面體是棱上的動點，是在平面上的投影，下列說法正確的是（ ）
A．當時，平面
B．當時，異面直線與所成角是
C．當時，的長度最小
D．當時，直線與所成角正弦值是
【答案】AC
【分析】正四面體中，是的中心，根據(jù)點位置，判斷線面平行與線面垂直，結(jié)合余弦定理幾何法求異面直線所成的角.
【詳解】對于A，當時，如圖所示，
??
是等邊三角形，故有，而，，
又面， 面，平面， A正確；
對于B，當時， ，異面直線與所成角即，B錯誤；
對于C，當時，如圖所示，
??
設(shè)正四面體邊長為，則，，，
在直角中，，
在中，由余弦定理得：=，
滿足，故，的長度最小，C正確；
對于D，延長交于，連接，直線與所成角即為，，
在中，由余弦定理得：=，
在中，由由余弦定理得：，
故，D錯誤.
故選：AC
10．在平面直角坐標系中，已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，則下列結(jié)論正確的是（????）
A．
B．
C．函數(shù)的最小正周期為
D．將函數(shù)圖象上的所有點向左平移個單位長度，所得到的函數(shù)解析式為
【答案】ABD
【分析】由三角函數(shù)的定義，可得，，的值，根據(jù)和角差角及二倍角公式代入計算可判斷A、B正誤，對于C、D，根據(jù)輔助角公式進行化簡，結(jié)合絕對值變換、周期公式及“左加右減”平移方法就可以判斷.
【詳解】由三角函數(shù)的定義，得，，.
對于A，，故選項A正確；
對于B，，故選項B正確；
對于C，，所以的最小正周期，故選項C錯誤；
對于D，將圖象上的所有點向左平移個單位長度，得到的函數(shù)解析式，故選項D正確.
故選：ABD.
11．若正四棱柱的底面棱長為4 ，側(cè)棱長為3 ，且為棱的靠近點的三等分點，點在正方形的邊界及其內(nèi)部運動，且滿足與底面的所成角，則下列結(jié)論正確的是（????）

A．點所在區(qū)域面積為
B．四面體的體積取值范圍為
C．有且僅有一個點使得
D．線段長度最小值為
【答案】AB
【分析】A選項，根據(jù)題意得到所在區(qū)域為以A為圓心，1為半徑的圓在正方形內(nèi)部部分（包含邊界弧長），得到區(qū)域面積；B選項，根據(jù)P點不同位置求出點P到平面的距離最大值及最小值，求出最大體積和最小體積；C選項，尋找到不止一個點使得；D選項，結(jié)合P的所在區(qū)域及三角形兩邊之和大于第三邊求出長度最小值.
【詳解】A選項，當時，與與底面的所成角，故點所在區(qū)域為以A為圓心，1為半徑的圓在正方形內(nèi)部部分（包含邊界弧長），即圓的，面積為，A正確；
如圖，當點P位于上時，此時點P到平面的距離最大，最大距離為，
此時四面體的體積為，
當P與點F重合時，此時點P到平面的距離最小，最小距離為，
因為△BFK∽△BAH，所以，所以最小體積為，

故四面體的體積取值范圍為，B正確；
C選項，不妨點P與點F重合，
此時，由余弦定理得：，則
同理可得：，
故多于一個點使得，C錯誤；

D選項，當PC取最小值時，線段長度最小，由三角形兩邊之和大于第三邊可知：當A，P，C三點共線時，PC取得最小值，即，則，D錯誤
故選：AB
12．已知.設(shè)命題：過點恰可作一條關(guān)于的切線.以下為命題的充分條件的有（????）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】首先對求導，然后寫出切線方程，代入化簡得，轉(zhuǎn)化為方程有一個根，再轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)圖象有一個交點的問題.
【詳解】，設(shè)切點為，
則切線方程為：，
因為切線經(jīng)過點，將點代入得，
化簡得，
方程有一個根，
令，，轉(zhuǎn)化為直線與曲線只有一個交點，
，
當時， ，， ，，
故在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
根據(jù)直線與只有一個交點，則有或
即，，
同理當時，，，，，
故在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
根據(jù)直線與曲線只有一個交點，可得或，，
綜上，要想過恰可作一條關(guān)于的切線，則或；或.
A選項，，若，則，無法推出，故A錯誤；
B選項，，若，則，若，則，可以推出，故B正確；
C選項，，無法推出，故C錯誤；
D選項，，若，則，若，則，可以推出，故D正確.
故選：BD.
【點睛】對三次函數(shù)切線個數(shù)問題是導數(shù)中的重難點，也是曾經(jīng)高考考查過的內(nèi)容，方法是轉(zhuǎn)化成方程根的個數(shù)問題.

