黑龍江省哈爾濱市哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

哈師大附中2021級高三第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（滿分150分，考試時間120分鐘）一、選擇題（前8個小題為單選題，每題只有一個選項，每題5分，滿分40分；后4小題為多選題，每題不只有一個選項，每題5分，滿分20分）1. 已知集合，，則（    ）．A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的值域與對數(shù)不等式的運(yùn)算求解即可.【詳解】，.故.故選：D2. 已知，那么的一個充分不必要條件是（    ）．A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分不必要條件定義，結(jié)合推出關(guān)系依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A，，，是的一個充分不必要條件，A正確；對于B，，，是的一個既不充分也不必要條件，B錯誤；對于C，，，是的一個必要不充分條件，C錯誤；對于D，，，是的一個必要不充分條件，D錯誤.故選：A.3. （    ）．A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值計算即可.【詳解】．故選：B4. 已知，，，則（    ）．A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.【詳解】一方面因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，另一方面因為對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，結(jié)合以上兩方面有：.故選：D.5. 若正數(shù)滿足，則的最小值為（    ）．A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知等式可得，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】為正數(shù)，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號），即的最小值為.
故選：A.6. 已知函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)為，且，則下列關(guān)系一定正確的是（    ）．A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)可確定單調(diào)性，并得到；由反例可說明ACD錯誤；根據(jù)單調(diào)性可說明B正確.【詳解】，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；又在上可導(dǎo)，連續(xù)，；對于A，若，滿足在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，，，A錯誤；對于B，，，，B正確；對于C，若，滿足在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，，C錯誤；對于D，若，滿足在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，，，，又，，D錯誤.故選：B.7. 將函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上有且只有兩個零點(diǎn)，則的取值范圍為（    ）．A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的伸縮變換及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意可知，，因為，所以，又因為函數(shù)在區(qū)間上有且只有兩個零點(diǎn)，所以，解得，所以的取值范圍為.故選：C.8. 我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》一書中利用“趙爽弦圖”巧妙的證明了勾股定理，該圖形是以弦為邊長得到的正方形由個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成．類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，若，，則，則（    ）． A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用向量的數(shù)乘、加減法運(yùn)算可整理得到，化簡整理可得的值，從而求得結(jié)果.【詳解】由知：，；，，，則，，.故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛；本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，解題的基本思路是能夠利用向量的加減法和數(shù)乘運(yùn)算，利用基底表示出所求向量或構(gòu)造出關(guān)于所求向量的方程，從而求得參數(shù)的值.多選題（共4個小題，每題不只有一個選項，每題5分，滿分20分）9. 如圖所示是的導(dǎo)數(shù)的圖象，下列結(jié)論中正確的有（    ）．A. 的單調(diào)遞增區(qū)間是B. 是的極小值點(diǎn)C. 在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增D. 是的極小值點(diǎn)【答案】BC【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的極值與極值點(diǎn)的定義即可求解.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)或時，；當(dāng)或時，；所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為和.故A錯誤，C正確；所以或是取得極小值點(diǎn)；故B正確；所以是取得極大值點(diǎn)；故D錯誤.故選：BC.10. 若，，，則下列結(jié)論正確的是（    ）．A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】通過反例可說明A錯誤；由基本不等式可得B正確；將代入CD選項中，將不等式左側(cè)化為關(guān)于的二次函數(shù)，結(jié)合的范圍和二次函數(shù)單調(diào)性可求得CD正誤.【詳解】對于A，若，則，A錯誤；對于B，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），B正確；對于C，，，，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），C錯誤；對于D，由C知：，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，D正確.