2024屆湖南省長沙市長郡湘府中學高三上學期入學考試（暑假作業(yè)檢測）數(shù)學試題 一、單選題1．若集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】求出集合，利用交集的定義可求得集合.【詳解】，，因此，.故選：A.2．已知平面向量滿足，則在上的投影向量為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，通過求出的值，即可求出在上的投影向量.【詳解】解：由題意，∴，，解得：∴在上的投影向量為：故選：B.3．命題為假命題的一個充分不必要條件是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】先化簡命題是假命題對應的范圍，再利用充分條件和必要條件的定義判斷即得結果.【詳解】命題為假命題，即命題為真命題，首先，時，恒成立，符合題意；其次時，且，即，綜上可知，.故選項A中，是的充分必要條件；選項B中推不出，且推不出，即是的既不充分也不必要條件；選項C中可推出，且推不出，即是的一個充分不必要條件；選項D中推不出，且可推出，即是的一個必要不充分條件.故選：C.4．已知函數(shù)，，對任意，，都有不等式成立，則a的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】將問題轉化為，利用導數(shù)求在上的最小值、在上的最小值，即可得結果.【詳解】對任意，，都有不等式成立，，，，則在區(qū)間上單調遞增，∴，，，，則在上單調遞增，，，則在上單調遞減，，，故，綜上，.故選：C5．設函數(shù)，的導數(shù)為，且，，則不等式成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】構造函數(shù)，求出，根據已知得出為R上的增函數(shù)，則.代入結合，即可得出答案.【詳解】構造輔助函數(shù)，令，則.因為，所以，所以，所以函數(shù)為R上的增函數(shù)，則.又，，.又，所以，所以，所以.故選：C.6．已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，，，則球的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據給定條件，證明平面，再確定球心O的位置，求出球半徑作答.【詳解】在三棱錐中，如圖，，則，同理，而平面，因此平面，在等腰中，，則，，令的外接圓圓心為，則平面，，有，取中點D，連接OD，則有，又平面，即，從而，四邊形為平行四邊形，，又，因此球O的半徑，所以球的表面積.故選：A7．已知拋物線的焦點為F，準線為，點P為C上一點，過P作的垂線，垂足為A，若AF的傾斜角為，則（    ）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】畫出圖形，得到，求出，再利用焦半徑公式求出.【詳解】由題意，得，準線方程為，設準線與軸交于點K，，則，如圖，因為AF的傾斜角為150°，所以，故，所以，故，解得，所以.故選：A.8．已知雙曲線C：（a>0，b>0）的離心率為，左，右焦點分別為，關于C的一條漸近線的對稱點為P.若，則的面積為（    ）A．2 B． C．3 D．4【答案】D【分析】設與漸近線交于，由對稱性知且，在直角中可求得，再由求得的面積.【詳解】設與漸近線交于，則，，，所以，，由分別是與的中點，知且，即，由得，所以，故選：D 二、多選題9．在復數(shù)集內，下列命題是真命題的是（    ）A．若復數(shù)，則B．若復數(shù)滿足，則C．若復數(shù)，滿足，則D．若復數(shù)滿足，則【答案】AD【分析】根據復數(shù)的共軛定義，結合復數(shù)的乘除法運算，即可結合選項逐一求解.【詳解】對于A，若復數(shù)，則，，故A為真命題.對于B，若復數(shù)，則，但，故B為假命題；對于C，若復數(shù)，滿足，但，故C為假命題；對于D，設復數(shù)，則，若，則，所以，故D為真命題；故選：AD10．已知，則下列結論正確的是（    ）A．的最大值為 B．的最大值為1C．的最小值為 D．的最小值為3【答案】AC【分析】根據均值不等式及不等式等號成立的條件判斷ACD，取特例判斷B即可得解.【詳解】.對于，當且僅當時取等號，故正確；對于，當時，，故錯誤；對于，當且僅當時取等號，故C正確；對于D，，但是當時，不符合題意，故等號不成立，故錯誤.故選：AC.11．已知定義域為的函數(shù)對任意實數(shù)都有，且，則以下結論一定正確的有（    ）A． B．是偶函數(shù)C．關于中心對稱 D．【答案】BC【分析】根據賦值法，可判斷或，進而判斷A，根據賦值法結合奇偶性的定義可判斷C，根據偶函數(shù)即可判斷對稱性，根據對稱性以及奇偶性可得函數(shù)的周期性，進而可判斷CD.【詳解】令，則或，故A錯誤，若時，令，則，此時是偶函數(shù)，若時，令，則，此時既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)；因此B正確，令，則，所以關于中心對稱，故C正確，由關于中心對稱可得，結合是偶函數(shù)，所以，所以的周期為2，令，則，故，進而，而，由A選項知或，所以或，故D錯誤.故選：BC12．設等差數(shù)列的公差為d，前n項和為，若，，，則下列結論正確的是（    ）．A．數(shù)列是遞增數(shù)列 B．C． D．，，…，中最大的是【答案】BCD【分析】利用等差數(shù)列的前項和公式和等差數(shù)列的性質得到，，再利用等差數(shù)列的通項公式得到關于的不等式組進行求解，即可判定選項A錯誤、選項C正確；利用等差數(shù)列的前項和公式和等差數(shù)列的性質得到判定選項B正確；利用判定選項D正確.