三、填空題
13．已知真分數(shù)（b>a>0）滿足>>>，….根據(jù)上述性質(zhì)，寫出一個全稱量詞命題或存在量詞命題（真命題）
【答案】，（答案不唯一）
【分析】結(jié)合條件及全稱量詞命題、存在量詞命題的概念即得.
【詳解】∵真分數(shù)（b>a>0）滿足>>>，…
∴，.
故答案為：，.
14．阿基米德在他的著作《論圓和圓柱》中，證明了數(shù)學史上著名的圓柱容球定理：圓柱的內(nèi)切球（與圓柱的兩底面及側(cè)面都相切的球）的體積與圓柱的體積之比等于它們的表面積之比．可證明該定理推廣到圓錐容球也正確，即圓錐的內(nèi)切球（與圓錐的底面及側(cè)面都相切的球）的體積與圓錐體積之比等于它們的表面積之比，則該比值的最大值為 ．
【答案】
【分析】設(shè)，利用和內(nèi)切球半徑可表示出圓錐底面半徑和母線，由圓錐和球的表面積公式可得，令，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求得最值.
【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，圓錐內(nèi)切球半徑為，
作出圓錐的軸截面如下圖所示：

設(shè)，，，
，，，又，
，，
，
則圓錐表面積，圓錐內(nèi)切球表面積，
所求比值為，
令，則，
當時，取得最大值.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查立體幾何中的最值問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠?qū)A錐表面積和球的表面積的比值利用一個變量表示出來，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題，從而利用函數(shù)的性質(zhì)來進行求解.
15．設(shè)角數(shù)列的通項為，其中為常數(shù)且．若存在整數(shù)，使的前項中存在滿足，則的最大值為 ．
【答案】/
【分析】由確定之間的關(guān)系，結(jié)合的范圍求的最大值.
【詳解】因為，不妨設(shè)，
所以或，
所以或，
所以或
因為，，所以，
所以，
因為，所以
所以，又，
所以
所以，又
若，為偶數(shù)時，
要使最大，則最小，又，所以，
所以當時取最大值，最大值為
若，為奇數(shù)時，
要使最大，則最小，又，所以，
所以當時取最大值，最大值為，
同理可得
若，為偶數(shù)時，則的最大值為
若，為奇數(shù)時，則的最大值為
又，
所以的最大值為，
故答案為：.
16．對開區(qū)間，定義，當實數(shù)集合為段（為正整數(shù)）互不相交的開區(qū)間的并集時，定義，若對任意上述形式的的子集，總存在，使得，其中，則的最大值為 .
【答案】/0.25
【分析】利用三角函數(shù)的公式和性質(zhì)解不等式，再結(jié)合任意和存在把不等式問題轉(zhuǎn)化成最值問題，求出最值即可得解.
【詳解】不等式平方可得
解得
設(shè)集合，發(fā)現(xiàn)對任意，，
根據(jù)題意知，當，恒成立；
當時，因為對任意的的子集不等式都成立，所以讓大于等于的最大值，即，又因為總存在，使，所以讓的最大值大于等于，即；正好取最大值時，也取得最大值，所以，解得；
綜上所述，最大值為.
故答案為：.
【點睛】恒成立和存在問題的解題思路：
①恒成立，則；存在，則；
②恒成立，則；存在，則.

四、解答題
17．在△ABC中，三個角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若a＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長．
【答案】(1)
(2)或+

【分析】（1）根據(jù)正弦定理以及，化簡原式可得，求解即可；
（2）由S△ABC＝，可得b＝c或c＝3b，分類討論即得解.
【詳解】（1）由正弦定理可得，，
又，
故，
化簡得，又，故，
所以．又，所以A＝．
（2）由（1）知，S△ABC＝＝，所以有＝，
可得，即，解得b＝c或c＝3b．
若b＝c，則△ABC為正三角形，其周長為3；
若c＝3b，由，可得c＝，b＝，所以△ABC的周長為+．
綜上可知，△ABC的周長為或+.
18．正弦信號是頻率成分最為單一的信號，復雜的信號，例如電信號，都可以分解為許多頻率不同、幅度不等的正弦型信號的疊加．正弦信號的波形可以用數(shù)學上的正弦型函數(shù)來描述：，其中表示正弦信號的瞬時大小電壓V（單位：V）是關(guān)于時間t（單位：s）的函數(shù)，而表示正弦信號的幅度，是正弦信號的頻率，相應(yīng)的為正弦信號的周期，為正弦信號的初相．由于正弦信號是一種最簡單的信號，所以在電路系統(tǒng)設(shè)計中，科學家和工程師們經(jīng)常以正弦信號作為信號源（輸入信號）去研究整個電路的工作機理．如圖是一種典型的加法器電路圖，圖中的三角形圖標是一個運算放大器，電路中有四個電阻，電阻值分別為，，，（單位：Ω）．

和是兩個輸入信號，表示的是輸出信號，根據(jù)加法器的工作原理，與和的關(guān)系為：．
例如當，輸入信號，時，輸出信號：．
(1)若，輸入信號，，則的最大值為___________；
(2)已知，，，輸入信號，．若（其中），則___________；
(3)已知，，，且，．若的最大值為，則滿足條件的一組電阻值，分別是_____________．
【答案】(1)；
(2)；
(3)（答案不唯一）

