福建省連城縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期暑假月考（開學(xué)）數(shù)學(xué)試題（開學(xué)+開學(xué)）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 等差數(shù)列滿足，，則該等差數(shù)列的公差（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，得到，進(jìn)而得到，即可求解.
【詳解】由，得到，又，所以
故.
故選：B.
2. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，使最小的的值為（）
A. 4B. 5C. 6D. 4或5
【答案】D
【解析】
【分析】將分別代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式中，即可得到首項(xiàng)和公差，根據(jù)數(shù)列得通項(xiàng)公式分析出數(shù)列得變化規(guī)律，得出在或時(shí)取最小值.
【詳解】設(shè)公差為，由，，
所以，解得，所以，
令，解得，則數(shù)列單調(diào)遞增，且，
所以當(dāng)或時(shí)取得最小值.
故選：D
3. 等比數(shù)列中，若，則公比為（）
A. 1B. －2C. 2D. 2或－2
【答案】C
【解析】
【分析】由等比數(shù)列定義得，結(jié)合已知即可得解.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列an的公比為，
因?yàn)椋?br>所以，
故選：C.
4. 某中學(xué)的募捐小組暑假期間走上街頭進(jìn)行了一次募捐活動(dòng)，共收到了5000元.他們第1天只收到了20元，從第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多15元，這次募捐活動(dòng)一共進(jìn)行了（）
A. 20天B. 25天C. 30天D. 35天
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可得解.
【詳解】由題意可知，每一天收到的捐款成等差數(shù)列，首項(xiàng)為20，公差為15，
設(shè)這次募捐活動(dòng)一共進(jìn)行了n天，則，得（負(fù)值舍去）.
故選：B.
5. 已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，則下列敘述不正確的是（）
A. 數(shù)列的最大項(xiàng)為B. 數(shù)列的最小項(xiàng)為
C. 數(shù)列為嚴(yán)格遞增數(shù)列D. 數(shù)列為嚴(yán)格遞增數(shù)列
【答案】D
【解析】
【分析】分別在為偶數(shù)和為奇數(shù)的情況下，根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)和的正負(fù)得到最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，知AB正誤；利用和可知CD正誤.
【詳解】對于A，由題意知：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，最大；
綜上所述：數(shù)列的最大項(xiàng)為，A正確；
對于B，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，最小；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；
綜上所述：數(shù)列的最小項(xiàng)為，B正確；
對于C，，，
，
，，，
數(shù)列為遞增數(shù)列，C正確；
對于D，，，
；
，，，又，
，數(shù)列為遞減數(shù)列，D錯(cuò)誤.
故選：D.
6. 已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，，公差，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（）
A. 10B. 50C. 60D. 70
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式計(jì)算即可.
【詳解】由題意可知，
所以單調(diào)遞減，且有，
記數(shù)列的前10項(xiàng)和為，
故，
故選：B
7. 已知按規(guī)律排列的數(shù)列，則該數(shù)列的第171項(xiàng)為（）
A. 17B. 18C. 19D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題設(shè)規(guī)律知：數(shù)字有個(gè)，且截至共有項(xiàng)，令求值，即可知數(shù)列第171項(xiàng)對應(yīng)的數(shù)字.
【詳解】由規(guī)律知：0、1、2、3、…分別有1、2、3、4、…個(gè)，
∴數(shù)字有個(gè)，，故截至共有項(xiàng).
令，則，可得或(舍去)，
∴數(shù)列的第171項(xiàng)為.
故選：A
8. “中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問題：被3除余2且被5除余3的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的最小值為（）
A. B. C. 71D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由“兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)構(gòu)成的新的等差數(shù)列的公差為兩個(gè)等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)”得，再根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)求得的最小值.
【詳解】被除余且被除余的正整數(shù)按照從小到大的順序所構(gòu)成的數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列an，
則，
∴ ，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，
∴當(dāng)時(shí)取最小值為．
故選：C.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）
A. B. C. 是等差數(shù)列D. 是遞增數(shù)列
【答案】AC
【解析】
【分析】由即可判斷A；由的關(guān)系即可判斷B；an從第2項(xiàng)開始為等差數(shù)列，由此即可判斷C；由可判斷D.
【詳解】，故A正確；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，不適合上式，故B錯(cuò)誤；
an從第2項(xiàng)開始為等差數(shù)列，所以其偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，故C正確；
因?yàn)?，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10. 點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，當(dāng)，則可能等于（）
A. -1B. C. D. 0
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)目標(biāo)式的幾何意義為在部分圖象上的動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)所成直線的斜率，即可求范圍.
【詳解】由表示與點(diǎn)所成直線的斜率，
又是在部分圖象上的動(dòng)點(diǎn)，圖象如下：
如上圖，，則，只有B、C滿足.
故選：BC
11. 九連環(huán)是我國從古至今廣為流傳的一種益智游戲，它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，以解開為勝．《紅樓夢》中有林黛玉巧解九連環(huán)的記載．九連環(huán)一般是用金屬絲制成圓形小環(huán)九枚，九環(huán)相連，套在條形橫板或各式框架上，并貫以環(huán)柄．玩時(shí)，按照一定的程序反復(fù)操作，可使9個(gè)環(huán)分別解開，或合二為一，假設(shè)環(huán)的數(shù)量為，解開n連環(huán)所需總步數(shù)為，解下每個(gè)環(huán)的步數(shù)為，數(shù)列an滿足：，，，則（）

A. B.
C. D. 成等比數(shù)列
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)題意逐一計(jì)算與的前6項(xiàng)，從而判斷ABC，利用，結(jié)合等比數(shù)列的定義判斷D，從而得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，，
，，故AC正確，B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，即，
則，所以不是等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知點(diǎn)，，則直線的傾斜角為_________.