【詳解】對于A、C：因為，且，所以，，又因為，所以，解得； 所以等差數(shù)列是遞減數(shù)列，即選項A錯誤，選項C正確；對于B：因為，所以，即選項C正確；對于選項D：因為等差數(shù)列是遞減數(shù)列，且，，則，所以，即選項D正確.故選：BCD. 三、填空題13．甲、乙、丙人站到共有級的臺階上，若每級臺階最多站人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是            （用數(shù)字作答）．【答案】【詳解】對于6個臺階上每一個只站一人，有種；若有一個臺階有2人，另一個是1人，則共有種，所以不同的站法種數(shù)是種．故答案為：210．14．在銳角中，內角所對的邊分別是，若，則的取值范圍是        ．【答案】【詳解】由正弦定理得,由于三角形為銳角三角形,所以,所以,而,所以.15．若圓上至少有三個不同點到直線:的距離為,則直線的傾斜角的取值范圍是 ．【答案】【詳解】圓化簡為標準方程，可得，∴圓心坐標為，半徑，∵在圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，∴圓心到直線的距離應小于或等于，由點到直線的距離公式，得，∴，整理得，解得，∵直線的斜率，設直線的傾斜角為，則，即，由此可得直線的傾斜角的取值范圍是．所以答案應填：．16．若函數(shù)在單調，且在存在極值點，則的取值范圍為           【答案】【解析】先通過函數(shù)在存在極值點，求出的范圍，再根據在單調，求出和之間的不等關系，再結合已求出的的范圍，得最終的范圍.【詳解】解：因為函數(shù)在存在極值點，所以，即，當，又在單調，所以，即，解得，只能取，即，綜上，，故答案為：.【點睛】本題考查三角函數(shù)的單調性和極值問題，關鍵是要建立關于和之間的不等關系，是中檔題. 四、解答題17．記是內角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據正弦定理的邊角關系有，結合已知即可證結論.（2）方法一：兩次應用余弦定理，求得邊與的關系，然后利用余弦定理即可求得的值.【詳解】（1）設的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因為，所以，即．又因為，所以．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應用余弦定理因為，如圖，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因為，所以，解得或，當時，（舍去）．當時，．所以．[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，即，又，所以，則．[方法三]：正弦定理、余弦定理相結合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化簡得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：構造輔助線利用相似的性質如圖，作，交于點E，則．由，得．在中，．在中．因為，所以，整理得．又因為，所以，即或．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因為，所以．以向量為基底，有．所以，即，又因為，所以．③由余弦定理得，所以④聯(lián)立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D為坐標原點，所在直線為x軸，過點D垂直于的直線為y軸，長為單位長度建立直角坐標系，如圖所示，則．由（1）知，，所以點B在以D為圓心，3為半徑的圓上運動．設，則．⑤由知，，即．⑥聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．【整體點評】(2)方法一：兩次應用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質和正余弦定理的性質解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學問題利用等面積法使得問題轉化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結合是解三角形問題的常用思路；方法四：構造輔助線作出相似三角形，結合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關系的不錯選擇；方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結合到一起；方法六：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結合充分挖掘幾何性質使得問題更加直觀化.18．已知數(shù)列的前項和為，，當時，．(1)求(2)設，求數(shù)列的前項和為．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用與的關系及等差數(shù)列的定義，結合等差數(shù)列的通項公式即可求解；（2）利用（1）的結論及數(shù)列求和中的錯位相減法即可求解.【詳解】（1）當時，，所以，，整理得：，即．當時，，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，即．（2）由知，所以，所以，所以，由得，，所以.19．如圖，在以A，B，C，D，E，F為頂點的六面體中（其中平面EDC），四邊形ABCD是正方形，平面ABCD，，且平面平面 ．