故選：BD.11. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（    ）．A. 函數(shù)的周期是B. 點(diǎn)是函數(shù)的圖象的對稱中心C. 函數(shù)在上單調(diào)遞減D. 對于恒成立【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)圖象可確定最小正周期和最小值，由此可得，利用可求得，由此可得；驗證可知A錯誤；利用代入檢驗法可知BC正確；根據(jù)正弦型函數(shù)值域求法可知D正確.【詳解】由圖象可知：若的最小正周期為，則，，；又，，，，，解得：，，，；對于A，設(shè)，則，，不是的周期，A錯誤；對于B，當(dāng)時，，此時，是圖象對稱中心，B正確；對于C，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，C正確；對于D，當(dāng)時，，，D正確.故選：BCD.12. 已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，定義符號函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（    ）．A. 是奇函數(shù) B. C. D. 關(guān)于直線對稱【答案】ABD【解析】【分析】利用奇偶性和對稱性可推導(dǎo)得到是以為周期的周期函數(shù)，并確定的圖象，結(jié)合圖象可確定位于不同范圍時，的正負(fù)；由奇偶性定義依次驗證與的關(guān)系即可得到A正確；由周期性和符號函數(shù)的定義可求得B正確；通過反例可說明C錯誤；推導(dǎo)可得，由此可知D正確.【詳解】為奇函數(shù)，，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；，關(guān)于對稱；，，是以為周期的周期函數(shù)，結(jié)合當(dāng)時，可得圖象如下圖所示，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；對于A，若，，；，，，則；若，，；，，，則；當(dāng)時，，；綜上所述：為定義在上奇函數(shù)，A正確；對于B，，，，B正確；對于C，當(dāng)時，，此時，C錯誤；對于D，的周期為，，，又為奇函數(shù)，，，關(guān)于對稱，，，即，，關(guān)于直線對稱，D正確.
故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)中的新定義問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠利用抽象函數(shù)關(guān)系式，確定的對稱性和周期性，從而結(jié)合函數(shù)圖象來分析新定義函數(shù)的相關(guān)性質(zhì).二、填空題（共4個小題，每題5分，滿分20分）13. 已知冪函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，則實數(shù)__________．【答案】【解析】【分析】先由函數(shù)是冪函數(shù)求出的值，再對進(jìn)行討論即可.【詳解】由題意函數(shù)是冪函數(shù)，所以，即，解得或，當(dāng)時，是偶函數(shù)，不滿足題意，當(dāng)時，，其定義域為，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，即是非奇非偶函數(shù)，滿足題意.故答案為：.14. 函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和對數(shù)真數(shù)大于零可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】在上單調(diào)遞減，若在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減且在上恒成立，，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.15. 已知向量，，，，與的夾角為，則的值最小時，實數(shù)x的值為__________．【答案】【解析】【分析】利用向量的數(shù)量積的定義及向量的模公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為，，與的夾角為，所以.所以,當(dāng)時，的值最小.故答案為：.16. 在中，，，當(dāng)取最大值時，__________．【答案】【解析】【分析】用正弦定理將轉(zhuǎn)化求得最大值，根據(jù)用余弦定理聯(lián)立方程組即可求解.【詳解】設(shè)，，，，，，，，，，，其中，，，，當(dāng)時取最大值，，，，，即的值為.三、解答題（共6題，第17題10分，第18至第22題每題12分，共70分）17. 已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊過點(diǎn)．（1）求的值；（2）若，，，求的值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)終邊所過點(diǎn)可得，利用誘導(dǎo)公式和二倍角余弦公式可求得結(jié)果；（2）根據(jù)角的范圍和同角三角函數(shù)平方關(guān)系可求得，由，利用兩角和差余弦公式可求得結(jié)果.【小問1詳解】角的終邊過點(diǎn)，，，.【小問2詳解】，，，；，，，，.18. 已知正四棱柱中，，，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)．
（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）證明：直線平面并且求出直線到平面的距離．【答案】（1）    （2）證明見解析，直線到平面的距離為【解析】【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法可求得結(jié)果；（2）根據(jù)，由線面平行向量證明可得結(jié)論；將所求距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，由點(diǎn)面距離的向量求法可求得結(jié)果.【小問1詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向為軸正方向，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，    則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，，，即直線與平面所成角的正弦值為.【小問2詳解】由（1）知：，，，，，，又平面，平面，直線到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，設(shè)該距離為，則，即直線到平面的距離為.19. 已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，．