2024屆湖南省部分學校高三上學期入學摸底考試數(shù)學試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】解一元二次不等式及集合的交運算即可求得結(jié)果.【詳解】由不等式，可得，即集合，又集合，所以.故選：A.2．若復數(shù)z滿足，則在復平面內(nèi)，z對應的點位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根據(jù)復數(shù)四則運算求z，再由復數(shù)的幾何意義可得.【詳解】因為，所以，所以，故z對應的點位于第二象限.故選：B.3．已知圓臺的上、下底面圓半徑分別為1和2，圓臺的高為3，則圓臺的體積為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)臺體體積公式進行計算即可.【詳解】由已知圓臺的體積為.故選：C.4．若圓心在第一象限的圓過點，且與兩坐標軸都相切，則圓心到直線的距離為（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】設圓心及半徑，利用待定系數(shù)法求出圓的方程，再結(jié)合點到直線的距離公式求得結(jié)果.【詳解】由題設可設圓心為，則圓的半徑為a.故圓的方程為，再把點代入得，解得，故圓的方程為，故所求圓的圓心為，故圓心到直線的距離.故選：D.5．已知函數(shù).若，且，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用對數(shù)函數(shù)的圖像與函數(shù)圖像變換得到的圖像，從而得到的關(guān)系式，進而將問題轉(zhuǎn)化為對勾函數(shù)的值域問題，從而得解.【詳解】由得，根據(jù)函數(shù)的圖象及，      可得，故，所以，令，根據(jù)對勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，所以.故.故選：D.6．已知函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且關(guān)于點對稱，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合周期性可得，再結(jié)合正弦函數(shù)的對稱性運算求解即可.【詳解】因為函數(shù)的兩條相鄰的對稱軸之間的距離為，則，即，且，解得，可得，又因為關(guān)于點對稱，則，即，則，解得，，且，所以.故選：B.7．甲、乙兩位游客慕名來到張家界旅游，準備從天門山、十里畫廊、袁家界、大峽谷4個景點中隨機選擇其中一個，在甲、乙兩位游客選擇的景點不同的條件下，恰好有一名游客選擇大峽谷景點的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】運用條件概率公式即可求得結(jié)果.【詳解】記事件A：甲和乙選擇的景點不同，事件B：甲和乙恰好有一人選擇大峽谷景點，由題知，，，所以，故選：C.8．已知函數(shù)，其中，則“”是“函數(shù)有兩個極值點”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】求導，令，然后參變分離，將函數(shù)有兩個極值點轉(zhuǎn)化為與直線有兩個交點，利用導數(shù)討論的單調(diào)性，結(jié)合圖象可得a的范圍，然后可得答案.【詳解】由題意知：定義域為，，令，則，令，則，∴當時，；當時，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，當時，恒成立，∴大致圖象如圖所示，則當，即時，與有兩個不同交點，此時有兩個零點，記為，且，易知當或時，，當時，，所以有兩個極值點.因為時，成立，有兩個極值點，但時，若，，所以沒有極值點，所以是函數(shù)有兩個極值點的必要不充分條件.故選：B. 二、多選題9．下列說法正確的是（    ）A．在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積等于各組的頻數(shù)B．數(shù)據(jù)1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位數(shù)為10C．在殘差圖中，若樣本數(shù)據(jù)對應的點分布的帶狀區(qū)域越狹窄，說明該模型的擬合精度越高D．若隨機變量，，則【答案】BCD【分析】由頻率直方圖矩形面積意義可判斷A；根據(jù)百分位數(shù)的計算直接求解可判斷B；由殘差圖的意義可判斷C；利用正態(tài)分布的對稱性求解可判斷D.【詳解】對于A，在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積等于相應各組的頻率，故A錯誤；對于B，因為，故該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為第6個數(shù)和第7個數(shù)的平均數(shù)10，故B正確；對于C，由殘差定義，如果樣本數(shù)據(jù)點分布的帶狀區(qū)域越狹窄，說明該模型的擬合精度越高，故C正確；對于D，根據(jù)正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)知，∴，，，故D正確.故選：BCD.10．如圖，在平面直角坐標系xOy中，阿基米德螺線與坐標軸依次交于點，，，，，…，則下列結(jié)論正確的是（    ）  A．點的坐標為 B．的面積為56C．（其中） D．若的面積為169，則n的值為12【答案】ACD【分析】根據(jù)的坐標以及直角三角形面積公式，兩點間距離公式逐一判斷各選項.