【分析】（1）由輔助角公式得，即可求出最大值；
（2）由正弦余弦的和角公式化簡得，解方程組即可求解；
（3）先由余弦的倍角公式化簡得，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值為，進而得到，即可求解.
【詳解】（1）由題意得，，則的最大值為；
（2）由題意知，，
整理得，
即，則，解得；
（3）由題意得，
，
又，則，當時，取得最大值，
則，整理得，即，解得，
又，則，取即滿足題意，則（答案不唯一）.
19．如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為菱形，平面PAD⊥平面ABCD，∠BAD＝60°，，AB＝2，M為PC上一點，且．

(1)求異面直線AP與DM所成角的余弦值．
(2)在棱PB上是否存在點N，使得平面BDM？若存在，求的值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，且

【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法求得異面直線AP與DM所成角的余弦值.
（2）設(shè)，求得平面的法向量，由列方程，由此求得，即.
【詳解】（1）設(shè)是的中點，連接，
由于，所以，
由于平面PAD⊥平面ABCD且交線為，平面，
所以平面，
由于平面，所以，
在菱形中，，所以三角形是等邊三角形，所以，
故兩兩相互垂直，由此建立空間直角坐標系如下圖所示，
，，
，
，
所以直線AP與DM所成角為，
則.
（2），
設(shè)平面的法向量為，
則，
故可設(shè).
平面，設(shè)，則，


若平面，則，
解得，
所以在棱PB上是存在點N，使得平面BDM且.

20．已知直線與直線相交于點，且點在直線上．
(1)求點的坐標和實數(shù)的值；
(2)求與直線平行且與點的距離為的直線方程．
【答案】(1)P(-2，-1)；a=2
(2)或

【分析】（1）由題意，聯(lián)立直線方程，求交點，再將點代入含參直線方程，求得答案；
（2）由（1）明確直線方程，根據(jù)平行，設(shè)出所求直線方程，利用點到直線距離公式，可得答案.
【詳解】（1）所以聯(lián)立，解得：P(-2，-1)．
將P的坐標(-2，-1)代入直線中，解得a=2．
（2）由（1）知直線，設(shè)所求直線為．
因此點P到直線l的距離，解方程可得c=5或-5，
所以直線的方程為或．
21．隨機變量的概念是俄國數(shù)學家切比雪夫在十九世紀中葉建立和提倡使用的.切比雪夫在數(shù)論?概率論?函數(shù)逼近論?積分學等方面均有所建樹，他證明了如下以他名字命名的離散型切比雪夫不等式：設(shè)為離散型隨機變量，則，其中為任意大于0的實數(shù).切比雪夫不等式可以使人們在隨機變量的分布未知的情況下，對事件的概率作出估計.
(1)證明離散型切比雪夫不等式；
(2)應(yīng)用以上結(jié)論，回答下面問題：已知正整數(shù).在一次抽獎游戲中，有個不透明的箱子依次編號為，編號為的箱子中裝有編號為的個大小?質(zhì)地均相同的小球.主持人邀請位嘉賓從每個箱子中隨機抽取一個球，記從編號為的箱子中抽取的小球號碼為，并記.對任意的，是否總能保證（假設(shè)嘉賓和箱子數(shù)能任意多）？并證明你的結(jié)論.
附：可能用到的公式（數(shù)學期望的線性性質(zhì)）：對于離散型隨機變量滿足，則有.
【答案】(1)證明見解析
(2)不能保證，證明見解析

【分析】通過方差的計算公式，結(jié)合變形即可證明.
結(jié)合所給公式，再變形式子來解出，再利用第（1）證明的離散型切比雪夫不等式即可得到矛盾.
【詳解】（1）設(shè)的所有可能取值為取的概率為.
則 ，
?????

（2）（2）由參考公式，.


，用到
而，故.
當時，，
因此，不能保證.
22．已知，若函數(shù)在上的值域是，則稱是第類函數(shù).
(1)若是第類函數(shù)，求的取值范圍；
(2)若是第2類函數(shù)，求的值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)題意，得到，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)有兩個交點，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解；
（2）由，分、和，三種情況，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出方程組，即可求解.
【詳解】（1）解：因為在是增函數(shù)，且函數(shù)在上的值域是，
可得，即，
所以問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)有兩個交點，
因為在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
將代入，可得；
將代入，可得，
所以函數(shù)與函數(shù)有兩個交點，只需，
所以的取值范圍是.
（2）解：因為，
當時，在單調(diào)遞增，
因為是第2類函數(shù)，所以，即，
因為，所以；
當時，在單調(diào)遞減，
因為是第2類函數(shù)，所以，
則，整理得即，
將代入，可得，
因為，所以沒有實數(shù)解；
當時，可得當，，
因為是第2類函數(shù)，所以，解得（舍去）；
綜上所述，.

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