2024屆福建省三明市第一中學(xué)高三上學(xué)期暑假考試（開學(xué)考試）數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知角的終邊上有一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用任意角的三角函數(shù)定義進(jìn)行判斷.【詳解】因?yàn)榻?/span>的終邊上有一點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，故A，B，C錯誤.故選：D.2．已知集合，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由對數(shù)型函數(shù)的值域結(jié)合集合運(yùn)算判定選項(xiàng)即可.【詳解】由題意可得，即，所以，，，即A、B、C三選項(xiàng)錯誤，D正確.故選：D3．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則B等于（    ）A．30° B．45°C．30°或150° D．45°或135°【答案】D【分析】由正弦定理求解．【詳解】由正弦定理得，，又，即，又∵，∴或，故選：D．4．已知，，，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先由的范圍及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系得出，再根據(jù)誘導(dǎo)公式得出，由兩角差的正切公式計(jì)算即可．【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，又因?yàn)?/span>，所以，所以，故選：A．5．已知，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合誘導(dǎo)公式進(jìn)行角的變換，再利用二倍角公式計(jì)算作答.【詳解】因，所以.故選：B6．垃圾分類是指按一定規(guī)定或標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類儲存?投放和搬運(yùn)，從而轉(zhuǎn)變成公共資源的一系列活動，做好垃圾分類是每一位公民應(yīng)盡的義務(wù).已知某種垃圾的分解率與時間（月）近似地滿足關(guān)系（其中為正常數(shù)），經(jīng)過5個月，這種垃圾的分解率為，經(jīng)過10個月，這種垃圾的分解率為，那么這種垃圾完全分解大約需要經(jīng)過（    ）個月.（參考數(shù)據(jù)：）A．20 B．27 C．32 D．40【答案】B【分析】根據(jù)和的兩組值求出，再根據(jù)求出即可得解.【詳解】依題意得，解得，，則，這種垃圾完全分解，即分解率為，即，所以，所以，所以.故選：B7．若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由切點(diǎn)坐標(biāo)求出切線方程，代入坐標(biāo)，關(guān)于的方程有兩個不同的實(shí)數(shù)解，變形后轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)，構(gòu)造新函數(shù)由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的圖象后可得.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由于，因此切線方程為，又切線過點(diǎn)，則，，設(shè)，函數(shù)定義域是，則直線與曲線有兩個不同的交點(diǎn)，，當(dāng)時，恒成立，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，所以，結(jié)合圖像知，即.故選：D.8．已知在上存在唯一實(shí)數(shù)使，又，對任意的，均有成立，則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由三角恒等變換化簡函數(shù)式，利用不等式恒成立得出的最大值，從而求得值，然后利用正弦函數(shù)性質(zhì)根據(jù)題中唯一解的條件求得的范圍．【詳解】，∴，又對任意的，均有成立，即，所以恒成立，即恒成立，∴的最大值是，所以，又，所以，∴，時，又，∴，，，是唯一的，因此有，解得．故選：A． 二、多選題9．下列命題是真命題的是（    ）A．，使函數(shù)在R上為偶函數(shù)B．，函數(shù)的值恒為正數(shù)C．，D．，【答案】AC【分析】對AC例說明其正確性，對BD可舉例說明其是錯誤的．【詳解】對A，當(dāng)時，函數(shù)為，滿足，即函數(shù)為偶函數(shù)，正確；對B，當(dāng)時，，B 錯；對C，當(dāng)時，，正確；對D，當(dāng)時，，而，D錯．故選：AC．10．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，則（    ）A． B．是圖象的一個對稱中心C．當(dāng)時，取得最大值 D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】BD【分析】求得函數(shù)的解析式判斷選項(xiàng)A；代入驗(yàn)證判斷選項(xiàng)B；代入驗(yàn)證判斷選項(xiàng)C；代入驗(yàn)證判斷選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A：將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù).判斷錯誤；選項(xiàng)B：，則是圖象的一個對稱中心.