【詳解】對于A，由題意，螺線與坐標軸依次交于，，，，，…，可知，故選項A正確；對于B，，，的面積為，故B錯誤；對于C，可得，，，所以，故C正確；對于D，因為，又的面積為169，可得，解得.故D正確.故選：ACD.11．如圖，在棱長為1的正方體中，M，N分別是AB，AD的中點，P為線段上的動點（含端點），以正方體中心O為球心的球與正方體的每條棱有且只有一個公共點，則下列結(jié)論正確的是（    ）  A．球O的表面積為B．球O在正方體外部的體積小于C．存在點P，使得D．直線NP與平面ABCD所成角的正切值的最小值為【答案】ACD【分析】對于A，求正方體的棱切球的表面積得出結(jié)果；對于B，若球體、正方體的體積分別為，，計算球O在正方體外部的體積進行判斷；對于C，根據(jù)線面垂直的判定以及性質(zhì)得到結(jié)果；對于D，根據(jù)線面垂直的定義找到NP與平面ABCD所成角，再求其正切值的最小值.【詳解】對于A，如下圖所示，正方體的棱切球O的半徑，所以球O的表面積為，故A正確；  對于B，若球體、正方體的體積分別為，，球O在正方體外部的體積，故B錯誤；對于C，設CD中點為Q，連接MQ，PQ，若P為中點，則平面ABCD，MN在面ABCD內(nèi)，所以，在中，，，所以，故，因為，PQ，平面NPQ，所以平面NPQ，因為平面NPQ，所以，故C正確；  對于D，過點P作于點，則，又平面ABCD，所以平面ABCD，連接NH，則直線NP與平面ABCD所成角為，所以，當P在時，，所以，故D正確.故選：ACD.  12．已知拋物線的焦點為，是拋物線上位于第一象限內(nèi)的點，過點且斜率為的直線交拋物線的準線于點，點在準線上的射影為點.若，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．拋物線的標準方程為 B．C． D．四邊形的面積為【答案】ABD【分析】由拋物線的焦點坐標求出拋物線的方程，可判斷A選項；利用正弦定理求出的大小，可判斷B選項；求出點的坐標，利用拋物線的定義可判斷C選項；證明出，結(jié)合三角形的面積公式求出四邊形的面積，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，由拋物線的焦點坐標可知，可得，故拋物線的標準方程為，A對；對于B選項，因為點在準線上的射影為點，即，由拋物線的定義可知，因為，即為的角平分線，由正弦定理可得，，所以，，則，又因為，所以，，B對；對于C選項，點是斜率為的直線與拋物線準線的交點，，如圖所示，設，則直線為，令，得，由，整理可得，則，得，故，C錯；對于D選項，由得直線為，令得，又，從而，因為，，，則，所以四邊形的面積為，D對.故選：ABD. 三、填空題13．若向量，滿足，，則向量與的夾角為      .【答案】【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義以及運算律運算求解.【詳解】設向量，夾角為，因為即，解得，又因為，所以.故答案為：.14．已知，則的值為      .【答案】【分析】利用輔助角公式化簡已知條件，然后結(jié)合二倍角公式可得.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以.故答案為：15．已知函數(shù)的定義域為，是奇函數(shù)，，，則      .【答案】2【分析】根據(jù)奇偶性可得，結(jié)合可得，進而可得周期，再由求得，，結(jié)合周期性即可求解.【詳解】因為是奇函數(shù)，所以，又，可得，所以，所以，所以是周期為4的周期函數(shù)，因為，所以，，所以.故答案為：216．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為，，以為直徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于點P，且，則雙曲線C的離心率為      .【答案】【分析】利用漸近線斜率求得，由余弦定理可得，再由勾股定理可知，然后由三角函數(shù)定義可得，即可求得離心率.【詳解】連接OP，由已知，在中，，在中，，則，又，則由余弦定理得，解得，由知，即，所以在中，，即，則，所以雙曲線C的離心率.故答案為：     【點睛】求圓錐曲線的離心率問題，本題關(guān)鍵在于靈活運用雙曲線和圓的相關(guān)性質(zhì)，利用幾何關(guān)系，結(jié)合余弦定理和三角函數(shù)定義即可求解. 四、解答題17．已知數(shù)列是等差數(shù)列，且.(1)求的通項公式；(2)設數(shù)列滿足，證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)證明見解析， 【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系得當時，，與已知兩式相減，再結(jié)合等差數(shù)列的定義以及通項公式求得結(jié)果.（2）根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求得結(jié)果.【詳解】（1）由已知為等差數(shù)列，記其公差為d.當時，，兩式相減得，所以，解得，當時，，得，所以，所以；（2）由（1）知，所以，又，所以數(shù)列是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，所以.18．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)求角B的大??；(2)若B的角平分線交AC于點D，且，求面積的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦兩角和公式以及商數(shù)關(guān)系式可求得結(jié)果；（2）由以及基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】（1）因為，由得，所以，所以，由于，則，所以，即，又，所以；（2）因為B的角平分線交AC于點D，且，所以，根據(jù)三角形面積公式可得，又，得，得，當時等號成立，所以，即的面積最小值為.19．