【答案】
【解析】
【分析】應(yīng)用兩點(diǎn)式求的斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系及傾斜角的范圍，求出傾斜角即可.
【詳解】由題設(shè)，，若的傾斜角為，則，
又，故.
故答案為：
13. 等差數(shù)列中，其前項(xiàng)和為100，其前項(xiàng)和為500，則其前項(xiàng)和為______．
【答案】1200
【解析】
【分析】由等差數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)可得成等差數(shù)列，列方程可得.
【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，
則成等差數(shù)列，成等差數(shù)列，
即，解得.
故答案為：.
14. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，為數(shù)列的前項(xiàng)積，滿足，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①；②；③為等差數(shù)列；④.
其中所有正確結(jié)論的序號是______.
【答案】①③④
【解析】
【分析】根據(jù)關(guān)系式，當(dāng)時(shí)，即可求得的值；由得，當(dāng)時(shí)，可得，可證明為等差數(shù)列，即可求得，則可求得，則可判斷其他選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，解得或，
又，所以，故，故①正確；
因?yàn)?，可得，所以，?dāng)時(shí)，，
所以，
是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，則，故④正確；
所以，則，所以為等差數(shù)列，故③正確；
當(dāng)時(shí)，，又不符合
所以，故②不正確.
故答案為：①③④.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知點(diǎn)，，點(diǎn)在線段上.
（1）求直線的斜率；
（2）求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用兩點(diǎn)斜率公式可直接解答；
（2）先確定滿足關(guān)系式，然后利用基本不等式可直接解答.
【小問1詳解】
由題意知，直線的斜率.
【小問2詳解】
當(dāng)點(diǎn)在兩點(diǎn)之間時(shí)，
由點(diǎn)在線段上，
易知，即，
即，
當(dāng)P與重合時(shí)也滿足，
因此，
亦即，且，
所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立.
故的最大值為.
16. 等比數(shù)列的公比為2，且成等差數(shù)列.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列前項(xiàng)和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由等比數(shù)列基本量的計(jì)算以及等差中項(xiàng)即可求解，
（2）由分組求和，結(jié)合等差等比的求和公式即可化簡求值.
【小問1詳解】
已知等比數(shù)列的公比為2，且成等差數(shù)列，
，
,解得，
【小問2詳解】
，
.
17. 已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且，．
（1）設(shè) ，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（2）求證：數(shù)列的前項(xiàng)和對于任意恒成立
【答案】（1）詳見解析；
（2）詳見解析.
【解析】
【分析】（1）利用遞推關(guān)系式及等差數(shù)列的定義即得；
（2）由題可得，然后利用裂項(xiàng)消項(xiàng)法求解數(shù)列的和即可．
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以，
又，
所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；
小問2詳解】
由上可知，，
所以，
所以，
所以，
故數(shù)列的前項(xiàng)和對于任意恒成立.
18. 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件，建立方程組，即可求解；
（2）根據(jù)條件得到，從而有是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，即可求解；
（3）根據(jù)條件，利用錯(cuò)位相減法，即可求解.
【小問1詳解】
設(shè)等比數(shù)列an的公比為，因?yàn)椋裕?br>則，解得，
所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式.
【小問2詳解】
，即，所以，
所以是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，
所以，得到.
【小問3詳解】
，
所以①，
則②，
①②，得.
則.
19. 設(shè)條直線最多把平面分成部分，其求法如下：易知一條直線最多把平面分成部分，兩條直線最多把平面分成部分，3條直線分平面，要使所得部分盡量多，則第三條直線必與前兩條直線都相交，產(chǎn)生2個(gè)交點(diǎn)，這2個(gè)交點(diǎn)都在第3條直線上，并把第三條直線分成3段，這3段的每一段都在部分的某部分中，它把所在部分一分為二，故增加了3部分，即，依次類推得，累加化簡得．根據(jù)上面的想法，設(shè)個(gè)平面最多把空間分成部分，且
（1）求出
（2）寫出bn+1與之間的遞推關(guān)系式
（3）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件，找出規(guī)律，依次求出前3項(xiàng)，即可求出的值；
（2）根據(jù)規(guī)律，歸納推理，即可得到遞推關(guān)系式；
（3）利用疊加法和等差數(shù)列求和公式及連續(xù)自然數(shù)平方和公式，便可求出通項(xiàng)公式.
【小問1詳解】
設(shè)個(gè)平面最多把空間分成部分；
1個(gè)平面最多把空間分成2個(gè)部分；即；
2個(gè)平面最多把空間分成4個(gè)部分，增加了2個(gè)部分，即；
3個(gè)平面分空間，要使所得部分盡量多，則第三個(gè)平面必與前兩個(gè)平面都相交，產(chǎn)生2條交線，這2條交線都在第3個(gè)平面上，并把第三個(gè)平面分成4部分平面區(qū)域，這4部分平面區(qū)域的每一部分區(qū)域都在部分空間的某部分空間中，它把它所在部分空間一分為二，故增加了4部分空間，即；
4個(gè)平面分空間，要使所得部分盡量多，則第4個(gè)平面必與前3個(gè)平面都相交，產(chǎn)生3條交線，這3條交線都在第4個(gè)平面上，并把第4個(gè)平面分成7部分平面區(qū)域，這7部分平面區(qū)域的每一部分區(qū)域都在部分空間的某部分空間中，它把它所在部分空間一分為二，故增加了7部分空間，即；
【小問2詳解】
由小問（1）知：
，
，
，
，
依次類推
，
所以；
【小問3詳解】
由小問（2）知：
，
，
，
，
，
疊加可得，
根據(jù)，，
化簡可得.

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