判斷正確；選項(xiàng)C：，當(dāng)時，取得最小值.判斷錯誤；選項(xiàng)D：由，可得則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.判斷正確.故選：BD11．主動降噪耳機(jī)工作的原理是：先通過微型麥克風(fēng)采集周圍的噪聲，然后降噪芯片生成與噪聲振幅相同、相位相反的聲波來抵消噪聲.設(shè)噪聲聲波曲線函數(shù)為，降噪聲波曲線函數(shù)為，已知某噪聲的聲波曲線部分圖像如圖所示，則下列說法正確的是（    ）A．B．C．的單調(diào)減區(qū)間為，（）D．圖像可以由圖像向右平移個單位得到【答案】AB【分析】由圖象求出解析式，依據(jù)題意得出解析式，對各選項(xiàng)逐個辨析即可.【詳解】對于A，由已知，，∴，故選項(xiàng)A正確；對于B，∵，∴由圖象知，，∴，又∵，且在的單調(diào)遞減區(qū)間上，∴，（），∵，∴，又∵，∴，∴，故選項(xiàng)B正確；對于C，，由，（），解得，（），∴的單調(diào)減區(qū)間為，（），故選項(xiàng)C錯誤；對于D，圖像向右平移個單位得到：，故選項(xiàng)D錯誤.故選：AB.12．已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（    ）A．的圖象關(guān)于對稱 B．的圖象關(guān)于對稱C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)偶函數(shù)與奇函數(shù)得到對稱，并得到周期，結(jié)合以上信息即可得到.【詳解】為偶函數(shù)，關(guān)于對稱，根據(jù)圖像變換關(guān)于對稱，故A正確；為奇函數(shù)，關(guān)于中心對稱，根據(jù)圖像變換關(guān)于中心對稱，故B錯誤；由以上分析得的周期為，即，故C正確；關(guān)于中心對稱，，，關(guān)于對稱，，?，是周期為的函數(shù)，，，，故D錯誤.故選：AC. 三、填空題13．化簡的結(jié)果為        ．【答案】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡得解，注意需變函數(shù)名時三角函數(shù)的符號．【詳解】原式．【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式，注意口訣“奇變偶不變，符號看象限”的運(yùn)用要領(lǐng)，特別是需要變函數(shù)名時，函數(shù)的符號，此題屬于基礎(chǔ)題.14．已知，若，則      ．【答案】 【分析】構(gòu)造新函數(shù)，利用的奇偶性求解．【詳解】設(shè)，易知的定義域是，又，∴是奇函數(shù)，∵，所以，∴，故答案為：．15．在中，，，則的形狀為      ．【答案】等邊三角形【分析】由正弦定理化角為邊得，再代入另一已知條件得，從而得三角形形狀．【詳解】由正弦定理，所以，代入得，∴，所以，三角形為等邊三角形，故答案為：等邊三角形．16．已知恒成立，則t的取值范圍是          ．【答案】【分析】由已知不等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)單調(diào)性，可得恒成立，通過分離參數(shù)，以及構(gòu)造導(dǎo)數(shù)求得t的取值范圍.【詳解】由，得，所以，即，即恒成立，構(gòu)造函數(shù)，上式即為恒成立，因?yàn)?/span>，所以在R上單調(diào)遞增，則可得恒成立，所以，即，再設(shè)，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；所以，從而，即t的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒（能）成立問題的解法：若在區(qū)間上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；. 四、解答題17．在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化簡可得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周長.【詳解】（1）解：因?yàn)?/span>，則，由已知可得，可得，因此，.（2）解：由三角形的面積公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周長為. 18．已知.(1)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）函數(shù)求導(dǎo)后，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)換成在上恒成立，孤立參數(shù)得，轉(zhuǎn)換成求函數(shù)最大值，從而得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）函數(shù)求導(dǎo)后，在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間轉(zhuǎn)換成在上能成立，孤立參數(shù)得，轉(zhuǎn)換成求函數(shù)最小值，從而得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增在上恒成立，在上恒成立，在上恒成立，，在，則的取值范圍是：.（2）解：在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則在上有解，即在上有解，，又，.則的取值范圍是：.19．已知某公司生產(chǎn)某產(chǎn)品的年固定成本為100萬元，每生產(chǎn)1千件需另投入27萬元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為萬元，且.