2024屆甘肅省武威市四校聯(lián)考高三上學(xué)期新高考備考模擬（開學(xué)考試）數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與定義域得出集合，即可根據(jù)集合的交集運(yùn)算得出答案.【詳解】，則，解得，則，，，故選：B.2．已知是虛數(shù)單位，若，，則在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】寫出的共軛復(fù)數(shù)，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可判斷.【詳解】由，得，所以，故在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.3．使“”成立的一個充分不必要條件是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)不等式的關(guān)系結(jié)合充分不必要條件分別進(jìn)行判斷即可．【詳解】對于A，若，，當(dāng)時，成立，所以“，”“”，A不滿足條件；對于B，，，則，即，所以“，”“”，若，則，不妨取，，，則，所以“，”“”，所以“，”是“”的充分不必要條件，B滿足條件；對于C，若，則，使得，即，即“”“，”，所以“，”是“”的充分條件，C不滿足條件；對于D，若，，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以“，”“”，D不滿足條件.故選：B.4．已知圖1對應(yīng)的函數(shù)為，則圖2對應(yīng)的函數(shù)是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩函數(shù)圖象的關(guān)系知，所求函數(shù)為偶函數(shù)且時兩函數(shù)解析式相同，即可得解.【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象知，當(dāng)時，所求函數(shù)圖象與已知函數(shù)相同，當(dāng)時，所求函數(shù)圖象與時圖象關(guān)于軸對稱，即所求函數(shù)為偶函數(shù)且時與相同，故BD不符合要求，當(dāng)時，，，故A正確，C錯誤.故選：A.5．設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)，若，則的中點(diǎn)到軸的距離是（    ）A．2 B． C．3 D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等，從而求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到答案.【詳解】解：由題意得，，則，所以，由拋物線的定義得點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，代入拋物線方程得，，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，到軸的距離是.故選：C6．已知函數(shù).若曲線和在公共點(diǎn)處有相同的切線，則a，b的值分別為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)和在公共點(diǎn)處有相同的切線得出在處兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相等,再由在上,列方程組求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，由題意，解得故選:A.7．如圖所示的“數(shù)字塔”有如下規(guī)律：每一層最左與最右的數(shù)字均為3，除此之外每個數(shù)字均為兩肩的數(shù)字之積，則該“數(shù)字塔”前7層的所有數(shù)字之積最接近（    ）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可知第行第個數(shù)的指數(shù)為二項(xiàng)式系數(shù)，第行數(shù)字的指數(shù)之和為二項(xiàng)式系數(shù)之和等于，利用等比數(shù)列求和得該“數(shù)字塔”前7層的所有數(shù)字之積，利用對數(shù)運(yùn)算進(jìn)行計算估計．【詳解】解：根據(jù)題意可得，“數(shù)字塔”中第行第個數(shù)均為的形式，該“數(shù)字塔”前7層的所有數(shù)字之積根據(jù)指數(shù)運(yùn)算可知，則按原位置排列即構(gòu)成楊輝三角，如圖，可得為二項(xiàng)式系數(shù)，則第行數(shù)字的和為二項(xiàng)式系數(shù)之和等于所以，前7層的所有數(shù)字之和該“數(shù)字塔”前7層的所有數(shù)字之積，則故選：B．8．在三棱錐中，為等邊三角形，，則三棱錐外接球的表面積的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】易證，從而得到，進(jìn)而得到平面，設(shè)，正的外心為，三棱錐外接球的球心，連接，先求得底面ABC外接圓的半徑r，再由三棱錐外接球的半徑求解.【詳解】解：如圖所示：由題意可得，，所以，則，又，所以，即.又平面，所以平面.設(shè)，則，取正的外心為，三棱錐外接球的球心，連接，則平面，底面外接圓的半徑，所以三棱錐外接球的半徑.當(dāng)時，有最小值為，所以三棱錐外接球表面積的最小值為.故選：B. 二、多選題9．若，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由不等式的性質(zhì)判斷.【詳解】∵，則，，∴，即，A正確；例如，，，，， 顯然，B錯誤；由得，，∴，即，C正確；易知，，，，∴，D正確；故選：ACD．10．若一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，另一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為.兩組數(shù)據(jù)合成一組新數(shù)據(jù)，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，則（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】利用平均值、方差公式，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差求新數(shù)據(jù)的均值和方差即可.【詳解】由題意，所以，所以，故A錯誤，B正確；，所以.同理，所以，又，所以，所以，故C正確，D錯誤.故選：BC11．已知函數(shù)，則（    ）A．是偶函數(shù) B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．在上有4個零點(diǎn) D．