2022屆黑龍江省哈爾濱市哈爾濱師范大學附屬中學高三下學期開學考試理科數(shù)學試卷注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡.上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。考試時間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合，，則A.    B.    C.    D. 2.已知復數(shù)滿足（i為虛數(shù)單位），則A.    B.    C.1   D.23.若，則“”是“”的A.充分不必要條件   B.必要不充分條件C.充要條件    D.既不充分也不必要條件4.設函數(shù)若，則A.3   B.4   C.32.   D.335.公園中有一塊如圖所示的五邊形荒地，公園管理部門計劃在該荒地種植126棵觀賞樹，若1至6六個區(qū)域種植的觀賞樹棵數(shù)成等比數(shù)列，且前3個區(qū)域共種植14棵，則第5個區(qū)域種植的觀賞樹棵數(shù)為A.16   B.28   C.32   D.645.已知的展開式中常數(shù)項為61，則A.    B.    C.2   D.26..建在水資源不十分充足的地區(qū)的火電廠為了節(jié)約用水，需建造一個循環(huán)冷卻水系統(tǒng)（冷卻塔），以使水冷卻可正復使用.右圖是世界最高的電廠冷卻塔——中國國家能源集團勝利電廠冷卻塔，該冷卻塔高225米，創(chuàng)造了“最高冷卻塔”的吉尼斯世界紀錄.該冷卻塔的外形可看作雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，如圖：已知直線，為該雙曲線的兩條漸近線，，向上的方向所成角的正切值為，則該雙曲線的離心率為A.    B.5   C.    D. 8.如圖，正四棱維（底面為正方形，頂點在底面的射影為底面正方形的中心）中，，點E為PB中點，若CE與PD所成的角余弦值為，則四棱錐的體積為A.    B.    C.    D. 9.已知D，E為所在平面內(nèi)的點，且，，若，則A.-3   B.3   C.    D. 10.將函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象，若的圖象關于軸對稱，且，則的可能取值為.A.    B.1   C.    D.π11.已知直線：與拋物線：交于，兩點，點A，B在準線上的射影分別為點，，若四邊形的面積為，則.A.2   B.4   C.    D. 12.已知數(shù)列中，，，當數(shù)列的前項和取得最大值時，的值為.A.53   B.49   C.49或53   D.49或51二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知實數(shù)，滿足約束條件設，則最小值為_________.14.小明用某款手機性能測試app對10部不同品牌的手機的某項性能進行測試，所得的分數(shù)按從小到大的順序（相等數(shù)據(jù)相鄰排列）排列為：81，84，84，87，x，y，93，95，97，99，已知總體的中位數(shù)為90，若要使該總體的標準差最小，則_________.15.如圖，在三棱錐中，平面，，，若三棱錐的外接球體積為，則異面直線與所成角為_________.16.已知函數(shù)的圖象上存在點使得（為自然對數(shù)的底數(shù)），則實數(shù)的取值范圍為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：60分。17.（12分）在三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，且.（1）求角C.（2）E為三角形ABC所在平面內(nèi)的一點，，且，求線段CE的長.18.（12分）在東京奧運會中，甲，乙、丙三名跳水遠動員參加小組賽，已知甲晉級的概率為，乙、丙晉級的概率均為，且三人是否晉級相互對立.（1）若甲晉級的概率與乙、丙兩人均沒有晉級的概率相等，與乙、丙兩人有且僅有一人晉級的概率也相等，求，；（2）若，記三個人中晉級的人數(shù)為，若時的概率和時的概率相等，求.19.（12分）如圖，四棱柱中，四邊形為矩形，且平面平面，，，，，分別為，的中點.（1）證明：平面；（2）求與平面所成的角的正弦值.20.（12分）已知橢圓：的離心率為，且過左焦點和上頂點的直線與圓相切.（1）求橢圓的方程；（2）若直線：與橢圓交于，兩點，為坐標原點，且直線，，的斜率之和為0.求三角形面積的最大值.21.（12分）已知函數(shù)，.