如圖，在四棱錐中，，，，E為PC的中點.    (1)求證：平面PAD；(2)若，平面平面ABCD，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）取CD的中點O，連接EO，BO，利用三角形中位線和同位角相等兩直線平行，通過證明平面平面PAD即可得證.（2）以O為坐標原點，OB，OD，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用法向量求解即可.【詳解】（1）取CD的中點O，連接EO，BO，∵E為PC中點，∴，而平面PAD，平面PAD，∴平面PAD，∵，，∴，又，∴，∴,∴為等邊三角形，∴，又，∴，而平面PAD，平面PAD，∴平面PAD，又，平面∴平面平面PAD，而平面EOB，∴平面PAD.  （2）∵，∴.∵平面平面ABCD，平面，∴平面ABCD，又為等邊三角形，∴，又∵平面ABCD，平面平面ABCD，平面平面，∴平面PCD，∵在中，，，∴，∵，∴，在等邊中，∵，∴，.以O為坐標原點，OB，OD，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，，，，∴，，，設平面PCB的法向量為，所以，令，則，由上可知，平面PCD的一個法向量為，∴，故二面角的余弦值為    20．某人準備應聘甲、乙兩家公司的高級工程師，兩家公司應聘程序都是：應聘者先進行三項專業(yè)技能測試，專業(yè)技能測試通過后進入面試.已知該應聘者應聘甲公司，每項專業(yè)技能測試通過的概率均為；該應聘者應聘乙公司，三項專業(yè)技能測試通過的概率依次為，，m，其中.技能測試是否通過相互獨立.(1)若，分別求該應聘者應聘甲、乙兩家公司，三項專業(yè)技能測試恰好通過兩項的概率；(2)若甲、乙兩家公司的招聘在同一時間進行，該應聘者只能應聘其中一家，若以專業(yè)技能測試通過項目數(shù)的數(shù)學期望為決策依據(jù)，該應聘者更希望通過乙公司的技能測試，求m的取值范圍.【答案】(1)該應聘者應聘甲、乙兩家公司恰好通過兩項技能測試的概率都為(2) 【分析】（1）根據(jù)二項分布以及獨立事件的乘法公式計算概率得出結(jié)果；（2）分別求出應聘者應聘兩家公司通過的項目數(shù)的數(shù)學期望，再進行比較求得結(jié)果.【詳解】（1）設該應聘者應聘甲公司恰好通過兩項技能測試為事件A，應聘乙公司恰好通過兩項技能測試為事件B，根據(jù)題意可得，；（2）設該應聘者應聘甲公司通過的項目數(shù)為X，應聘乙公司通過的項目數(shù)為Y，根據(jù)題意可知，，則，，，，，則隨機變量Y的分布列為Y0123P，若，則，故，即m的取值范圍是.21．已知函數(shù).(1)若，，求a的取值范圍；(2)當時，記函數(shù)的最大值為M，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）參變分離得到，設，求函數(shù)的最小值得出結(jié)果；（2）利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，得出的最大值，證得結(jié)果.【詳解】（1）由，，得，令，，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，，可知，所以在上單調(diào)遞減，所以，故；（2）由可知的定義域為，因為，，所以在上單調(diào)遞減，，，存在，使得，即，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以在處取得唯一極大值，也是最大值，所以，令，，則，單調(diào)遞增，故，所以【點睛】關(guān)鍵點點睛不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，通過構(gòu)造函數(shù)，借用導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求其最值，即可得參數(shù)的取值范圍.22．已知橢圓C：的左、右焦點別為，，離心率為，P是橢圓C上一動點，面積的最大值為.(1)求橢圓C的標準方程；(2)不過原點O的動直線l與橢圓C交于A，B兩點，平面上一點D滿足，連接BD交橢圓C于點E（點E在線段BD上且不與端點重合），若，求原點O到直線l的距離的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)三角形面積最大值和離心率公式列方程組求解可得；（2）設直線方程，聯(lián)立橢圓方程消元，由可得，然后可得點E坐標，代入橢圓方程化簡，利用韋達定理可得，再由點到直線的距離公式即可求得.【詳解】（1）設橢圓半焦距為c，點，則，則，即又，，求得，，，所以橢圓C的標準方程為（2）如圖所示，設，，當直線l的斜率存在時，設直線，與聯(lián)立可得，且有，，，由可得點A為OD中點，可得，且有，所以可得，即點E的坐標為，將點E代入橢圓，可得，化簡后，得，由于點A，B分別滿足，，代入上式可得，即代入韋達定理可得，滿足（*）式，點O到直線l的距離，由于，可得，，所以；當直線l的斜率不存在時，此時有，，代入，可得，又，可得，所以直線l的方程為，點O到直線l的距離為.故原點O到直線l的距離的取值范圍為.  【點睛】直線與圓錐曲線的綜合問題，通常根據(jù)直線方程與曲線方程消元，利用韋達定理代入已知條件中，求得參數(shù)之間的關(guān)系，再代入目標中消參即可求得. 

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