2023屆黑龍江省哈爾濱市哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：求出集合后可求.【詳解】[方法一]：直接法因?yàn)?/span>，故，故選：B.[方法二]：【最優(yōu)解】代入排除法代入集合，可得，不滿足，排除A、D；代入集合，可得，不滿足，排除C.故選：B.【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：直接解不等式，利用交集運(yùn)算求出，是通性通法；方法二：根據(jù)選擇題特征，利用特殊值代入驗(yàn)證，是該題的最優(yōu)解． 2．“”是“函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R”的（    ）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】先求出“函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R”時(shí)對(duì)應(yīng)a的范圍，記為集合B, 記集合,利用集合法進(jìn)行判斷.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?/span>R，所以對(duì)任意恒成立.i.時(shí)，對(duì)任意恒成立；ii. 時(shí)，只需，解得：；所以.記集合,.因?yàn)?/span>A? B,所以“”是“函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R”的充分不必要條件.故選：B.3．已知，則下列不等式中一定成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用不等式的性質(zhì)判斷.【詳解】A. 當(dāng)時(shí)， ，故錯(cuò)誤；B. 當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；    C. 當(dāng)時(shí)，，不成立，故錯(cuò)誤；D. 由，則，則，故正確；故選：D4．方程的解的個(gè)數(shù)是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】將題意轉(zhuǎn)化為的圖象與的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可得結(jié)果.【詳解】∵，∴.而的圖象如圖，∴的圖象與的圖象總有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程的解的個(gè)數(shù)是2，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程根的問題，利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5．已知，，，，則、、的大小關(guān)系為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】研究函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，將變形到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間上且比較大小，然后運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?/span>，是偶函數(shù)，且時(shí)，是增函數(shù)，，，，，而，所以，即．故選：A．6．函數(shù)的大致圖象是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】探討給定函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合當(dāng)時(shí)函數(shù)值的符號(hào)即可判斷作答.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?/span>，，則有函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，選項(xiàng)B，C不滿足；當(dāng)時(shí)，，即，因此，選項(xiàng)A不滿足，D符合條件.故選：D7．隨著社會(huì)的發(fā)展，人與人的交流變得廣泛，信息的拾取、傳輸和處理變得頻繁，這對(duì)信息技術(shù)的要求越來越高，無線電波的技術(shù)也越來越成熟，其中電磁波在空間中自由傳播時(shí)能量損耗滿足傳輸公式：，其中D為傳輸距離，單位是，F為載波頻率，單位是，L為傳輸損耗（亦稱衰減）單位為．若傳輸距離變?yōu)樵瓉淼?/span>4倍，傳輸損耗增加了，則載波頻率變?yōu)樵瓉砑s（    ）倍（參考數(shù)據(jù)：）A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍【答案】B【分析】由題，由前后兩傳輸公式做差，結(jié)合題設(shè)數(shù)量關(guān)系及對(duì)數(shù)運(yùn)算，即可得出結(jié)果【詳解】設(shè)是變化后的傳輸損耗，是變化后的載波頻率，是變化后的傳輸距離，則，，，則，即，從而，即載波頻率變?yōu)樵瓉砑s2倍.故選：B．8．已知函數(shù) 在上單調(diào)遞減，則的取值范圍（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上單調(diào)遞增，且在上恒成立，再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性以及不等式恒成立列式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù) 在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且在上恒成立，所以，解得.故選：B 二、多選題9．已知x>0，y>0，且2x+y=2，則下列說法中正確的（    ）A．xy的最大值為 B．4x2+y2的最大值為2C．4x+2y的最小值為4 D．的最小值為4【答案】ACD【分析】在條件下結(jié)合基本不等式可以對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)作出正確的判斷.【詳解】由，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以A正確；，所以的最小值為2，故B不正確；由，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；由，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確.故選：ABD.10．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．在上為增函數(shù)B．C．若在上單調(diào)遞增，則或D．當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?/span>【答案】BC【分析】結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性對(duì)選項(xiàng)逐一辨析即可.【詳解】易知在(－∞，0]，(0，＋∞)上單調(diào)遞增，A錯(cuò)誤，，，B正確；若在(a，a＋1)上單調(diào)遞增，則或，即或，故C正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，的值域?yàn)?/span>，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，值域?yàn)?/span>，下列結(jié)論中一定成立的結(jié)論的序號(hào)是（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】先研究值域?yàn)?/span>時(shí)函數(shù)的定義域，再研究使得值域?yàn)?/span>得函數(shù)的最小值的自變量的取值集合，研究函數(shù)值取1，2時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的取值，由此可判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】由于，，，，，即函數(shù)的定義域?yàn)?/span>當(dāng)函數(shù)的最小值為1時(shí)，僅有滿足，所以，故D正確；當(dāng)函數(shù)的最大值為2時(shí)，僅有滿足，所以，故C正確；即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?/span>，故，故不一定正確，故A正確，B錯(cuò)誤；故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的定義域及其求法，解題的關(guān)鍵是通過函數(shù)的值域求出函數(shù)的定義域，再利用元素與集合關(guān)系的判斷，集合的包含關(guān)系判斷，考查了學(xué)生的邏輯推理與轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.12．已知是定義在上的奇函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)有6個(gè)C．D．若，則【答案】AC【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)化簡整理即可得出.【詳解】對(duì)A，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確；對(duì)B，因?yàn)?/span>的變化情況不確定，所以無法確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，所以，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，則，所以，故C正確；對(duì)D，由C選項(xiàng)可得是周期為4的函數(shù)，因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，所以，所以，，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC. 