的值域是【答案】AB【分析】對A，根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷即可；對BCD，換元構(gòu)造復(fù)合函數(shù)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)的定義以及復(fù)合函數(shù)的值域，可得答案.【詳解】對于A，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且，所以函數(shù)是偶函數(shù)，A正確；對于B，當(dāng)時，.令，由于函數(shù)在時單調(diào)遞減，函數(shù)在時單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，B正確；對于C，當(dāng)時，由，得或，所以或或，所以偶函數(shù)在上有6個零點(diǎn)，C不正確；對于D，當(dāng)時，.因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，.由于函數(shù)是偶函數(shù)，因此，函數(shù)的值域?yàn)?/span>，D不正確.故選：AB.12．設(shè)直線與圓，則下列結(jié)論正確的為（    ）A．可能將的周長平分B．若圓上存在兩個點(diǎn)到直線的距離為1，則的取值范圍為C．若直線與圓交于兩點(diǎn)，則面積的最大值為2D．若直線與圓交于兩點(diǎn)，則中點(diǎn)的軌跡方程為【答案】BC【分析】根據(jù)圓心在直線上判斷A，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系判斷B，根據(jù)三角形面積公式判斷C，根據(jù)幾何法求出點(diǎn)M的軌跡方程即可判斷D.【詳解】對于，若直線將圓的周長平分，則直線過原點(diǎn)，此時直線的斜率不存在，錯誤；對于B，若圓上存在兩個點(diǎn)到直線的距離為1，則到直線的距離滿足，所以，解得或，B正確；對于C，，當(dāng)時，的面積有最大值2，C正確；對于，易知直線經(jīng)過定點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)的軌跡以為直徑的圓，其方程為，又因?yàn)?/span>點(diǎn)在圓內(nèi)，由，解得，所以點(diǎn)的軌跡方程為，D錯誤.故選：BC. 三、填空題13．已知一個圓柱的軸截面為正方形，且它的側(cè)面積為，則該圓柱的體積為          .【答案】【分析】設(shè)圓柱底面的半徑為，高為，根據(jù)題意，由求解.【詳解】解：設(shè)圓柱底面的半徑為，高為，則，解得，所以圓柱的體積.故選：14．已知向量，，且，則          .【答案】【分析】由，得到，然后由求解.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，所以，所以.故答案為：15．干支紀(jì)年是中國古代的一種紀(jì)年法.分別排出十天干與十二地支如下：天干：甲  乙  丙  丁  戊  己  庚  辛  壬  癸地支：子  丑  寅  卯  辰  巳  午  未  申  酉  戌  亥把天干與地支按以下方法依次配對：把第一個天干“甲”與第一個地支“子”配出“甲子”，把第二個天干“乙”與第二個地支“丑”配出“乙丑”，，若天干用完，則再從第一個天干開始循環(huán)使用.已知2023年是癸卯年，則年以后是          年.【答案】丙午【分析】根據(jù)和，結(jié)合二項(xiàng)展開式的性質(zhì)及余數(shù)，即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以年以后地支為“午”.因?yàn)?/span>，又因?yàn)?/span>除以10余數(shù)為3，所以年以后天干為“丙”，故年以后是丙午年.故答案為：丙午16．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，，是橢圓上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，點(diǎn)是以為底的等腰的內(nèi)切圓的圓心，過作于點(diǎn)，，則橢圓的離心率為          .【答案】/0.6【分析】延長交延長線于點(diǎn)，可得，為的中位線，從而可得，，再由橢圓的定義可求出的值，由即可求出橢圓的離心率.【詳解】  因?yàn)?/span>，即，所以，因?yàn)辄c(diǎn)是以為底的等腰三角形內(nèi)切圓的圓心，則，所以為的角平分線，延長交延長線于點(diǎn)，在與中，，所以，所以，，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以為的中位線，所以，則，所以，即，所以.故答案為：. 四、解答題17．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，現(xiàn)給出下列三個條件：①；②；③.請你從這三個條件中任選兩個解答下列問題.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.注：如果選擇多個條件分別進(jìn)行解答，按第一個解答進(jìn)行計分.【答案】(1)條件選擇見解析，(2)證明見解析 【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，先將條件①條件②條件③化簡，再分選①②，選①③，選②③求解；（2）由，且，利用累加法求得，進(jìn)而得到，然后利用裂項(xiàng)相消法求解.【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由條件①得，，即.由條件②得，，即.由條件③得，，可得，即.若選①②，則解得所以；若選①③，則解得則；若選②③，則解得則；（2）證明：由，且，當(dāng)時，則，，又也滿足，故對任意的，有.則，所以，由于是單調(diào)遞增，所以.綜上，.18．在中，分別是角所對的邊，且滿足.(1)求角的大??；(2)若的面積為6，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意可得到，，利用三角恒等變換，可知求解，即可求解角的大小.（2）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求解，再利用正弦定理得出，代入三角形的面積公式，即可求解的值.【詳解】（1）由題可知.在中，，則，解得，所以或，當(dāng)時，，則均為鈍角，與矛盾，故舍去，故，則.（2）由可得，則，所以.在中有，則，則，解得.19．如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是矩形，是正三角形，且平面平面ABCD，，O為棱AD的中點(diǎn)，E為棱PB的中點(diǎn)．