（1）若在點處的切線與在點處的切線互相平行，求實數(shù)的值；（2）若對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的直角坐標方程；（2）點，直線與曲線C交于A，B兩點，若，求直線的普通方程.23.[選修4-5：不等式選講]（10分）已知，.（1）當時，求不等式的解集；（2）若，，，證明：.2022屆高三開年摸底聯(lián)考  全國卷1理科數(shù)學參考答案及評分意見1.D【解析】，，所以.2.B【解析】.3.A【解析】由，，，故為充分不必要條件.4.D【解析】當時，，故，解得.5.C【解析】由題，，所以，解得，，故.6.B【解析】展開式的通項為，所以當或時，的展開式中常數(shù)項為，即，解得.7.C【解析】設一條漸近線向上的方向與虛軸向上的方向所成的角為，則，得或（舍），即，故，所以，解得.8.A【解析】如圖，連接AC，BD，設交點為O，連接PO，OE，則，所以或其補角即為CE與PD所成的角，設，則，易知，，，故，所以，解得，，所以.9.A【解析】由題可知：為中點，為中點，所以，所以，，故.10.C【解析】由題函數(shù)為偶函數(shù)，所以，，又，所以，故，，所以，，，所以，，可得和均為的奇數(shù)倍，故的可能取值為.11.B【解析】易知直線過拋物線的焦點，聯(lián)立方程可得，所以，，又A，B到準線的距離分別為，，所以，四邊形為直角梯形，其高，所以，故.12.D.【解析】易得，因為，所以，作差得，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列，，，故公差，故，所以，，，，設，當時，，，，當時，，所以當或51時，的前項和取得最大值.13.-2【解析】由可行域易知，當直線過點時，取得最小值-2.14.0【解析】因為總體的中位數(shù)為90，所以，平均數(shù)為90，要使該總體的標準差最小，即方差最小，即最小，又，當且僅當時，即時等號成立，故.15. 【解析】如圖，將三棱錐補成三棱柱，取中點，中點，外接球球心即為的中點，設外接球半徑為，則，得，所以，得，由，所以或其補角即為異面直線所成的角，易得，所以異面直線PB與AC所成角為.16. 【解析】，由得，所以存在，使得成立，即成立，設， 則，易知當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，又，，，故，所以實數(shù)的取值范圍為 .17. 【解析】因為，由得，由正弦定理得，因為，所以，故，得，即，又，所以.（2）由余弦定理得，所以，故，所以四邊形為矩形，所以，所以.18.【解析】（1）乙、丙兩人均沒有晉級的概率為，乙、丙兩人有且僅有一人晉級的概率為，故解得，（2）的所有可能取值為0，1，2，3.，，由題知，解得，所以，所以 .19.【解析】（1）證明：如圖，分別取AD和BC的中點H，P連接MH，HP，PE，則，，，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，所以，因為平面，平面，所以平面.（2）因為四邊形為矩形，所以，因為平面平面，且平面平面，所以平面，故，因為， ，所以，以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，，所以，，設平面的法向量為，則不妨令，則，所以，又，所以，所以與平面所成的角的正弦值為.20.【解析】（1）設橢圓的半焦距為，則①.直線 ：，則，即②又③由①②③解得，，所以求橢圓的方程為.（2）設，，聯(lián)立整理得，所以，得，，設直線，的斜率分別為，，則，即，所以，又，所以，所以原點到直線的距離，所以，當且僅當時，即時等號成立，所以三角形而積的最大值為1.21.【解析】（1） ，所以 ，，所以，由題， ，又，所以.（2）由得：，即，即 ，設，則，，，設，，所以時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以對恒成立，即對恒成立，設，則，易知當時， ，單調(diào)遞增，當時， ，單調(diào)遞減，，故.所以實數(shù)的取值范圍為.四、選做題22.【解析】（1）由得，即，即.（2）將 （為參數(shù)， ）代入，整理得，設， 所對應的參數(shù)分別為，，則，，所以 ，因為，所以，，故直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）或（為參數(shù)），所以直線的普通方程為或.23.【解析】（1）由題，當時， ，或或解得，所以不等式的解集為 .（2）證明：（當且僅當時，即時等號成立） .（當且僅當時，即時等號成立）. 

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