三、填空題13．已知函數(shù)，則      ．【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義及指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可求解.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，所以故答案為：.14．若偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集是            .【答案】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)得到時(shí)，即可將不等式化為，解得即可.【詳解】解：因?yàn)榕己瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，所以當(dāng)時(shí)，則不等式等價(jià)于，解得，所以原不等式的解集為.故答案為：15．已知函數(shù)，且函數(shù)恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是      ．【答案】【分析】作出函數(shù)的圖象，把函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)問題解決.【詳解】由得，即函數(shù)的零點(diǎn)是直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在坐標(biāo)平面內(nèi)作出函數(shù)的圖象，如圖，觀察圖象知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是：.故答案為：.16．函數(shù)在上的所有零點(diǎn)之和為       .【答案】8【分析】利用數(shù)形結(jié)合，將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)和的交點(diǎn)問題，再利用函數(shù)的對(duì)稱性，可求零點(diǎn)的和.【詳解】函數(shù)，即，函數(shù)和都關(guān)于對(duì)稱，所以函數(shù)和的交點(diǎn)也關(guān)于對(duì)稱，根據(jù)余弦函數(shù)的周期性，畫出兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間的函數(shù)部分圖象，  兩個(gè)函數(shù)圖象有8個(gè)交點(diǎn)，利用對(duì)稱性可知，交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和.故答案為：8. 四、解答題17．盒中有 4個(gè)球，分別標(biāo)有數(shù)字1、1、2、3，從中隨機(jī)取2個(gè)球．(1)求取到2個(gè)標(biāo)有數(shù)字1的球的概率；(2)設(shè)X為取出的2個(gè)球上的數(shù)字之和，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，期望為 【分析】（1）根據(jù)古典概型的公式，求的總數(shù)和符合題意事件的個(gè)數(shù)，可得答案；（2）列出分布列，并求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；【詳解】（1）取到2個(gè)標(biāo)有數(shù)字1的球的概率為（2）從6個(gè)球中任意取出3個(gè)球的取法總數(shù)為， X的取值范圍是.，，，;所以X的分布列為：X2345故18．在中，角A，B，C對(duì)應(yīng)邊為a，b，c，其中．(1)若，且，求邊長c；(2)若，求的面積．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等變換的知識(shí)求得.（2）利用正弦定理、兩角和的正弦公式以及三角形的面積公式求得正確答案.【詳解】（1）依題意，，由正弦定理得，即，，由于，所以，則，由正弦定理得.（2）依題意，，由正弦定理得，由于，，所以，由于，所以為銳角，所以，則，，由正弦定理得，所以.19．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正值，是、的等差中項(xiàng)，，記．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．【答案】(1)，(2)證明見解析 【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，則，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可求得數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用裂項(xiàng)相消法可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：設(shè)數(shù)列的公比為，則，由題意知，可得，解得，所以，，．（2）證明：因?yàn)?/span>，所以.20．已知函數(shù)是奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立.求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用奇函數(shù)的定義可構(gòu)造方程求得結(jié)果；（2）將不等式轉(zhuǎn)化為，令，可將不等式化為，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，分別在和兩種情況下求得，利用可求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，為奇函數(shù)，，，即恒成立，，解得：，當(dāng)時(shí)，同理可得：，綜上所述：.（2），，原不等式化為，令，則，原不等式進(jìn)一步化為：在上恒成立.記，.①當(dāng)，即時(shí)，，；②當(dāng)，即時(shí)，，解集為.綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查不等式恒成立問題，解題關(guān)鍵是能夠通過換元法將問題轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的二次函數(shù)最值的求解問題，通過分類討論的方式可求得二次函數(shù)的最值；易錯(cuò)點(diǎn)是在換元時(shí)，忽略新參數(shù)的取值范圍，造成求解最值時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤.21．如圖，橢圓（）的離心率為，過橢圓右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦與．當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求使取最小值時(shí)直線的方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或．【解析】（Ⅰ）由離心率及，可得出，，進(jìn)而寫出橢圓的方程；（Ⅱ）進(jìn)行分類討論，①當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時(shí)，另一條弦所在直線的斜率不存在，不滿足題意；②當(dāng)兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，則直線CD的方程為，分別將直線與的方程與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理得出和的表達(dá)式，然后利用弦長公式求出的表達(dá)式，然后利用基本不等式求出取得最小值時(shí)k的值，最后寫出直線的方程即可.【詳解】（Ⅰ）由題意知，，又，解得，，所以橢圓方程為；（Ⅱ）①當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時(shí)，另一條弦所在直線的斜率不存在時(shí)，由題意知，不滿足條件；②當(dāng)兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，則直線CD的方程為，設(shè)，，將直線AB的方程代入橢圓方程中并整理得 ，則，，所以，同理， ，所以+=≥ ，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，上式取等號(hào)，所以直線AB的方程為或．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查基本不等式的應(yīng)用，對(duì)于第二問，應(yīng)該對(duì)斜率存在與否進(jìn)行分類討論，注意別漏掉斜率不存在的情形，考查邏輯思維能力和的分析計(jì)算能力，屬于中檔題.22．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求、的值；（2）求證：當(dāng)，時(shí)，不等式恒成立【答案】（1）（2）證明見解析【解析】（1）求導(dǎo)得，由題意可得，即可得解；（2）構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)后可得，構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)后可得，進(jìn)而可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，即可得證.【詳解】（1），， ，，將點(diǎn)代入切線方程得，可得，，解得；（2）證明：由（1）得，當(dāng)，時(shí)，要證不等式，即證，當(dāng)時(shí)，先證，構(gòu)造函數(shù)，，則，構(gòu)造函數(shù)，，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，不等式恒成立.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力與推理能力，屬于中檔題. 

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