2024屆甘肅省蘭州市第五十中學高三上學期開學考試數(shù)學試題 一、單選題1．函數(shù)的定義域是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)定義域相關(guān)知識直接求解.【詳解】函數(shù)，則，即，即定義域是.故選：D2．下列選項中，兩個函數(shù)表示同一個函數(shù)的是（    ）A．，B．，C．，D．，【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)對各選項逐一判斷即可.【詳解】對于A，定義域為，定義域為，定義域不同，不是一個函數(shù)，故A錯誤；對于B ，定義域為，定義域為，定義域不同，不是一個函數(shù)，故B錯誤；對于C，，是一個函數(shù)，故C正確；對于D，，，顯然不是一個函數(shù)，故D錯誤.故選：C3．已知一次函數(shù)滿足，則解折式為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】假設出一次函數(shù)的解析式，根據(jù)題意列出方程，待定系數(shù)法求解即可.【詳解】設一次函數(shù)，則，即，所以解得，所以，故選:C.4．函數(shù)，則（    ）A．4 B．2 C．8 D．6【答案】B【分析】分段函數(shù)求值，根據(jù)自變量的取值范圍代相應的對應關(guān)系【詳解】因為，所以.故選：B5．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則（    ）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)奇函數(shù)的知識求得，進而求得.【詳解】由于是奇函數(shù)，所以，即，解得，則.故選：A6．下列函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)各選項中的函數(shù)解析式，直接判斷單調(diào)性作答.【詳解】對于A，一次函數(shù)在R上單調(diào)遞增，A不是；對于B，反比例函數(shù)在上單調(diào)遞減，B是；對于C，指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞增，C不是；對于D，對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，D不是.故選：B7．已知，則的大小關(guān)系是（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)及指數(shù)的運算即可得解.【詳解】，所以.故選：C.8．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則（    ）A． B． C．3 D．或3【答案】B【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義求出的值，再根據(jù)條件即可求出結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)為冪函數(shù)，所以，即，解得或，又在上單調(diào)遞減，所以，故選：B. 二、多選題9．下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】利用奇函數(shù)的定義分析判斷即可.【詳解】對于A，定義域為，因為，所以為偶函數(shù)，所以A不符合題意，對于B，定義域為，因為，所以為奇函數(shù)，所以B正確，對于C，定義域為，因為，所以為奇函數(shù)，所以C正確，對于D，定義域為，因為，所以為偶函數(shù)，所以D不符合題意，故選：BC10．如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)的值可以是（    ）A．1 B．2 C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】為開口向上的二次函數(shù)，對稱軸為，所以，即，故選：CD11．已知，則下列不等式一定成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】CD【分析】先求得的關(guān)系式，然后對選項逐一分析，從而確定正確答案.【詳解】由于，所以，A選項，由于，所以，所以A選項錯誤.B選項，當時，，所以B選項錯誤.C選項，由于，所以，所以C選項正確.D選項，在上遞減，，所以，所以D選項正確.故選：CD12．設是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，，則（    ）A．在上單調(diào)遞減 B．C．不等式的解集為 D．的圖象與軸只有2個交點【答案】ABC【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性，單調(diào)性，圖象解決即可.【詳解】可作滿足題意的下圖（不唯一），僅參考對A：因為是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，由奇函數(shù)的性質(zhì)有在上單調(diào)遞減，故選項A正確；對B：因為是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，，所以，所以，故選項B正確；對C：由選項A與題意可得的解集為，故選項C正確.對D：由題意，，又是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以的圖象與軸有3個交點，故選項D錯誤；故選:ABC. 三、填空題13．函數(shù)的值域是      ．【答案】【分析】求解即可.【詳解】函數(shù)的值域為，所以的值域為故答案為：14．已知一次函數(shù)f（x）滿足f（f（x））＝3x+2，則f（x） 的解析式為         【答案】或【分析】設出一次函數(shù)解析式，化簡，結(jié)合函數(shù)相等可得答案.【詳解】設，則于是有解得或所以或.故答案為：或.15．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則當時，          .【答案】【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)可求時的解析式.【詳解】當時，，因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，故.故答案為：.16．若函數(shù)，且的圖像恒過定點，則點的坐標為      ．【答案】【分析】因?qū)?shù)函數(shù)恒過點，令，求出，再將所求值代入表達式求，即可求出定點坐標.【詳解】令，得.又，所以的圖像經(jīng)過定點.故答案為： 四、解答題17．求值：(1)；(2) ．【答案】(1)3(2)10 【分析】根據(jù)指對冪的運算規(guī)則計算.【詳解】（1） ；（2）原式；綜上，（1）原式=3；（2）原式=10.18．已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義給出證明；(2)若，求函數(shù)的最大值和最小值.【答案】(1)在區(qū)間上遞增，證明見解析(2)最大值為，最小值為. 【分析】（1）設，且，然后作差變形，再判斷符號可得結(jié)論；（2）由（1）可知在上遞增，從而可求出其最值.【詳解】（1），函數(shù)在區(qū)間上遞增，證明如下：任取，且，則因為，且，所以，， 所以，所以，即，所以在區(qū)間上遞增，（2）由（1）可知在上遞增，所以的最大值為，最小值為.19．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，若對于任意的，都有，且當時，，求：(1)與的值；(2)的值；(3)的值.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由已知條件可求得的值，再由對任意的，，即可求得的值；（2）由已知條件可得出，代值計算即可得解；（3）推導出對任意的，，可求得的值，再結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可求得的值，即可得出的值.【詳解】（1）解：當時，，則，又因為對任意的，，則.（2）解：當時，，又因為對任意的，，則.（3）解：對任意的，，則，所以，，又因為函數(shù)為上的偶函數(shù)，則，因此，.20．已知是定義在上的奇函數(shù)．(1)求實數(shù)的值；(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)的奇偶性和單調(diào)性即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為為定義在上的奇函數(shù)，所以，所以． 此時，經(jīng)驗證，，故．（2）由（1）可知，任取，則，因為，則，所以所以是上的增函數(shù)． 由恒成立，得恒成立，則，所以恒成立，因為，所以．實數(shù)的取值范圍為：．21．已知冪函數(shù)為偶函數(shù)．(1)求的解析式；(2)若，求函數(shù)在區(qū)間上的值域．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)可得出實數(shù)的值，結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)可得出的值，由此可得出函數(shù)的解析式；（2）利用二次函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)在上的值域.【詳解】（1）解：因為函數(shù)為冪函數(shù)，則，解得或.當時，函數(shù)為奇函數(shù)，不合乎題意；當時，函數(shù)為偶函數(shù)，合乎題意.綜上所述，.（2）解：由（1）可得，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，，.因此，函數(shù)在區(qū)間上的值域為.22．已知函數(shù).(1)若，求的值；(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論.【答案】(1)(2)奇函數(shù)，證明見解析 【分析】（1）利用函數(shù)解析式，再根據(jù)條件得到，即可求出結(jié)果；（2）利用證明函數(shù)奇偶性的方法：先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱；再判斷或，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因為，又，所以，得到，解得.（2）函數(shù)為奇函數(shù)，證明如下：由，得到或，所以定義域為且關(guān)于原點對稱，又，所以.所以函數(shù)為奇函數(shù). 

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