⑴ 寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；⑵ 當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時，該公司在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大？（注：年利潤＝年銷售收入年總成本）.【答案】(1)詳見解析;(2) 千件.【詳解】試題分析：由年利潤＝年銷售收入年總成本，結(jié)合，即可得到所求的解析式；由的解析式，我們求出各段上的最大值，即利潤的最大值，然后根據(jù)分段函數(shù)的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到結(jié)果．解析：⑴ 當(dāng)時，；                當(dāng)時，. 故，                   ⑵①當(dāng)時，由，得當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.故；              ②當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，.                            綜合①、②知，當(dāng)時，取最大值.                 所以當(dāng)年產(chǎn)量為千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤最大. 20．已知函數(shù).(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最值；(2)若，，求的值.【答案】(1)最大值為，最小值為(2) 【分析】（1）先逆用正弦的和差公式化簡得，再利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性求得的最值；（2）先利用三角函數(shù)的平方關(guān)系求得，再利用倍角公式求得，進(jìn)而利用正弦的和差公式求得.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，又，所以，故，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為；（2）因?yàn)?/span>，，所以，所以，，所以.21．在下面的三個條件中任選一個補(bǔ)充到問題中，并給出解答．①，②，③，，．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且______．(1)求角C；(2)若，求周長的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）選①，由正弦定理化邊為角，然后由誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式等化簡求得；選②，由兩角和與差的正弦公式變形求解；選③，由垂直的向量表示得出邊的關(guān)系，再由余弦定理求角；（2）由余弦定理得邊關(guān)系后，結(jié)合基本不等式和三角形性質(zhì)得周長范圍．【詳解】（1）選①：由正弦定理及，得，又∵，∴．∵，∴．又∵，∴．選②：由，得，即，∴．∵，∴，∴，∴．選③：∵，∴，化簡得，∴．∵，∴．（2）由余弦定理得．∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．∴．又∵，∴．∴周長的取值范圍為．22．已知曲線C：(1)若曲線C過點(diǎn)，求曲線C在點(diǎn)P處的切線方程；(2)當(dāng)時，求在上的值域；(3)若，討論的零點(diǎn)個數(shù)．【答案】(1)(2)(3)答案見解析 【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)得切線斜率，然后由點(diǎn)斜式得切線方程并化簡；（2）由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)性進(jìn)而即得；（3）先求得，得的單調(diào)性，然后討論的正負(fù)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理得零點(diǎn)個數(shù)．【詳解】（1）依題意得，，此時，，則切線斜率為，故切線方程：，即；（2）當(dāng)時，，則，∴，∴在上單調(diào)遞減，又，，故值域?yàn)?/span>．（3），令得，令得，令得．減區(qū)間為，增區(qū)間為，∴．當(dāng)時，，∴，∴在上有且僅有一個零點(diǎn)．當(dāng)時，令，，∴在上單調(diào)遞增，∴，即，又，∴在上有一個零點(diǎn)，又令，則，∴在上單調(diào)遞減，∴，∴，∴在上有一個零點(diǎn)．綜上所述，時，有一個零點(diǎn)，時，有2個零點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)確定零點(diǎn)個數(shù)問題，方法是利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的最值，然后確定最值的正負(fù)（有時需要再次引入新函數(shù)，由新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得出結(jié)論）同時確定某些函數(shù)值的正負(fù)，從而利用零點(diǎn)存在定理得出零點(diǎn)的個數(shù)． 

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