(1)求證：平面PCD；(2)若直線PD與平面OCE所成角的正弦值為，求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）取的中點(diǎn)，可得四邊形為平行四邊形，，再由線面平行的判定定理可得答案；（2）取的中點(diǎn)，可得，平面，以為原點(diǎn)，分別以所在的直線建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出、平面的一個法向量，由線面角的向量求法可得，再由棱錐的體積公式可得答案．【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>O為棱AD的中點(diǎn)，E為棱PB的中點(diǎn)，所以，，所以，即四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面PCD；（2）取的中點(diǎn)，連接，所以，因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，，所以，因?yàn)槠矫?/span>平面ABCD，所以平面，以為原點(diǎn)，分別以所在的直線建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，可得，，，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，可得，所以，所以，解得，所以四棱錐的體積為,20．現(xiàn)有甲、乙兩名運(yùn)動員爭奪某項(xiàng)比賽的獎金，規(guī)定兩名運(yùn)動員誰先贏局，誰便贏得全部獎金a元.假設(shè)每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每場比賽相互獨(dú)立.在甲贏了局，乙贏了局時，比賽意外終止，獎金如何分配才合理？評委給出的方案是：甲、乙按照比賽再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎金的概率之比分配獎金.(1)若，求；(2)記事件A為“比賽繼續(xù)進(jìn)行下去乙贏得全部獎金”，試求當(dāng)時，比賽繼續(xù)進(jìn)行下去甲贏得全部獎金的概率，并判斷當(dāng)時，事件A是否為小概率事件，并說明理由.規(guī)定：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于0.06，則稱該隨機(jī)事件為小概率事件.【答案】(1)；(2)（），事件A是小概率事件，理由見解析. 【分析】（1）設(shè)比賽再繼續(xù)進(jìn)行局甲贏得全部獎金，最后一局必然是甲贏，最多再進(jìn)行2局，利用獨(dú)立事件概率求出概率，再求出乙贏得全部獎金的概率作答.（2）設(shè)比賽再繼續(xù)進(jìn)行局乙贏得全部獎金，最后一局必然是乙贏，利用獨(dú)立事件概率求出，并求出函數(shù)最小值，再判斷作答.【詳解】（1）設(shè)比賽再繼續(xù)進(jìn)行局甲贏得全部獎金，則最后一局必然是甲贏，依題意，最多再進(jìn)行2局，當(dāng)時，甲以贏，，當(dāng)時，甲以贏，，因此甲贏的概率為，則乙贏的概率為，所以.（2）設(shè)比賽再繼續(xù)進(jìn)行局乙贏得全部獎金，則最后一局必然是乙贏，當(dāng)時，乙以贏，，當(dāng)時，乙以贏，，于是得乙贏得全部獎金的概率，甲贏得全部獎金的概率，，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，因此乙贏的概率最大值為，所以事件A是小概率事件.21．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為的離心率為2，直線過與交于兩點(diǎn)，當(dāng)時，的面積為3.(1)求雙曲線的方程；(2)已知都在的右支上，設(shè)的斜率為.①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②是否存在實(shí)數(shù)，使得為銳角？若存在，請求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)①②不存在，理由見解析 【分析】（1）由已知條件可得，然后利用勾股定理結(jié)合雙曲線的定義，及的面積可求出，再由離心率可求出，從而可求得雙曲線的方程，（2）①設(shè)直線，代入雙曲線方程化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合判別式可求出實(shí)數(shù)的取值范圍；②假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使為銳角，則，所以，再結(jié)合前面的式子化簡計算即可得結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以.則，所以，的面積.又的離心率為，所以.所以雙曲線的方程為.（2）①根據(jù)題意，則直線，由，得，由，得恒成立.設(shè)，則，因?yàn)橹本€與雙曲線的右支相交于不同的兩點(diǎn)，所以，即，所以，解得.②假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使為銳角，所以，即，因?yàn)?/span>，所以，由①得，即解得，與矛盾，故不存在.  【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查雙曲線方程的求法，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，第（2）問解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程代入雙曲線方程化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再結(jié)合求解，考查計算能力，屬于較難題.22．已知函數(shù)．(1)若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(2)若，證明：．【答案】(1)(2)證明見詳解 【分析】（1）因?yàn)?/span>為上的單調(diào)遞增函數(shù)，故恒成立，參變分離后可求得參數(shù)的取值范圍；（2）由知需證明，換元，對函數(shù)求導(dǎo)，研究函數(shù)的最值即可.【詳解】（1）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，令，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，即a的取值范圍為.（2）當(dāng)時，，要證，即證，即證，即，令，即證，令，所以，令，解得，當(dāng)時，所以，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得極小值即最小值，所以，即，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，常用方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù). 

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