（1）求的通項公式；（2）數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，求證：．【答案】（1）    （2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列通項和求和公式可構(gòu)造方程組求得，由此可得通項公式；（2）由（1）可得，采用裂項相消法可求得，進(jìn)而分析得到結(jié)論.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得：，.【小問2詳解】由（1）得：，，，.20. 在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若．（1）求角A的大?。?/span>（2）若D為BC上一點(diǎn)，，，求的最小值．【答案】（1）    （2）27【解析】【分析】（1）利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)余弦定理即可得解；（2）根據(jù)求出的關(guān)系，再利用基本不等式即可得解.【小問1詳解】因為，由正弦定理得，即，，所以，又，所以；【小問2詳解】由，得，因為，所以，即，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為．21. 已知雙曲線的漸近線為，點(diǎn)在C上，直線與雙曲線C相交于兩點(diǎn)M，N，線段的垂直平分線分別與x，y軸相交于A，B兩點(diǎn)．（1）若直線l過點(diǎn)，且點(diǎn)M，N都在雙曲線的左支上，求k的取值范圍；（2）若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為，且，求k的取值范圍．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用雙曲線的漸近線及點(diǎn)在雙曲線上，將直線與雙曲線聯(lián)立方程組，利用直線與雙曲線相交的條件及韋達(dá)定理，結(jié)合點(diǎn)在雙曲線的左支的條件即可求解；（2）將直線與雙曲線聯(lián)立方程組，利用直線與雙曲線相交的條件及韋達(dá)定理，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及直線的點(diǎn)斜式方程，結(jié)合三角形的面積公式及一元二次不等式的解法可得答案.【小問1詳解】∵，且，∴，，故雙曲線，設(shè)，，當(dāng)直線l過點(diǎn)時，，直線l的方程為，如圖所示由，得，由，，解得且，，．因為點(diǎn)M，N都在左支上，∴，，∴，，所以．所以k的取值范圍為．【小問2詳解】將代入并整理得，由，，得，，，設(shè)線段MN的中點(diǎn)為，則，，所以線段MN的垂直平分線的方程為，所以A點(diǎn)的坐標(biāo)為，B點(diǎn)的坐標(biāo)為，因為的面積為，所以，整理得，所以，所以，解得或，所以k的取值范圍為．22. 已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；（2）當(dāng)，若不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率，結(jié)合可得切線方程；（2）方法一：構(gòu)造，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立；利用導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在定理可說明的單調(diào)性，得到；令，利用導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)性，從而確定的范圍，再次構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得的范圍，即為所求的的取值范圍；方法二：采用同構(gòu)法，將恒成立的不等式化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)性，從而得到，采用分離變量法可得，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，由此可得的取值范圍；方法三：由恒成立不等式可確定，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，結(jié)合可求得的范圍為；通過證明當(dāng)時，恒成立和時，不等式不恒成立可得到最終范圍.【小問1詳解】當(dāng)時，，則，，又，在處的切線方程為：，即.【小問2詳解】方法一：令，則恒成立，的定義域為，且；令，則，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，又，，，使得，且當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，由得：，，，，，即，令，則在上單調(diào)遞減，又，，，設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，，，又，的取值范圍為.方法二：由得：，，當(dāng)時，在，時恒成立，；當(dāng)時，設(shè)，則，，在上單調(diào)遞增，，即，，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，又，；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.方法三：定義域為，恒成立，必然成立；令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時，，當(dāng)時，；下面證明：當(dāng)時，恒成立.，，，令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，恒成立，即恒成立；當(dāng)時，，，，使得，且當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，由得：，，，，，，，恒成立，即恒成立；當(dāng)時，，顯然不滿足恒成立；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題重點(diǎn)考查了導(dǎo)數(shù)中的恒成立問題的求解；本題求解恒成立的基本方法有：1.通過直接構(gòu)造函數(shù)的方式，將問題轉(zhuǎn)化為含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的討論和最值的求解問題，利用最值求得參數(shù)的取值范圍；2.采用同構(gòu)法，將問題轉(zhuǎn)化為同一函數(shù)的不同函數(shù)值的大小關(guān)系的問題，從而通過求解函數(shù)的單調(diào)性得到自變量的大小關(guān)系；3.采用由特殊到一般的思路，通過特殊位置必然成立的思路得到的一個取值范圍，再證明在此范圍時不等式恒成立，并通過反例說明不在此范圍時不等式不恒成立來得到最終范圍.

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