(1)設 為棱 的中點，證明：四點共面；(2)若，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】(1)見解析(2) 【分析】（1）根據線面垂直以及面面垂直的性質證明平面，平面，進而證明，即可求解，（2）建立空間直角坐標系，根據平面法向量以及向量的夾角即可求解平面夾角.【詳解】（1）連接,由于四邊形ABCD是正方形，所以,又平面，平面,所以 ,平面，所以平面， 由于為棱的中點，，所以 ,又平面平面，平面平面，平面,所以平面 ,因此,所以四點共面，（2）由于兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標系，,,設，由（1）知,故，解得，故,,設平面，的法向量分別為則 即，取，則 ， 即，取，則 ，設平面與平面的夾角為，則20．設函數(shù) （1）若是的極大值點，求的取值范圍.（2）當時，函數(shù)有唯一零點，求正數(shù) 的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）因為，所以可就和分類討論即可．（2）函數(shù)有唯一零點等價于有唯一零點，設的極小值點為，可由解得即.【詳解】（1）的定義域為，，由，得.∴.①若，由，得.當 時，，此時是單調遞增；當時，，此時是單調遞減，所以是的極大值點.②若，由，得或.因為是的極大值點，所以，解得，綜合①②：的取值范圍是.（2）因為函數(shù)有唯一零點，即有唯一實數(shù)解，設，則．令 ，．因為，所以，方程有兩異號根設為，因為，所以應舍去.當時，，在上單調遞減；當時，，在單調遞增.故．因為 有唯一解，所以，則 即，因為，所以 （*），設函數(shù)，因為當時，是增函數(shù)，所以至多有一解．因為，所以方程（*）的解為，代入方程組解得【點睛】函數(shù)的零點問題，應優(yōu)先考慮參變分離的方法，把零點問題轉化為不含參數(shù)函數(shù)的最值（或最值的范圍）問題來處理，也可以直接討論含參數(shù)的函數(shù)，如果函數(shù)的最值點（極值點）不易求得，可采用設而不求的思想方法，利用最值點（極值點）滿足的等式化簡函數(shù)的最值可以相應的最值范圍或值．21．元宵佳節(jié)，是民間最重要的民俗節(jié)日之一，我們梅州多地都會舉行各種各樣的民俗活動，如五華縣河東鎮(zhèn)的“迎燈”、豐順縣埔寨鎮(zhèn)的“火龍”、大埔縣百侯鎮(zhèn)的“迎龍珠燈”等系列活動.在某慶祝活動現(xiàn)場，為了解觀眾對該活動的觀感情況（“一般”或“激動”），現(xiàn)從該活動現(xiàn)場的觀眾中隨機抽取200名，得到下表： 一般激動總計男性 90120女性25  總計  200(1)填補上面的2×2列聯(lián)表，并依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為性別與對該活動的觀感程度有關？(2)該活動現(xiàn)場還舉行了有獎促銷活動，凡當天消費每滿300元，可抽獎一次．抽獎方案是：從裝有3個紅球和3個白球（形狀、大小、質地完全相同）的抽獎箱里一次性摸出2個球，若摸出2個紅球，則可獲得100元現(xiàn)金的返現(xiàn)；若摸出1個紅球，則可獲得50元現(xiàn)金的返現(xiàn)；若沒摸出紅球，則不能獲得任何現(xiàn)金返現(xiàn)．若某觀眾當天消費600元，記該觀眾參加抽獎獲得的返現(xiàn)金額為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．附：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】(1)2×2列聯(lián)表見解析，該場活動活動的觀感程度與性別無關(2)分布列見解析， 【分析】（1）寫出零假設，補全2×2列聯(lián)表，計算的值，并與臨界值比較，得出結論；（2）分別求出一次摸球摸出0，1，2個紅球的概率，寫出X的所有可能取值及對應取值的概率，寫出X的分布列并計算其數(shù)學期望.【詳解】（1）補全的2×2列聯(lián)表如下： 一般激動總計男性3090120女性255580總計55145200零假設為：性別與對活動的觀感程度相互獨立.根據表中數(shù)據，計算得到根據小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷不成立，因此我們可以認為,成立，即認為對該場活動活動的觀感程度與性別無關.（2）設一次摸球摸出2個紅球的事件為A，摸出1個紅球的事件為B，沒摸出紅球的事件為C，則，，， 由題意，X可取．，，，，，所以X的分布列為：X200150100500P.22．已知橢圓長軸的左?右端點分別為，點是橢圓上不同于的任意一點，點滿足，,為坐標原點.（1）證明：與的斜率之積為常數(shù)，并求出點的軌跡的方程；（2）設直線與曲線交于，且，當為何值時的面積最大?【答案】（1）證明見解析，；（2）.【解析】（1）設，代入橢圓方程可得，再由題意可得，設，直接列方程即可求解.（2）將直線與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理以及弦長公式求出，再利用點到直線的距離公式可得到的距離，利用基本不等式即可求解.【詳解】（1）設，由已知， ，，即，，，設，，即，∴軌跡的方程為. （2）將直線代入曲線中整理得，，到的距離，，此時，滿足.【點睛】關鍵點點睛：本題考查了直接法動點的軌跡方程，解題的關鍵是求出，考查了弦長公式以及計算能力. 

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